2022-2023学年四川省达州市开江县永兴中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省达州市开江县永兴中学八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  我国冬奥会于年月日在北京，张家口等地召开，并在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

2.  等腰三角形的周长为，其中一边长为，则其腰长为(    )

A.  B. 或 C.  D. 以上都不对

3.  如果是多项式的一个因式则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若分式，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  据悉，我国设计制造的天舟二号货运飞船，在年月日：顺利升空，将吨多物资运送到天和核心舱，若用表示货运飞船的载货质量，则对的取值理解最准确的是单位：吨(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在中，为上一点，，且，若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，将平行四边形沿对边上两点连线对折，使点恰好落在点处，若，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  小军是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，，分别对应下列六个字：抗，胜，必，利，我，疫现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是(    )

A. 抗疫胜利 B. 抗疫必胜 C. 我必胜利 D. 我必抗疫

9.  若分式方程有增根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，是▱的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11.  如图，将沿方向平移得到，若，则的长为______．

12.  ，则 ______ ．

13.  如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集是______ ．

14.  如图，在中，过点作的角平分线的垂线，垂足为，交于点，若，则线段的长为______．

15.  如图，平行四边形的对角线，相交于点，，，点在线段上从点以的速度运动，点在线段上从点以的速度运动若点，同时运动，设运动时间为秒，当 ______ 时，四边形是平行四边形．

三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）

16.  因式分解：
；
．

17.  如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”现在，请你用“双求法”解决下面两个问题
如图，在中，，是边上的高，，，求的长度．
如图，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
 

四、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解不等式或组：
，并求出非负整数解；

，并把它的解集在数轴上表示出来．

19.  本小题分
已知关于的方程．
若，解这个分式方程；
若原分式方程无解，求的值．

20.  本小题分
如图，是等边三角形，点在边上，将绕点旋转得到．
求证：是等边三角形；
若，，求的周长．

21.  本小题分
如图，在中，，点在上运动，点在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于点，连接．
判断与的位置关系，并说明理由；
若，，，求线段的长．

22.  本小题分
如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，．
画出将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到的，点、、的对应点分别为、、；
画出将绕原点顺时针方向旋转得到的，点、的对应点分别为、．

23.  本小题分
某开发公司生产的件新产品需要精加工后才能投放市场．现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工数量的，公司需付甲工厂加工费用每天元，需付乙工厂加工费用每天元．
甲、乙两个工厂每天各能加工多少个新产品？
公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成，在加工过程中，公司派一名工程师到厂进行技术指导，并负担每天元的午餐补助费，请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．

24.  本小题分
已知，如图，在▱中，点是▱内一点，，，过点作，垂足为点．
如图，若，求四边形的面积；
如图，连接、，若，求证：．

 

25.  本小题分
已知：在中，，，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点、的对应点分别是、．

如图，若时，连接，求证：；
如图，当点恰好在上时，求的度数；
如图，，点是线段上的一个动点，点是线段上的一个动点，是否存在这样的点、使得为等腰三角形且为直角三角形？若存在，请求出满足条件的的长；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可．
【解答】
解：图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：若为等腰三角形的腰长，则底边长为：，此时三角形的三边长分别为，，，不符合三角形的三边关系；
若为等腰三角形的底边，则腰长为：，此时三角形的三边长分别为，，，符合三角形的三边关系；
该等腰三角形的腰长为，
故选：．
分为两种情况：是等腰三角形的腰或是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：设另一个因式是，
则

，
是多项式的一个因式，
，
解得：，
，
故选：．
设另一个因式是，根据多项式乘多项式法则求出，根据因式分解得出，，再求出答案即可．
本题考查了因式分解的定义和整式的乘法，能灵活运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：分式，
且，
解得：．
故选：．
直接利用分式的值为，则分子为零，分母不等于零，进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的值为零的条件是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据“吨多”物资运送到天和核心舱得到．
故选：．
根据“吨多”得到的取值范围即可．
本题主要考查了不等式的定义：用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质即可得到结论．
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，过点作的延长线于点，

四边形为平行四边形，，，，
，，
，，
设，
，
，
平行四边形沿对边上两点连线对折，
，
在中，由勾股定理可得：
，
即，
解得：，
的长为，
故选：．
过点作的延长线于点，根据平行四边形的性质可得，再由角的直角三角形可得，，设为，可得，由折叠性质可得，在中，由勾股定理可求出，即可求解．
本题考查折叠的性质，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，利用勾股定理求解．
 

8.【答案】 

【解析】解：原式

，，，，，，分别对应下列六个字：抗，胜，必，利，我，疫．
对应抗，对应疫，对应必，对应胜，
故结果呈现的密码信息可能是为：抗疫必胜．
故选：．
根据提公因式法与公式法因式分解即可求解．
本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
分式方程有增根，
，即，
把代入整式方程得：，
．
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出的值即可．
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
四边形为平行四边形，
，，
，
是中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
即，
，
四边形为平行四边形，
，
阴影部分的面积
故选：．
连接，如图，先根据平行四边形的性质得到，，再证明≌得到，则可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，接着证明四边形为平行四边形，所以，然后计算得到阴影部分的面积．
本题考查了平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线把四边形分成面积相等的四部分．
 

11.【答案】 

【解析】解：由平移可得，，
，
，
，
故答案为：．
根据平移的性质得出，进而解答即可．
此题考查平移的性质，关键是根据平移中连接各组对应点的线段平行且相等解答．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
，
．
．
，．
，．
．
故答案为：．
根据分式的基本性质解决此题．
本题主要考查分式的加法，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：把代入得：，
则，
根据图象可得不等式的解集是，
故答案为：．
首先把代入可得的值，进而得到点坐标，然后再利用图象写出不等式的解集即可．
此题主要考查了一次函数与不等式，解题的关键是能根据函数图象得到正确信息．
 

14.【答案】 

【解析】解：延长交于，
平分，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
延长交于，根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，得到，推出．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
四边形是平行四边形，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
当时，四边形是平行四边形，
故答案为：．
先根据平行四边形的性质求出的长，从而得到的长，再由平行四边形的性质得到进而得到关于的方程，解方程即可．
本题主要考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形对角线互相平分是解题的关键．
 

16.【答案】解：

；



． 

【解析】本题考查了因式分解公式法，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意，如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可；
先化简，然后再对化简后的式子利用平方差公式分解即可．
 

17.【答案】解：在中分
由面积的两种算法可得：分
解得：分

在中分
在中分
所以分
解得分 

【解析】先根据勾股定理先求出，再根据“双求法”求出的长度；
运用两个直角三角形根据勾股定理表示出，德关于的方程求解．
此题考查的知识点是勾股定理的应用，关键是运用勾股定理求解．
 

18.【答案】解：，
，
，
，
，
则，
所以该不等式的非负整数解为、、、、；
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：
 

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：依题意把代入原方程得．
        方程两边都乘最简公分母得，
．
        解得．
检验：把代入．
是原方程的解．
当时．．
方程两边都乘最简公分母，得．
．
整理得
原分式方程无解．
，．
把代入．
，．
，， 

【解析】把代入原方程得，方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．方程两边都乘最简公分母，分式方程转化为整式方程，，整理得，原分式方程无解，，，分别代入整式方程求值
分式方程转化为整式方程求解，最后注意需检验．无解注意整式方程一次项系数带字母系数，字母系数为零，再把增根代入化简的整式方程，这样不漏的值．
 

20.【答案】证明：是等边三角形，
，，
将绕点旋转得到．
，，
是等边三角形；
解：将绕点旋转得到．
，
的周长，
的周长． 

【解析】由旋转的性质可得，，可得，可证；
由旋转的性质可得，即可求的周长．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
 

21.【答案】解：，
理由如下：，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
；
连接，设，则，，
，
，
，
解得：，
则． 

【解析】根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，于是得到结论；
连接，设，则，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求．
 

【解析】利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图平移变换，旋转变换，解题的关键是掌握平移变换的性质，旋转变换．
 

23.【答案】解：设乙每天加工新产品件，则甲每天加工新产品件．
根据题意得，
解得，
经检验，符合题意，则，
所以甲、乙两个工厂每天各能加工个、个新产品；

甲单独加工完成需要天，费用为：元，
乙单独加工完成需要天，费用为：元；
甲、乙合作完成需要天，费用为：元．
所以既省时又省钱的加工方案是甲、乙合作． 

【解析】设乙每天加工新产品件，则甲每天加工新产品件，甲单独加工完这批产品需天，乙单独加工完这批产品需天，根据题意找出等量关系：甲厂单独加工这批产品所需天数乙工厂单独加工完这批产品所需天数，由等量关系列出方程求解．
分别计算出甲单独加工完成、乙单独加工完成、甲、乙合作完成需要的时间和费用，比较大小，选择既省时又省钱的加工方案即可．
本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．需要注意：分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；选择最优方案时，需将求各个方案所需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案．
 

24.【答案】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形的面积的面积的面积


，
四边形的面积为：；
证明：延长交于点，

，，
，
，
、、、四点共圆，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
． 

【解析】根据已知可得是等腰直角三角形，从而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答；
延长交于点，根据已知可得，从而可得、、、四点共圆，进而可得，再利用平行四边形的性质可得，，，从而可得，进而利用等腰三角形的三线合一性质可证，然后根据四边形内角和，以及平行四边形邻角互补可证，最后证明≌，即可解答．
本题考查了等腰直角三角形的，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】证明：由旋转的性质可知：，，
是等边三角形，
；
解：，，
，
绕点顺时针旋转得到，点恰好在上，
，，
，
，
；
存在，理由如下：
，，
，，
若，时，如图，
设，，
，，
，
，
，
．
若，时，如图，

设，，
，，
，
，
，
．
综上所述：或． 

【解析】由旋转的性质可得：，，可证是等边三角形，可得；
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求解；
分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求，的长，即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．