必刷卷01-2022年新高考数学考前信息必刷卷（含答案解析）

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2022年高考数学考前信息必刷卷

第一模拟

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，，所以，故选：B

2．已知复数（为虚部单位），则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意知：，

∴当时，的最大值为.故选：C

3．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：

在以下四个函数模型（为待定系数）中，最能反映函数关系的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据点在坐标系中的特征可以知道，当自变量每增加1时，y的增加是不相同的，所以不是线性增加，排除A；由图象不具有反比例函数特征，排除B；因为自变量有负值，排除C；

当自变量增加到3时，y增加的很多，所以符合指数的增加特征，D正确，故选：D.

4．在空间中，下列命题是真命题的是（    ）

A．经过三个点有且只有一个平面

B．平行于同一平面的两直线相互平行

C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等

D．如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面

【答案】D

【解析】当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，故A错误；

平行于同一平面的两直线可能相交，故B错误；

由等角定理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C错误；

如果两个相交平面垂直于同一个平面，且，则在平面、内分别存在直线垂直于平面，由线面垂直的性质可知，再由线面平行的判定定理得，由线面平行的性质得出，则，故D正确；故选：D

5．接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有不会感染这种病毒，若有人接种了这种疫苗，则最多人被感染的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题得最多人被感染的概率为.故选：A

6．多项式展开式中的系数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】原式，所以展开式中含的项包含中项为 ，和中的项为，这两项的系数和为.

故选：C

7．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意知：，而 ，

∴在定义域内单调减，故，则B错误；

，故A错误；

在第一象限的单调递增知，故C错误；

定义域内单调递减，即，故D正确；故选：D

8．某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图：由正六边形的每个内角为，按虚线处折成高为的正六棱柱，即，所以 可得正六棱柱底边边长，

所以正六棱柱体积：.故选：B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．已知双曲线的左，右焦点分别为，一条渐近线方程为，为上一点，则以下说法正确的是（    ）

A．的实轴长为 B．的离心率为

C． D．的焦距为

【答案】AD

【解析】由双曲线方程知：渐近线方程为，而一条渐近线方程为，

∴，故，

∴双曲线：实轴长，离心率为，由于可能在不同分支上则有，焦距为.

∴A、D正确，B、C错误.

故选：AD

10．已知函数则下列结论正确的是（    ）

A．是偶函数 B．

C．是增函数 D．的值域为

【答案】BD

【解析】，而，故不是偶函数，故A错误.

因为，故不是增函数，故C错误.

，故B正确.

当时，，当时，，

故的值域为，故D正确.故选：BD.

11．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】由题意知：，故，

∴，故A错误；

，故B正确；

，故C正确；

，，显然，故D错误；故选：BC

12．已知实数满足，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B．的最大值为

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】ACD

【解析】因为，故，

所以，因为，故，

故A正确.

又可化为即，

所以，

而，故，整理得到，故，

当且仅当时；当且仅当时；

故的最小值为，的最大值为1，故B错误，C正确.

又，其中.

令，，

故，

当时，，当时，，

当时，，

故在为增函数，在为减函数，为增函数，

故，故D正确.故选：ACD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13.已知正方形ABCD的边长为1，，，，则=________.

【答案】

【解析】由题意可得，是正方形的对角线长，故，

又，所以.

14．写出一个存在极值的奇函数_______________________．

【答案】（不唯一）

【解析】由于正弦函数为奇函数，且存在极值

15．已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，垂直于点，与轴交于点为坐标原点，且，则_______________________．

【答案】

【解析】依题意可得，，根据抛物线的定义可知，设与轴相交于点，因为，又，所以，所以为的中点，所以即的纵坐标为，在中令，得，所以，所以

16．某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形的半径为，，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当最长时，该奖杯比较美观，此时_______________________．

【答案】

【解析】作交于，交于，且，设，

则，，

设，作交于，交于，

因为，所以，，

，所以，所以，即，

，

所以

，

因为，所以当即时最大，

也就是最长时.

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．将个正数排成行列：

其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且各列的公比都相等，若，，.

（1）求；

（2）设，求.

【解析】（1）设第一行数的公差为，各列的公比为，

由题意可知，解得，

由，解得，则.

由，解得，

因此；

（2），

可得，

两边同时乘以可得：,

上述两式相减可得：，

因此，.

18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求出其面积；若不存在，说明理由.

问题：是否存在，它的内角、、所对的边分别为、、，且，，___________？

【解析】选择条件①：

由正弦定理可得，

由于，可得，

化简可得，即，

因为，所以，

由余弦定理可得，解得，

，解得，因此；

选择条件②：因为，即，

由正弦二倍角公式可得：，

，则，所以，，所以，

所以即，

由余弦定理可得，

由已知可得，

由基本不等式可得，所以不存在满足条件的；

选择条件③：

由余弦二倍角公式可得：，解得或（舍去），

因为，所以，

由余弦定理得：，解得，

，解得，因此；

19．如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，，是棱上的动点（除端点外），，分别为，的中点．

（1）求证：平面；

（2）若直线与平面所成的最大角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【解析】（1）证明：取的中点，连结，，

因为，分别为，的中点，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面，

同理，平面，

又因为，

所以平面平面，

又因为平面，

所以平面．

（2）因为平面平面，，

所以平面，

所以即为直线与平面所成的角，

且，

当最小，即为中点时，，

此时最大为，

又因为，

所以，所以．

取的中点，连结，，

易知平面，

因为且，

所以四边形为平行四边形，

所以，

以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，，，，，，

设为平面的法向量，

则，

即

可取．

设平面的法向量为，

所以，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

20．在对人体的脂肪含量和年龄之间的关系的研究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，其中表示年龄，表示脂肪含量，并计算得到，．

（1）请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求关于的线性回归方程（的计算结果保留两位小数）；

（2）科学健身能降低人体脂肪含量，下表是甲，乙两款健身器材的使用年限（整年）统计表：

某健身机构准备购进其中--款健身器材，以使用年限的频率估计概率，请根据以上数据估计，该机构选择购买哪一款健身器材，才能使用更长久？

参考公式：相关系数；

对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．

【解析】（1），，

，，

，

因为与的相关系数接近，

所以与之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合；

由题可得，，

，

所以，

（2）以频率估计概率，设甲款健身器使用年限为（单位：年）

，

设乙款健身器使用年限为（单位：年）

，

因为，

所以该机构购买甲款健身器材更划算．

21．已知函数．

（1）若曲线在点处的切线经过坐标原点，求实数；

（2）当时，判断函数在上的零点个数，并说明理由．

【解析】（1），

所以在点处的切线方程为，

所以，即；

（2）因为，

所以，

所以可转化为，

设，

则

当时，，

所以在区间上单调递增．

当时，设，

此时，

所以在时单调递增，

又，，

所以存在使得且时单调递减，

时单调递增．

综上，对于连续函数，在时，单调递减，

在时，单调递增．

又因为，

所以当，即时，函数有唯一零点在区间上，

当，即时，函数在区间上无零点，

综上可知，当时，函数在上有个零点；

当时，函数在上没有零点．

22．在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为，直线相交于点且它们的斜率之积是，记动点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）过点作直线交曲线于两点，且点位于轴上方，记直线的斜率分别为．

①证明：为定值；

②设点关于轴的对称点为，求面积的最大值．

【解析】（1）设点坐标为，

则直线的斜率分别为，

依题意知，

化简得；

（2）①设直线的方程为，

则，

又，消得，

得

因此，

故为定值；

②坐标为，则直线方程为，

令解得

，

即直线恒过点，

故

，

当，即时，等号成立，

此时面积最大值为．