高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用教案

《6.4.5余弦定理、正弦定理应用举例》教学设计

（一）教学内容  

余弦定理、正弦定理应用举例

（二）教材分析

本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。 

（三）教学目标

1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题

2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力

（四）教学重难点：

1. 重点：能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题

2. 难点：能将实际问题转化为解三角形问题

（五）教学过程 

1、情境引入

探究1：如图所示， A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间的距离的方法.并求出A，B间的距离

探究2：1671年，两个法国天文学家测出了地球与月球之间的距离大约为385 400 km，他们是怎样测出两者之间距离的呢？

由此提出本节课解决的问题——应用余弦定理、正弦定理解决实际问题

2、探索新知

1）．①基线的概念

在测量中，根据测量需要适当确定的线段叫做基线

②选择原则

在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，

测量的精确度越高

探究1分析：为了测定河对岸两点A，B间的距离，在岸边选定a公里长的基线CD，并

测得 ∠BCA=α、∠ACD=β、∠CDB=γ、∠BDA=δ， 求A，B两点的距离

在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得

于是，在△ABC中，应用余弦定理可得A，B两点间的距离

探究2分析：如图，早在1671年，两位法国天文学家为了测   量地球与月球之间的距离，利用几乎位于同一经线上的柏林（点A）与好望角（点B）为基点，测量出α，β的大小，并计算出两地之间的距离AB，进而算出了地球与月球之间的距离约为385 400 km．我们在地球上所能用的最长的基线是地球椭圆轨道的长轴

【例1】如图，地面四个5G中继站A、B、C、D，已知，，，，求A、B两个中继站的距离

解：由题意可得，

在中，由正弦定理得    

在中，由正弦定理得

在中，由余弦定理得

所以

方法规律：解决三角形中与距离有关问题的求解策略：

解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解

    2）测量中的有关角的概念

① 仰角和俯角：如下图所示，与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视

线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平

视线下方时叫俯角

②方向角：如下图所示，从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，

即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°

探究3：如何测量（底部不可到达）高度的问题？

【例2】如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点．设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度

解：选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一条直线上，

在G,H两点用测角仪测得A的仰角分别为，

测角仪的高度为h，那么在中

由正弦定理得

所以，这座建筑物的高度为

方法规律：解决测量高度问题的一般步骤：

(1)画图：根据已知条件画出示意图

(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形

(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用

探究4：如何测量角度的问题？

【例3】位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距7 n mile 的C处的乙船．那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到1°）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？

解：根据题意，画出示意图

由余弦定理，得

于是    

由正弦定理，得，于是

由于，所以

因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东 ，大约需要航行24 n mile

方法规律：解决有关测量角度的实际问题时应注意的问题：

(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步

(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题

3、课堂练习

P51  练习

1、A，B两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C，测得CA＝7 km，CB＝5 km，

C＝60°，则A，B两点之间的距离为         km

2、如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向

上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC

＝45°，则塔AB的高是(　D　)

A.10 m       B.10 m       C.10 m        D.10 m

3、甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？

解：如图所示.设经过t小时两船在C点相遇

则在△ABC中，BC＝at海里，AC＝at海里

B＝90°＋30°＝120°

由正弦定理得 ＝

即sin∠CAB＝＝＝＝

∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°

∴∠DAC＝60°－30°＝30°

∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇

4、课堂小结

正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：

(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解

(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

5、课后作业

习题6.4   8、9

6、课后反思