2021-2022学年四川省达州市开江县八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年四川省达州市开江县八年级（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 年第届冬季奥运会在中国北京成功举办，使得北京市成为全世界首个双奥之城，下列图形是某几届冬奥会图标，其中是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 将不等式组的解集表示在数轴上，下列正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 下列命题是假命题的是(    )

A. 到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上
B. 有一个角等于的等腰三角形是等边三角形
C. 一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
D. 三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等

5. 为贯彻国务院印发的扎实稳住经济的一揽子政策措施，某大型产品生产厂家更新了技术，现在平均每天比更新技术前多生产万件产品，现在生产万件产品所需时间与更新技术前生产万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产万件产品，依题意得(    )

A.  B.  C.  D.

6. 游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是(    )

A. 每走完一段直路后沿向右偏方向行走
B. 每段直路要短
C. 每走完一段直路后沿向右偏方向行走
D. 每段直路要长
 

7. 如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，是三角形的中位线，平分，且，若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，的三边、、长分别是、、，和的角平分线交于，则：：等于(    )

A. ：： B. ：： C. ：： D. ：：

10. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是非负整数．则所有满足条件的整数之和是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 若，则______．
12. 如图，在平行四边形中，交于点，是的中点，且，，则的度数为______．

13. 解关于的方程时若产生增根，则的值等于______．
14. 定义新运算：，若，则的值是______．
15. 人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，得，记，，，，则______．
16. 如图，已知四边形是平行四边形，将边绕点逆时针旋转得到，线段交边于点，连接若，，，则线段的长为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 解分式方程：；
    解不等式组：，并求出所有整数解的和．
18. 先化简再求值：，其中，且是整数．
19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，．
    将平移，使得点的对应点，的坐标为，在所给图的坐标系中画出平移后的；
    将绕点逆时针旋转，画出旋转后的，并直接写出的坐标；
    求出点旋转到点的路径长．

20. 如图，平行四边形的对角线与相交于点，点，分别在和上，且．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，且，求线段的长．

21. 某工厂现有甲种原料千克，乙种原料千克，计划利用这两种原料生产、两种产品共件，已知生产一件种产品用甲种原料千克，乙种原料千克，可获利元；生产一件种产品用甲种原料千克，乙种原料千克，可获利元．
    按要求安排、两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；
    设生产、两种产品总利润为元，其中一种产品生产件数为件，试写出与之间的函数关系式，并利用函数的性质说明哪种方案获利最大？最大利润是多少？
22. 如图，已知是等边三角形，，为中点，为边上一动点不与、重合，以为边，在其右侧作等边三角形，连接、．
    求证：；
    求出点到所在直线的距离；
    当时，求的值．

23. 在函数图象的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各题．

列表，写出表中、的值：______，______；描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在相应的括号内打“”，错误的在相应的括号内打“”；
该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为轴；______
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．______
已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
 

24. 如图，的边在直线上，，且，的边也在直线上，边与边重合，且．
    在图中，请你写出与所满足的数量关系和位置关系并说明理由；
    将沿直线向左平移到图的位置时，交于点，连接，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；
    将沿直线向左平移到图的位置时，的延长线交的延长线于点，连接，你认为中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
     

25. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、、．
    试说明点在线段的垂直平分线上；
    若点为平面直角坐标系中一点，且是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标；
    在直线和轴上，是否分别存在点和点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式；
B.是与的平方的差，能用平方差公式分解因式；
C.是三项不能用平方差公式分解因式；
D.两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式．
故选：．
能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差．
本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式结构是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：不等式组的解集为，
在数轴上表示为：

故选：．
先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查了解不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能正确在数轴上表示出不等式组的解集是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，故A是真命题，不符合题意；
有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，故B是真命题，不符合题意；
一个锐角和一条边分别对应相等的两个直角三角形全等，故C是假命题，符合题意；
三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等，故D是真命题，不符合题意；
故选：．
根据线段的垂直平分线概念，等边三角形判定，全等三角形的判定等逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
 

5.【答案】 

【解析】解：设更新技术前每天生产万件产品，依题意得．
，
故选：．
根据现在生产万件产品所需时间与更新技术前生产万件产品所需时间相同，所以可得等量关系为：现在生产万件产品所需时间更新技术前生产万件产品所需时间．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，
，
每走完一段直路后沿向右偏方向行走．
故选：．
根据题意可得行走路线是正五边形，再根据正五边形的每个外角等于度即可判断．
本题考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是掌握多边形外角定义．
 

7.【答案】 

【解析】解：观察图象可知，当时，直线落在直线的下方，
不等式的解集为，
故选：．
不等式的解集，就是指直线落在直线的下方的自变量的取值范围．
本题主要考查一次函数与一元一次不等式之间的联系．根据函数图象即可得到不等式的解集．
 

8.【答案】 

【解析】解：是三角形的中位线，，
，
在中，，是的中点，，
则，
，
故选：．
根据三角形这种玩笑定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，进而求出．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：过分别作，，，
是平分线，
，
是平分线，
，
，
，，，
：：：：：：．
故选：．
过分别作，，，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式可得：：：：：：．
此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
 

10.【答案】 

【解析】解：关于的一元一次不等式组的解集为，
关于的一元一次不等式组的解集为，
，
．
关于的分式方程的解为，
关于的分式方程的解是非负整数，
，，且为奇数，
且，为奇数，
且为奇数，
，，，，，，，
所有满足条件的的整数之和为：，
故选：．
解不等式组，利用确定不等式组解集的方法得到关于的不等式，解得的范围；解分式方程求得分式方程的解，利用已知条件和可能产生增根的情形得到关于的不等式组，综上求得所有满足条件的整数的值，再相加即可得出结论．
本题主要考查了一元一次不等式组的解集，解分式方程，考虑到解分式方程可能产生增根是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式


．
故答案为：．
先把原式变形，再整体代入求解．
本题考查了完全平方公式的的应用，配方法是解题发关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据平行四边形的性质可得，从而可得，再利用等腰三角形的性质和三角形的外角可得，，然后结合已知可得，从而求出，再根据垂直定义可得，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可解答．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握平行四边形的性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：去分母得：
，
移项，合并同类项得：
．
关于的方程时若产生增根，
，
．
故答案为：．
利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，令分式方程的解为，得到关于的方程，解关于的方程即可得出结论．
本题主要考查了解分式方程，分式方程的增根，令方程的根为是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
原式


，
故答案为：．
根据新定义的运算得出，然后将原式化简，最后代入即可求出答案．
本题考查分式的混合运算，解题的关键是正确理解新定义运算，本题属于基础题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
利用分式的加减法则分别可求，，，，利用规律求解即可．
本题考查了规律型：数字的变化类，找出的规律是本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，过作于，

四边形是平行四边形，
，，
将边绕点逆时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，过作于，由旋转的性质得出，，证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，证出，由等腰直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为；
，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
则不等式的整数解为，，，，之和为． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，进而求出所有整数解之和即可．
此题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】解：



，
，且，是整数，
可以取，
当时，原式． 

【解析】先计算括号内的式子，然后计算出括号外的除法，再从选取一个使得原分式有意义的整数的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和运算顺序．
 

19.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求，的坐标；

点旋转到点的路径长
 

【解析】利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；
利用弧长公式求解即可．
本题考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
在中，，，
，
． 

【解析】证≌，得，再证，则，即可得出结论；
由平行四边形的在得，，再证是等腰直角三角形，得，然后由勾股定理求出的长，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：设生产种产品件，那么种产品件，
则：，
解得：，
为正整数，
、、，
可设计三种方案：
安排种产品件，种产品件；
安排种产品件，种产品件；
安排种产品件，种产品件；
设安排生产种产品件，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
、、，
当时，对应方案的利润最大，最大利润为．
当安排种产品件，种产品件，对应方案的利润最大，最大利润为元． 

【解析】设生产种产品件，那么种产品件，根据“甲种原料不超过千克，乙种原料不超过千克”列出一元一次不等式组，即可求出设计方案；
根据总利润，两种产品利润之和写出与的函数解析式，根据函数的性质求最值．
本题考查了一次函数和一元一次不等式组的应用题，根据题意列不等式组并求出的正整数值是解决本题的关键．
 

22.【答案】证明：、是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
；
解：≌，
，
点为的中点，，
，
过点作所在的直线于点，

，，
，
；
解：过点作所在的直线于点，

由可知，，
在中，，，
，
当点在点的右侧时，
，
当点在点的左侧时，
，
的值为或． 

【解析】由“”可证≌，可得，由线段和差关系可得结论；
由全等三角形的性质可得，由直角三角形的性质可求的长，由勾股定理可求解；
由勾股定理可求的长，分点在点的左侧和右侧讨论，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键．
 

23.【答案】       

【解析】解：当时，．
当时，，
画出函数的图象如图：

故答案为：，；
根据函数图象：
该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为轴；说法正确；
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；说法错误．
故答案为：，；
由图象可知：不等式的解集为或．
吧，分别代入求得结果即可；根据题意画出函数的图象即可；
根据函数图象得到函数的性质；
由图象求得不等式的解集．
本题考查的是一次函数的性质，一次函数图象与系数的关系，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键．
 

24.【答案】解：，，
，且，边与边重合，且．
与是全等的等腰直角三角形，
，，
，
，；
与所满足的数量关系是，位置关系是，理由如下：
延长交于，

由知，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
；

成立，理由如下：
如图，，
，
又，
，
，
在和中，
，
≌，
，
如图，延长交于点，

则，
≌，
，
在中，，
，
，
． 

【解析】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形性质和全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，主要考查了学生的推理能力和猜想能力，题目比较好．
由题意可得与是全等的等腰直角三角形，可得，，可得，；
求出，根据证≌，推出，，根据三角形内角和定理求出，推出，求出即可；
证明相等时思路同，证明垂直时，延长交于点，则，借助全等得到的角相等，得出，进一步可得出结论．
 

25.【答案】解：点，，，
，，，，，
，
点在线段的垂直平分线上；
设，
，，，
，
是等腰直角三角形，
点与点重合，
点，
利用对称性得出点的另一个点的坐标为，
点的坐标为或；
，，
直线的表达式为：，
在直线上，在轴上
设，，
当、为平行四边形的对角线时，
中点的横坐标为，中点的横坐标为，
，
，
；
当、为平行四边形的对角线时，
中点的横坐标为，中点的横坐标为，
，

；
当、为平行四边形的对角线时，
中点的横坐标为，中点的横坐标为，
，
，
；
综上所述：点的坐标为或或 

【解析】由两点间的距离公式可得，从而说明结论；
利用勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，则点与点重合，利用对称性得出点的另一个点的坐标为；
设，，利用中点坐标公式可得答案．
本题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，平行四边形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．