必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用教学设计

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正弦定理
（二）教材分析
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习正弦定理，用正弦定理来解三角形。《正弦定理》是三角形理论中的一个重要内容,与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系。在此之前,学生已经学习过了正弦函数和余弦函数、余弦定理,知识储备已足够。它是后续课程中解三角形的理论依据,也是解决实际生活中许多测量问题的工具。因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础,并能在实际应用中灵活变通。
（三）教学目标
1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系并掌握正弦定理
2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题
3.通过对正弦定理的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养
（四）教学重难点：
1. 重点：能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题
2. 难点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明
（五）教学过程
1、情境引入
情景1：如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离．测量者在B的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出两点间B，C的距离24 m，∠ACB=90°，∠ABC=45°，求A，B两点间的距离
情景2：如图，设A，B两点在河的两岸，测量者为了得到 A，B两点之间的距离．测量者在B的同侧，在所在的河岸选定一个点C，测出BC的距离是24 m， ∠B=45°，∠C=60°，根据这些数据能解决这个问题吗？
问题1：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式，如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？
2、探索新知
探究1：直角三角形△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为用a， b，c表示，怎样用a， b，c表示角A，B，C的正弦？
答：

追问1：对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立？
分析1：在等边三角形ABC中，验证是否成立
分析2：在钝角三角形ABC中，A=120°，B = C=30°，验证是否成立
猜想：对于任意的斜三角形，也存在以下边角数量关系：
探究2：如何证明：在三角形中，角与所对的边满足关系
答：我们希望获得△ABC中的边a，b，c与它们所对角A，B，C的正弦之间的关系式．在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究
①在锐角三角形中
即
同理过C点做得
所以在锐角三角形中
②在钝角三角形中
设，过点A作与垂直的单位向量，则与的夹角为，与的夹角为，仿照上述方法，可得
正弦定理（law f sines） 在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即
注意：（1）正弦定理里面包含了3个等式 ，，
（2）使用正弦定理解三角形的条件：①已知两角及任一边，求其他两边和一角
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）
【例1】（开头情景2）如下图所示，在△ABC中，BC=24，∠B=45°，∠C=60°，求AB
解：依题意得∠A=180°-45°-60°=75°
由正弦定理得
即
【例2】在中，已知解这个三角形
解：由三角形内角和定理，得
由正弦定理，得
【例3】在中，已知，解这个三角形
解：由正弦定理，得
因为，所以
于是
（1）当时，
此时

（2）当时，
此时
方法规律：这一类型题目的解题步骤为
①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值
②用三角形内角和定理求出第三个角
③根据正弦定理求出第三条边
其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值
3、课堂练习
P48 练习
1、在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形
解 因为B＝30°，C＝105°
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°
由正弦定理，得eq \f(a,sin 45°)＝eq \f(4,sin 30°)＝eq \f(c,sin 105°)
解得a＝eq \f(4sin 45°,sin 30°)＝4eq \r(2)，c＝eq \f(4sin 105°,sin 30°)＝2(eq \r(6)＋eq \r(2))
2、在△ABC中，已知c＝eq \r(6)，A＝45°，a＝2，解三角形
解 ∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，∴sin C＝eq \f(csin A,a)＝eq \f(\r(6)sin 45°,2)＝eq \f(\r(3),2)
∵0°当C＝60°时，B＝75°，b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(\r(6)sin 75°,sin 60°)＝eq \r(3)＋1
当C＝120°时，B＝15°，b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(\r(6)sin 15°,sin 120°)＝eq \r(3)－1
∴b＝eq \r(3)＋1，B＝75°，C＝60°或b＝eq \r(3)－1，B＝15°，C＝120°
4、课堂小结
正弦定理：
应用:（1）已知两角及任一边，求其他两边和一角
（2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）
5、课后作业
习题6.4 7
课后反思