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河南省平顶山市汝州市2021-2022学年七年级下学期期末数学试卷(word版含答案)
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这是一份河南省平顶山市汝州市2021-2022学年七年级下学期期末数学试卷(word版含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省平顶山市汝州市七年级（下）期末
数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列事件属于必然事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数
B．车辆随机经过一个路口，遇到红灯
C．任意画一个三角形，其内角和是180°
D．有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形
3．（3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣3pq）2＝﹣6p2q2
B．（）0+（﹣）﹣1＝
C．1232﹣124×122＝﹣1
D．（5m3n2﹣6m2+3m）÷3m＝m2n2﹣2m+1
5．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝25°30′，则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝45°
C．∠AOD与∠1互为补角 D．∠1的余角等于65°30′
6．（3分）据报道，在中国科研团队在联合攻关下，成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．实验显示，当求解5000万个样本的高斯玻色取样时，“九章”仅需200秒．从运算等效来看，“九章”的计算用时仅为“悬铃木”用时的百亿分之一．“百亿分之一”用科学记数法可以表示为（ ）
A．1×10﹣9 B．1×10﹣10 C．1×10﹣11 D．1×10﹣12
7．（3分）如图，E、B、F、C四点在一条直线上，EB＝FC，AC∥DF，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB∥ED B．DF＝AC C．ED＝AB D．∠A＝∠D
8．（3分）甲和乙一起做游戏，下列游戏规则对双方公平的是（ ）
A．在一个装有2个红球和3个白球（每个球除颜色外都相同）的袋中任意摸出一球，摸到红球甲获胜，摸到白球乙获胜；
B．从标有号数1到100的100张卡片中，随意抽取一张，抽到号数为奇数甲获胜，否则乙获胜；
C．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数小于4则甲获胜，掷出的点数大于4则乙获胜；
D．让小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机地停在某块方块上，若小球停在黑色区域则甲获胜，若停在白色区域则乙获胜
9．（3分）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝12°，则∠EFB的度数为（ ）
A．60° B．61° C．62° D．63°
10．（3分）如图1，在四边形ABCD中，AB＝8，∠C＝90°，DC∥AB，动点P从B点出发，由B﹣C﹣D﹣A向终点A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，若y与x的关系如图2所示，则下列说法：①BC⊥AB；②四边形ABCD的周长是22．③AD＝CD．④△ABP面积的最大值为32，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）2022年6月22日，第31届世界大学生夏季运动会将在成都举办，成都大运会是中国西部第一次举办世界性综合运动会．成都大运会的口号为“成都成就梦想”，小明将分别写有“成”、“都”、“成”、“就”、“梦”、“想”汉字的六张卡片（这些卡片除汉字外无其他差别）背面朝上放在桌子上，混合均匀，然后随机摸出一张卡片，则恰好抽中“成”的概率为 ．
12．（3分）如图，某工程队从A点出发，沿北偏西67°方向修一条公路AD，在BD路段出现塌陷区，于是改变方向，由B点沿北偏东23°的方向继续修建BC段，到达C点又改变方向，从C点继续修建CE段，若使所修路段CE∥AB，∠ECB应为 度．
13．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD；③DA＝DC；④△ABC≌△ADC，其中正确结论的序号是 ．
14．（3分）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方形有 ．
15．（3分）在2022年北京冬奥会的一次主题活动中，7（2）班某学生设计了如图1的“徽章”，其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了大正方形ABCD，并画出阴影部分图形，组成形如“2”的徽章图标．则阴影部分图形的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）
三、解答（本题8个小题，共75分）
16．（10分）先化简，再求值：2（a+2）2﹣（a+1）（a﹣1），其中a＝﹣1．下表是小明的解法，请按要求解答下列问题：
小明的解法如下：
原式＝2（a2++）﹣＝2a2+4a+8﹣a2﹣1
＝……
（1）小明的解答过程里在标出①②③的几处中，出现错误的在第 和 处（填序号）；
（2）请你写出此题的正确化简过程，并求出当a＝﹣1时，代数式的值．
17．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）请判断FC与AD的数量关系，并说明理由；
（2）若AB＝6，AD＝2，求BC的长度．
18．（9分）我们知道“距离地面越高，温度越低”，下表给出了距离地面高度与所在位置的温度之间的大致关系．根据下表，请回答以下几个问题：
距离地面高度（千米）
0
1
2
3
4
5
所在位置的温度（℃）
20
14
8
2
﹣4
﹣10
（1）由表可知，距离地面高度每上升1千米，温度降低 摄氏度．
（2）如果用x表示距离地面的高度，用y表示所在位置的温度，则y与x的之间的关系式是什么？
（3）距地面8.8千米的高空温度是多少？
（4）岘山位于汝州市寄料镇，是汝州的第一高峰，有“汝州屋脊”之称．某数学活动小组测的岘山的山顶的温度为12.8℃，请你计算山的高度大约是多少米？（假设岘山所在地的地面温度为20℃）
19．（9分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BM平分∠ABC，并与AC边交于点M．
（1）作AN平分∠CAB，并与BM交于点N（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）∠BAN+∠ABN的度数为 度．
20．（9分）某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中．
柑橘总质量n/kg
…
300
350
400
450
500
损坏柑橘质量m/kg
…
30.93
35.32
40.36
45.02
51.05
柑橘损坏的频率（精确到0.001）
…
0.103
0.101
0.101
0.100
0.102
（1）柑橘损坏的概率约为 （精确到0.1）；
（2）当抽取柑橘的总质量n＝2000kg时，损坏柑橘质量m最有可能是 ．
A.99.32kgB.203.45kgC.486.76kgD.894.82kg
（3）若水果公司新进柑橘的总质量为10000kg，成本价是1.8元/kg，公司希望这些柑橘能够获得利润5400元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？
21．（9分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．
（1）若∠DAC＝30°，求∠FDC的度数；
（2）试判断∠B与∠AED的数量关系，并说明理由．
22．（10分）数学课上，张老师举了下面的例题：
例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）
例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）
张老师启发同学们进行变式，小敏编的题目如下：
变式题：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．
（1）请你解答上面的变式题．
（2）请继续探索，完成下面问题：等腰三角形ABC中，∠A＝60°，则∠B的度数为 ．
（3）根据以上探索，我们发现，∠A的度数不同，得到的∠B度数的个数也可能不同．请你直接写出当∠A满足什么条件时，∠B能得到三个不同的度数．
23．（10分）问题呈现：如图是小明复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请仔细阅读，并帮助小明完成以下学习任务：
如图①，OC平分∠AOB，点P在OC上，M、N分别是OA、OB上的点，OM＝ON，PM与PN相等吗？请说明理由．
小明的思路：要说明PM＝PN，只需说明△POM≌△PON即可．
以下是小明解决问题的过程：
解：PM＝PN，理由如下：
因为OC平分∠AOB，所以∠AOC＝∠BOC
又因为OP＝OP，OM＝ON，所以△POM≌△PON，所以PM＝PN
任务：
（1）小明得到△POM≌△PON的依据是 ．（填序号）
①SSS②SAS③AAS④ASA
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD+BC，∠DAB的平分线和∠ABC的平分线交于CD边上点P，P是CD边的中点吗？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，图②中AD与BC平行吗？请说明理由.
2021-2022学年河南省平顶山市汝州市七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列事件属于必然事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数
B．车辆随机经过一个路口，遇到红灯
C．任意画一个三角形，其内角和是180°
D．有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数，是随机事件，不符合题意；
B、车辆随机经过一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意；
D、有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形，是随机事件，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣3pq）2＝﹣6p2q2
B．（）0+（﹣）﹣1＝
C．1232﹣124×122＝﹣1
D．（5m3n2﹣6m2+3m）÷3m＝m2n2﹣2m+1
【分析】利用整式四则运算法则一一进行运算判别即可．
【解答】解：A．（﹣3pq）2＝9p2q2，此选项错误；
B．左边＝1﹣2＝﹣1≠右边，此选项错误；
C．左边＝1232﹣[（123+1）（123﹣1）]＝1232﹣1232+1＝1≠右边，此选项错误；
D．左边＝m2n2﹣2m+1＝右边，此选项正确；
∴符合题意是D．
故选：D．
【点评】本题考查了整式的四则运算，做题关键要掌握整式四则运算法则．
5．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝25°30′，则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝45°
C．∠AOD与∠1互为补角 D．∠1的余角等于65°30′
【分析】根据角平分线性质、对顶角性质、互余、互补角的定义，逐一判断．
【解答】解：A、∠1与∠3互为对顶角，因而相等，故不符合题意；
B、由OE⊥AB，可知∠AOE＝90°，OF平分∠AOE，则∠2＝45°，故不符合题意；
C、∠AOD与∠1互为邻补角，故不符合题意；
D、∠1的余角等于90°﹣25°30′＝64°30′，故符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查邻补角以及对顶角的概念，和为180°的两角互补，和为90°的两角互余．
6．（3分）据报道，在中国科研团队在联合攻关下，成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．实验显示，当求解5000万个样本的高斯玻色取样时，“九章”仅需200秒．从运算等效来看，“九章”的计算用时仅为“悬铃木”用时的百亿分之一．“百亿分之一”用科学记数法可以表示为（ ）
A．1×10﹣9 B．1×10﹣10 C．1×10﹣11 D．1×10﹣12
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：“百亿分之一＝0.0000000001”用科学记数法可以表示为1×10﹣10．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7．（3分）如图，E、B、F、C四点在一条直线上，EB＝FC，AC∥DF，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB∥ED B．DF＝AC C．ED＝AB D．∠A＝∠D
【分析】根据EB＝FC求出BC＝EF，根据平行线的性质得出∠C＝∠DFE，∠E＝∠ABC，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：∵EB＝FC，
∴EB+BF＝FC+BF，
即EF＝BC，
∵AC∥DF，
∴∠C＝∠DFE，
A．∵AB∥ED，
∴∠E＝∠ABC，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），故本选项不符合题意；
B．在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项不符合题意；
C．ED＝AB，BC＝EF，∠C＝∠DFE，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
D．∠A＝∠D，∠B＝∠DFE，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
8．（3分）甲和乙一起做游戏，下列游戏规则对双方公平的是（ ）
A．在一个装有2个红球和3个白球（每个球除颜色外都相同）的袋中任意摸出一球，摸到红球甲获胜，摸到白球乙获胜；
B．从标有号数1到100的100张卡片中，随意抽取一张，抽到号数为奇数甲获胜，否则乙获胜；
C．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数小于4则甲获胜，掷出的点数大于4则乙获胜；
D．让小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机地停在某块方块上，若小球停在黑色区域则甲获胜，若停在白色区域则乙获胜
【分析】根据概率公式分别计算出A、B、C选项中甲获胜和乙获胜的概率，利用几何概率的计算方法计算出D选项中甲获胜和乙获胜的概率，然后比较两概率的大小判断游戏的公平性．
【解答】解：A、甲获胜的概率＝，乙获胜的概率＝，而＜，所以游戏规则对双方不公平，所以A选项错误；
B、甲获胜的概率＝＝，乙获胜的概率＝＝，所以游戏规则对双方公平，所以B选项正确；
C、甲获胜的概率＝＝，乙获胜的概率＝＝，而＞，所以游戏规则对双方不公平，所以C选项错误；
D、甲获胜的概率＝，乙获胜的概率＝，而＜，所以游戏规则对双方不公平，所以D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
9．（3分）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝12°，则∠EFB的度数为（ ）
A．60° B．61° C．62° D．63°
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到BE＝CE，则AC＝EC，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AEC＝84°，接着利用三角形外角性质计算出∠EBC＝∠ECB＝42°，所以∠CBF＝21°，然后利用三角形外角性质计算∠EFB的度数．
【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵BE＝AC，
∴AC＝EC，
∴∠A＝∠AEC＝（180°﹣∠ACE）＝×（180°﹣12°）＝84°，
∵∠AEC＝∠EBC+∠ECB，
∴∠EBC＝∠ECB＝∠AEC＝42°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠CBF＝EBC＝21°，
∴∠EFB＝∠CBF+∠ECB＝21°+42°＝63°．
故选：D．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
10．（3分）如图1，在四边形ABCD中，AB＝8，∠C＝90°，DC∥AB，动点P从B点出发，由B﹣C﹣D﹣A向终点A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，若y与x的关系如图2所示，则下列说法：①BC⊥AB；②四边形ABCD的周长是22．③AD＝CD．④△ABP面积的最大值为32，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由∠C＝90°，DC∥AB，可判断①；由图2可以得出BC，DC，AD的值，从而判断②和③；当点P在CD边上时，△ABP的面积不变，从而判断④．
【解答】解：∵∠C＝90°，DC∥AB，
∴∠B＝90°，
∴BC⊥AB，故①正确；
由图2可知；BC＝4，DC＝9﹣4＝5，AD＝14﹣9＝5，
∵AB＝8，故②③正确；
当P点在CD上运动是△ABP面积的最大，
△ABP面积的最大为8×4×＝16，故④不正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查动点问题与函数图象等知识点的理解和掌握，正确观察图形得到数据是解此题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）2022年6月22日，第31届世界大学生夏季运动会将在成都举办，成都大运会是中国西部第一次举办世界性综合运动会．成都大运会的口号为“成都成就梦想”，小明将分别写有“成”、“都”、“成”、“就”、“梦”、“想”汉字的六张卡片（这些卡片除汉字外无其他差别）背面朝上放在桌子上，混合均匀，然后随机摸出一张卡片，则恰好抽中“成”的概率为 ．
【分析】直接利用概率公式求解即可．
【解答】解：共6个字，其中有2个成字，
∴随机摸出一张卡片，则恰好抽中“成”的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
12．（3分）如图，某工程队从A点出发，沿北偏西67°方向修一条公路AD，在BD路段出现塌陷区，于是改变方向，由B点沿北偏东23°的方向继续修建BC段，到达C点又改变方向，从C点继续修建CE段，若使所修路段CE∥AB，∠ECB应为 90 度．
【分析】根据题意可得：BQ∥AP，再利用平行线的性质可得∠DBQ＝67°，从而求出∠DBC＝90°，然后利用平行线的性质进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
BQ∥AP，
∴∠DBQ＝∠DAP＝67°，
∵∠QBC＝23°，
∴∠DBC＝∠DBQ+∠QBC＝90°，
∵EC∥DB，
∴∠ECB＝180°﹣∠DBC＝90°，
故答案为：90．
【点评】本题考查了平行线的性质，方向角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
13．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD；③DA＝DC；④△ABC≌△ADC，其中正确结论的序号是 ①②④ ．
【分析】由全等三角形的性质可得∠AOB＝∠AOD＝90°，可判断①；由条件可得出AC垂直平分BD，可判断②；若DA＝DC，则四边形ABCD为菱形，由条件无法判断，则可判断③；利用SSS可证明△ABC≌△ADC，可判断④，从而得出答案．
【解答】解：∵△ABO≌△ADO，
∴∠AOB＝∠AOD，且∠AOB+∠AOD＝180°，
∴∠AOB＝∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD，故①正确；
∵BO＝OD，
∴AC垂直平分BD，
∴CB＝DC，故②正确；
若AD＝DC，则可知AB＝AD＝DC＝BC，
∴四边形ABCD为菱形时才有AD＝DC成立，故③不正确；
在△ABC和△ADC中
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），故④正确；
综上可知正确的结论为①②④，
故答案为①②④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质．掌握各性质与定理是解题的关键．
14．（3分）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方形有 4 ．
【分析】利用轴对称的定义可得答案．
【解答】解：如图所示：
，
共4个，
故答案为：4．
【点评】本题考查利用轴对称设计图案，轴对称图形等知识，解题的关键是连接轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
15．（3分）在2022年北京冬奥会的一次主题活动中，7（2）班某学生设计了如图1的“徽章”，其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了大正方形ABCD，并画出阴影部分图形，组成形如“2”的徽章图标．则阴影部分图形的面积为 2ab+b2 ．（用含a、b的代数式表示）
【分析】用大正方形面积减去4个三角形面积即可列出算式，再计算即可．
【解答】解：阴影部分的面积为：
（a+2b）2﹣b2×2﹣a•（a+2b）﹣（a+b）2
＝a2+4ab+4b2﹣b2﹣a2﹣ab﹣a2﹣ab﹣b2
＝2ab+b2．
故答案为：2ab+b2．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握三角形面积公式及整式的相关运算法则．
三、解答（本题8个小题，共75分）
16．（10分）先化简，再求值：2（a+2）2﹣（a+1）（a﹣1），其中a＝﹣1．下表是小明的解法，请按要求解答下列问题：
小明的解法如下：
原式＝2（a2++）﹣＝2a2+4a+8﹣a2﹣1
＝……
（1）小明的解答过程里在标出①②③的几处中，出现错误的在第 ① 和 ③ 处（填序号）；
（2）请你写出此题的正确化简过程，并求出当a＝﹣1时，代数式的值．
【分析】（1）根据完全平方公式，以及整式的减法运算，即可解答；
（2）先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（1）小明的解答过程里在标出①②③的几处中，出现错误的在第①和③处，
故答案为：①，③；
（2）2（a+2）2﹣（a+1）（a﹣1）
＝2（a2+4a+4）﹣（a2﹣1）
＝2a2+8a+8﹣a2+1
＝a2+8a+9，
当a＝﹣1时，原式＝（﹣1）2+8×（﹣1）+9
＝1﹣8+9
＝2．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）请判断FC与AD的数量关系，并说明理由；
（2）若AB＝6，AD＝2，求BC的长度．
【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．
（2）根据全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF，据此求解即可．
【解答】解：（1）FC＝AD，理由如下：
∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），
∴DE＝EC（中点的定义）．
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC＝AD（全等三角形的性质）．
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的对应边相等），
∵BE⊥AE，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝BF＝BC+CF，
∴AB＝BC+AD，
∵AB＝6，AD＝2，
∴BC＝4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
18．（9分）我们知道“距离地面越高，温度越低”，下表给出了距离地面高度与所在位置的温度之间的大致关系．根据下表，请回答以下几个问题：
距离地面高度（千米）
0
1
2
3
4
5
所在位置的温度（℃）
20
14
8
2
﹣4
﹣10
（1）由表可知，距离地面高度每上升1千米，温度降低 6 摄氏度．
（2）如果用x表示距离地面的高度，用y表示所在位置的温度，则y与x的之间的关系式是什么？
（3）距地面8.8千米的高空温度是多少？
（4）岘山位于汝州市寄料镇，是汝州的第一高峰，有“汝州屋脊”之称．某数学活动小组测的岘山的山顶的温度为12.8℃，请你计算山的高度大约是多少米？（假设岘山所在地的地面温度为20℃）
【分析】（1）根据表格中两个变量对应值的变化规律可得答案；
（2）根据“所在位置的温度y＝20﹣降低的温度”可得答案；
（3）把x＝8.8代入计算，求出y即可；
（4）根据气温随高度的变化规律求出答案即可．
【解答】解：（1）由表格中两个变量对应值的变化规律可知，
当距离地面高度每上升1千米，温度降低6℃，
故答案为：6；
（2）由题意得，y＝20﹣6x，
答：y与x的之间的关系式是y＝20﹣6x；
（3）当x＝8.8时，y＝20﹣6×8.8＝﹣32.8，
答：距地面8.8千米的高空温度是﹣32.8℃；
（4）（20﹣12.8）÷6×1000＝1200（米），
答：山的高度大约是1200米．
【点评】本题考查函数关系式，发现表格中两个变量对应值的变化规律是解决问题的关键．
19．（9分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BM平分∠ABC，并与AC边交于点M．
（1）作AN平分∠CAB，并与BM交于点N（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）∠BAN+∠ABN的度数为 45 度．
【分析】（1）利用基本作图作∠CAB的平分线即可；
（2）先根据直角三角形的性质得到∠CAB+∠CBA＝90°，然后根据角平分线的定义得到∠BAN＝∠CAB，∠ABN＝∠ABC，从而得到∠BAN+∠ABN＝45°．
【解答】解：（1）如图，AN为所作；
（2）∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵AN平分∠CAB，BM平分∠ABC，
∴∠BAN＝∠CAB，∠ABN＝∠ABC，
∴∠BAN+∠ABN＝（∠CAB+∠ABC）＝×90°＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直角三角形的性质．
20．（9分）某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中．
柑橘总质量n/kg
…
300
350
400
450
500
损坏柑橘质量m/kg
…
30.93
35.32
40.36
45.02
51.05
柑橘损坏的频率（精确到0.001）
…
0.103
0.101
0.101
0.100
0.102
（1）柑橘损坏的概率约为 0.1 （精确到0.1）；
（2）当抽取柑橘的总质量n＝2000kg时，损坏柑橘质量m最有可能是 B ．
A.99.32kgB.203.45kgC.486.76kgD.894.82kg
（3）若水果公司新进柑橘的总质量为10000kg，成本价是1.8元/kg，公司希望这些柑橘能够获得利润5400元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？
【分析】（1）根据随着总质量的增加，频率的稳定值可得答案；
（2）总质量乘以柑橘损坏的概率即可得出答案；
（3）设每千克定价为x元，根据“销售额﹣总成本＝利润”列方程求解即可．
【解答】解：（1）柑橘损坏的概率约为0.1，
故答案为：0.1；
（2）当抽取柑橘的总质量n＝2000kg时，损坏柑橘质量m约为2000×0.1＝200（kg），
故选：B．
（3）设每千克定价为x元，
则10000×（1﹣0.1）x﹣10000×1.8＝5400，
解得x＝2.6，
答：在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为2.6元比较合适．
【点评】考查了用频率估计概率的知识，用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解决问题的关键．
21．（9分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．
（1）若∠DAC＝30°，求∠FDC的度数；
（2）试判断∠B与∠AED的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADC＝∠ADB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到AF＝DF，求得∠ADF＝∠DAF＝30°，于是得到答案；
（2）根据平行线的判定定理得到EF∥BC，根据平行线的性质定理得到∠AEF＝∠B，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝DE，由等腰三角形的性质得到∠AEF＝∠DEF，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵EF垂直平分AD，
∴AF＝DF，
∴∠ADF＝∠DAF＝30°，
∴∠FDC＝90°﹣30°＝60°；
（2）∠AED＝2∠B，
理由：∵AD⊥BC，EF⊥AD，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，
∵EF垂直平分AD，
∴AE＝DE，
∴∠AEF＝∠DEF，
∴∠B＝∠AEF＝∠DEF，
∴∠AED＝2∠B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
22．（10分）数学课上，张老师举了下面的例题：
例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）
例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）
张老师启发同学们进行变式，小敏编的题目如下：
变式题：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．
（1）请你解答上面的变式题．
（2）请继续探索，完成下面问题：等腰三角形ABC中，∠A＝60°，则∠B的度数为 60° ．
（3）根据以上探索，我们发现，∠A的度数不同，得到的∠B度数的个数也可能不同．请你直接写出当∠A满足什么条件时，∠B能得到三个不同的度数．
【分析】（1）∠A是顶角，则∠B是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；∠B是顶角，则∠A是底角，则根据等腰三角形的两个底角相等，以及三角形的内角和定理即可求解；∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；
（2）分两种情况：①90≤x＜180；②0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：（1）当∠A＝80°为顶角时，
∠B＝＝50°；
当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；
当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°，
综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°；
（2）因为有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，所以∠B＝60°，
故答案为：60°．
（3）分两种情况：设∠A＝x°，
①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个；
②当0＜x＜90时，
若∠A为顶角，则∠B＝（）°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2x）°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°．
当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，
即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，可知当0°＜∠A＜90°且x≠60°时，∠B有三个不同的度数．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．
23．（10分）问题呈现：如图是小明复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请仔细阅读，并帮助小明完成以下学习任务：
如图①，OC平分∠AOB，点P在OC上，M、N分别是OA、OB上的点，OM＝ON，PM与PN相等吗？请说明理由．
小明的思路：要说明PM＝PN，只需说明△POM≌△PON即可．
以下是小明解决问题的过程：
解：PM＝PN，理由如下：
因为OC平分∠AOB，所以∠AOC＝∠BOC
又因为OP＝OP，OM＝ON，所以△POM≌△PON，所以PM＝PN
任务：
（1）小明得到△POM≌△PON的依据是 ② ．（填序号）
①SSS②SAS③AAS④ASA
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD+BC，∠DAB的平分线和∠ABC的平分线交于CD边上点P，P是CD边的中点吗？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，图②中AD与BC平行吗？请说明理由.
【分析】（1）由“SAS”可证△MOP≌△NOP，可得PM＝PN；
（2）在AB上截取AE＝AD，连接PE，由“SAS”可证△ADP≌△AEP，△BPE≌△BPC，可得PD＝PE＝PC；
（3）由平行线的判定可得出结论．
【解答】解：（1）∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC，
又∵OP＝OP，OM＝ON，
∴△MOP≌△NOP（SAS），
∴PM＝PN；
∴小明得出△MOP≌△NOP的依据是SAS．
故答案为：②；
（2）如图②，在AB上截取AE＝AD，连接PE，
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP＝∠BAP，
又∵AD＝AE，AP＝AP，
∴△ADP≌△AEP（SAS），
∴PD＝PE，∠D＝∠AEP，
∵AB＝AD+BC，AB＝AE+BE，
∴BE＝BC，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
又∵BP＝BP，
∴△BPC≌△BPE（SAS），
∴PC＝PE，∠PCB＝∠PEB，
∴PC＝PD，
即P是CD的中点；
（3）AD∥BC．
理由：由（2）可知∠D＝∠AEP，∠PCB＝∠PEB，
∵∠AEP+∠PEB＝180°，
∴∠PCB+∠D＝180°，
∴AD∥BC．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
2021-2022学年河南省平顶山市汝州市七年级（下）期末
数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列事件属于必然事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数
B．车辆随机经过一个路口，遇到红灯
C．任意画一个三角形，其内角和是180°
D．有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形
3．（3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣3pq）2＝﹣6p2q2
B．（）0+（﹣）﹣1＝
C．1232﹣124×122＝﹣1
D．（5m3n2﹣6m2+3m）÷3m＝m2n2﹣2m+1
5．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝25°30′，则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝45°
C．∠AOD与∠1互为补角 D．∠1的余角等于65°30′
6．（3分）据报道，在中国科研团队在联合攻关下，成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．实验显示，当求解5000万个样本的高斯玻色取样时，“九章”仅需200秒．从运算等效来看，“九章”的计算用时仅为“悬铃木”用时的百亿分之一．“百亿分之一”用科学记数法可以表示为（ ）
A．1×10﹣9 B．1×10﹣10 C．1×10﹣11 D．1×10﹣12
7．（3分）如图，E、B、F、C四点在一条直线上，EB＝FC，AC∥DF，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB∥ED B．DF＝AC C．ED＝AB D．∠A＝∠D
8．（3分）甲和乙一起做游戏，下列游戏规则对双方公平的是（ ）
A．在一个装有2个红球和3个白球（每个球除颜色外都相同）的袋中任意摸出一球，摸到红球甲获胜，摸到白球乙获胜；
B．从标有号数1到100的100张卡片中，随意抽取一张，抽到号数为奇数甲获胜，否则乙获胜；
C．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数小于4则甲获胜，掷出的点数大于4则乙获胜；
D．让小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机地停在某块方块上，若小球停在黑色区域则甲获胜，若停在白色区域则乙获胜
9．（3分）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝12°，则∠EFB的度数为（ ）
A．60° B．61° C．62° D．63°
10．（3分）如图1，在四边形ABCD中，AB＝8，∠C＝90°，DC∥AB，动点P从B点出发，由B﹣C﹣D﹣A向终点A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，若y与x的关系如图2所示，则下列说法：①BC⊥AB；②四边形ABCD的周长是22．③AD＝CD．④△ABP面积的最大值为32，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）2022年6月22日，第31届世界大学生夏季运动会将在成都举办，成都大运会是中国西部第一次举办世界性综合运动会．成都大运会的口号为“成都成就梦想”，小明将分别写有“成”、“都”、“成”、“就”、“梦”、“想”汉字的六张卡片（这些卡片除汉字外无其他差别）背面朝上放在桌子上，混合均匀，然后随机摸出一张卡片，则恰好抽中“成”的概率为 ．
12．（3分）如图，某工程队从A点出发，沿北偏西67°方向修一条公路AD，在BD路段出现塌陷区，于是改变方向，由B点沿北偏东23°的方向继续修建BC段，到达C点又改变方向，从C点继续修建CE段，若使所修路段CE∥AB，∠ECB应为 度．
13．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD；③DA＝DC；④△ABC≌△ADC，其中正确结论的序号是 ．
14．（3分）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方形有 ．
15．（3分）在2022年北京冬奥会的一次主题活动中，7（2）班某学生设计了如图1的“徽章”，其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了大正方形ABCD，并画出阴影部分图形，组成形如“2”的徽章图标．则阴影部分图形的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）
三、解答（本题8个小题，共75分）
16．（10分）先化简，再求值：2（a+2）2﹣（a+1）（a﹣1），其中a＝﹣1．下表是小明的解法，请按要求解答下列问题：
小明的解法如下：
原式＝2（a2++）﹣＝2a2+4a+8﹣a2﹣1
＝……
（1）小明的解答过程里在标出①②③的几处中，出现错误的在第 和 处（填序号）；
（2）请你写出此题的正确化简过程，并求出当a＝﹣1时，代数式的值．
17．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）请判断FC与AD的数量关系，并说明理由；
（2）若AB＝6，AD＝2，求BC的长度．
18．（9分）我们知道“距离地面越高，温度越低”，下表给出了距离地面高度与所在位置的温度之间的大致关系．根据下表，请回答以下几个问题：
距离地面高度（千米）
0
1
2
3
4
5
所在位置的温度（℃）
20
14
8
2
﹣4
﹣10
（1）由表可知，距离地面高度每上升1千米，温度降低 摄氏度．
（2）如果用x表示距离地面的高度，用y表示所在位置的温度，则y与x的之间的关系式是什么？
（3）距地面8.8千米的高空温度是多少？
（4）岘山位于汝州市寄料镇，是汝州的第一高峰，有“汝州屋脊”之称．某数学活动小组测的岘山的山顶的温度为12.8℃，请你计算山的高度大约是多少米？（假设岘山所在地的地面温度为20℃）
19．（9分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BM平分∠ABC，并与AC边交于点M．
（1）作AN平分∠CAB，并与BM交于点N（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）∠BAN+∠ABN的度数为 度．
20．（9分）某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中．
柑橘总质量n/kg
…
300
350
400
450
500
损坏柑橘质量m/kg
…
30.93
35.32
40.36
45.02
51.05
柑橘损坏的频率（精确到0.001）
…
0.103
0.101
0.101
0.100
0.102
（1）柑橘损坏的概率约为 （精确到0.1）；
（2）当抽取柑橘的总质量n＝2000kg时，损坏柑橘质量m最有可能是 ．
A.99.32kgB.203.45kgC.486.76kgD.894.82kg
（3）若水果公司新进柑橘的总质量为10000kg，成本价是1.8元/kg，公司希望这些柑橘能够获得利润5400元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？
21．（9分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．
（1）若∠DAC＝30°，求∠FDC的度数；
（2）试判断∠B与∠AED的数量关系，并说明理由．
22．（10分）数学课上，张老师举了下面的例题：
例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）
例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）
张老师启发同学们进行变式，小敏编的题目如下：
变式题：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．
（1）请你解答上面的变式题．
（2）请继续探索，完成下面问题：等腰三角形ABC中，∠A＝60°，则∠B的度数为 ．
（3）根据以上探索，我们发现，∠A的度数不同，得到的∠B度数的个数也可能不同．请你直接写出当∠A满足什么条件时，∠B能得到三个不同的度数．
23．（10分）问题呈现：如图是小明复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请仔细阅读，并帮助小明完成以下学习任务：
如图①，OC平分∠AOB，点P在OC上，M、N分别是OA、OB上的点，OM＝ON，PM与PN相等吗？请说明理由．
小明的思路：要说明PM＝PN，只需说明△POM≌△PON即可．
以下是小明解决问题的过程：
解：PM＝PN，理由如下：
因为OC平分∠AOB，所以∠AOC＝∠BOC
又因为OP＝OP，OM＝ON，所以△POM≌△PON，所以PM＝PN
任务：
（1）小明得到△POM≌△PON的依据是 ．（填序号）
①SSS②SAS③AAS④ASA
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD+BC，∠DAB的平分线和∠ABC的平分线交于CD边上点P，P是CD边的中点吗？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，图②中AD与BC平行吗？请说明理由.
2021-2022学年河南省平顶山市汝州市七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列事件属于必然事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数
B．车辆随机经过一个路口，遇到红灯
C．任意画一个三角形，其内角和是180°
D．有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数，是随机事件，不符合题意；
B、车辆随机经过一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意；
D、有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形，是随机事件，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣3pq）2＝﹣6p2q2
B．（）0+（﹣）﹣1＝
C．1232﹣124×122＝﹣1
D．（5m3n2﹣6m2+3m）÷3m＝m2n2﹣2m+1
【分析】利用整式四则运算法则一一进行运算判别即可．
【解答】解：A．（﹣3pq）2＝9p2q2，此选项错误；
B．左边＝1﹣2＝﹣1≠右边，此选项错误；
C．左边＝1232﹣[（123+1）（123﹣1）]＝1232﹣1232+1＝1≠右边，此选项错误；
D．左边＝m2n2﹣2m+1＝右边，此选项正确；
∴符合题意是D．
故选：D．
【点评】本题考查了整式的四则运算，做题关键要掌握整式四则运算法则．
5．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝25°30′，则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝45°
C．∠AOD与∠1互为补角 D．∠1的余角等于65°30′
【分析】根据角平分线性质、对顶角性质、互余、互补角的定义，逐一判断．
【解答】解：A、∠1与∠3互为对顶角，因而相等，故不符合题意；
B、由OE⊥AB，可知∠AOE＝90°，OF平分∠AOE，则∠2＝45°，故不符合题意；
C、∠AOD与∠1互为邻补角，故不符合题意；
D、∠1的余角等于90°﹣25°30′＝64°30′，故符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查邻补角以及对顶角的概念，和为180°的两角互补，和为90°的两角互余．
6．（3分）据报道，在中国科研团队在联合攻关下，成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．实验显示，当求解5000万个样本的高斯玻色取样时，“九章”仅需200秒．从运算等效来看，“九章”的计算用时仅为“悬铃木”用时的百亿分之一．“百亿分之一”用科学记数法可以表示为（ ）
A．1×10﹣9 B．1×10﹣10 C．1×10﹣11 D．1×10﹣12
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：“百亿分之一＝0.0000000001”用科学记数法可以表示为1×10﹣10．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7．（3分）如图，E、B、F、C四点在一条直线上，EB＝FC，AC∥DF，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB∥ED B．DF＝AC C．ED＝AB D．∠A＝∠D
【分析】根据EB＝FC求出BC＝EF，根据平行线的性质得出∠C＝∠DFE，∠E＝∠ABC，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：∵EB＝FC，
∴EB+BF＝FC+BF，
即EF＝BC，
∵AC∥DF，
∴∠C＝∠DFE，
A．∵AB∥ED，
∴∠E＝∠ABC，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），故本选项不符合题意；
B．在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项不符合题意；
C．ED＝AB，BC＝EF，∠C＝∠DFE，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
D．∠A＝∠D，∠B＝∠DFE，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
8．（3分）甲和乙一起做游戏，下列游戏规则对双方公平的是（ ）
A．在一个装有2个红球和3个白球（每个球除颜色外都相同）的袋中任意摸出一球，摸到红球甲获胜，摸到白球乙获胜；
B．从标有号数1到100的100张卡片中，随意抽取一张，抽到号数为奇数甲获胜，否则乙获胜；
C．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数小于4则甲获胜，掷出的点数大于4则乙获胜；
D．让小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机地停在某块方块上，若小球停在黑色区域则甲获胜，若停在白色区域则乙获胜
【分析】根据概率公式分别计算出A、B、C选项中甲获胜和乙获胜的概率，利用几何概率的计算方法计算出D选项中甲获胜和乙获胜的概率，然后比较两概率的大小判断游戏的公平性．
【解答】解：A、甲获胜的概率＝，乙获胜的概率＝，而＜，所以游戏规则对双方不公平，所以A选项错误；
B、甲获胜的概率＝＝，乙获胜的概率＝＝，所以游戏规则对双方公平，所以B选项正确；
C、甲获胜的概率＝＝，乙获胜的概率＝＝，而＞，所以游戏规则对双方不公平，所以C选项错误；
D、甲获胜的概率＝，乙获胜的概率＝，而＜，所以游戏规则对双方不公平，所以D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
9．（3分）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝12°，则∠EFB的度数为（ ）
A．60° B．61° C．62° D．63°
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到BE＝CE，则AC＝EC，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AEC＝84°，接着利用三角形外角性质计算出∠EBC＝∠ECB＝42°，所以∠CBF＝21°，然后利用三角形外角性质计算∠EFB的度数．
【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵BE＝AC，
∴AC＝EC，
∴∠A＝∠AEC＝（180°﹣∠ACE）＝×（180°﹣12°）＝84°，
∵∠AEC＝∠EBC+∠ECB，
∴∠EBC＝∠ECB＝∠AEC＝42°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠CBF＝EBC＝21°，
∴∠EFB＝∠CBF+∠ECB＝21°+42°＝63°．
故选：D．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
10．（3分）如图1，在四边形ABCD中，AB＝8，∠C＝90°，DC∥AB，动点P从B点出发，由B﹣C﹣D﹣A向终点A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，若y与x的关系如图2所示，则下列说法：①BC⊥AB；②四边形ABCD的周长是22．③AD＝CD．④△ABP面积的最大值为32，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由∠C＝90°，DC∥AB，可判断①；由图2可以得出BC，DC，AD的值，从而判断②和③；当点P在CD边上时，△ABP的面积不变，从而判断④．
【解答】解：∵∠C＝90°，DC∥AB，
∴∠B＝90°，
∴BC⊥AB，故①正确；
由图2可知；BC＝4，DC＝9﹣4＝5，AD＝14﹣9＝5，
∵AB＝8，故②③正确；
当P点在CD上运动是△ABP面积的最大，
△ABP面积的最大为8×4×＝16，故④不正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查动点问题与函数图象等知识点的理解和掌握，正确观察图形得到数据是解此题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）2022年6月22日，第31届世界大学生夏季运动会将在成都举办，成都大运会是中国西部第一次举办世界性综合运动会．成都大运会的口号为“成都成就梦想”，小明将分别写有“成”、“都”、“成”、“就”、“梦”、“想”汉字的六张卡片（这些卡片除汉字外无其他差别）背面朝上放在桌子上，混合均匀，然后随机摸出一张卡片，则恰好抽中“成”的概率为 ．
【分析】直接利用概率公式求解即可．
【解答】解：共6个字，其中有2个成字，
∴随机摸出一张卡片，则恰好抽中“成”的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
12．（3分）如图，某工程队从A点出发，沿北偏西67°方向修一条公路AD，在BD路段出现塌陷区，于是改变方向，由B点沿北偏东23°的方向继续修建BC段，到达C点又改变方向，从C点继续修建CE段，若使所修路段CE∥AB，∠ECB应为 90 度．
【分析】根据题意可得：BQ∥AP，再利用平行线的性质可得∠DBQ＝67°，从而求出∠DBC＝90°，然后利用平行线的性质进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
BQ∥AP，
∴∠DBQ＝∠DAP＝67°，
∵∠QBC＝23°，
∴∠DBC＝∠DBQ+∠QBC＝90°，
∵EC∥DB，
∴∠ECB＝180°﹣∠DBC＝90°，
故答案为：90．
【点评】本题考查了平行线的性质，方向角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
13．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD；③DA＝DC；④△ABC≌△ADC，其中正确结论的序号是 ①②④ ．
【分析】由全等三角形的性质可得∠AOB＝∠AOD＝90°，可判断①；由条件可得出AC垂直平分BD，可判断②；若DA＝DC，则四边形ABCD为菱形，由条件无法判断，则可判断③；利用SSS可证明△ABC≌△ADC，可判断④，从而得出答案．
【解答】解：∵△ABO≌△ADO，
∴∠AOB＝∠AOD，且∠AOB+∠AOD＝180°，
∴∠AOB＝∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD，故①正确；
∵BO＝OD，
∴AC垂直平分BD，
∴CB＝DC，故②正确；
若AD＝DC，则可知AB＝AD＝DC＝BC，
∴四边形ABCD为菱形时才有AD＝DC成立，故③不正确；
在△ABC和△ADC中
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），故④正确；
综上可知正确的结论为①②④，
故答案为①②④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质．掌握各性质与定理是解题的关键．
14．（3分）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方形有 4 ．
【分析】利用轴对称的定义可得答案．
【解答】解：如图所示：
，
共4个，
故答案为：4．
【点评】本题考查利用轴对称设计图案，轴对称图形等知识，解题的关键是连接轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
15．（3分）在2022年北京冬奥会的一次主题活动中，7（2）班某学生设计了如图1的“徽章”，其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了大正方形ABCD，并画出阴影部分图形，组成形如“2”的徽章图标．则阴影部分图形的面积为 2ab+b2 ．（用含a、b的代数式表示）
【分析】用大正方形面积减去4个三角形面积即可列出算式，再计算即可．
【解答】解：阴影部分的面积为：
（a+2b）2﹣b2×2﹣a•（a+2b）﹣（a+b）2
＝a2+4ab+4b2﹣b2﹣a2﹣ab﹣a2﹣ab﹣b2
＝2ab+b2．
故答案为：2ab+b2．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握三角形面积公式及整式的相关运算法则．
三、解答（本题8个小题，共75分）
16．（10分）先化简，再求值：2（a+2）2﹣（a+1）（a﹣1），其中a＝﹣1．下表是小明的解法，请按要求解答下列问题：
小明的解法如下：
原式＝2（a2++）﹣＝2a2+4a+8﹣a2﹣1
＝……
（1）小明的解答过程里在标出①②③的几处中，出现错误的在第 ① 和 ③ 处（填序号）；
（2）请你写出此题的正确化简过程，并求出当a＝﹣1时，代数式的值．
【分析】（1）根据完全平方公式，以及整式的减法运算，即可解答；
（2）先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（1）小明的解答过程里在标出①②③的几处中，出现错误的在第①和③处，
故答案为：①，③；
（2）2（a+2）2﹣（a+1）（a﹣1）
＝2（a2+4a+4）﹣（a2﹣1）
＝2a2+8a+8﹣a2+1
＝a2+8a+9，
当a＝﹣1时，原式＝（﹣1）2+8×（﹣1）+9
＝1﹣8+9
＝2．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）请判断FC与AD的数量关系，并说明理由；
（2）若AB＝6，AD＝2，求BC的长度．
【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．
（2）根据全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF，据此求解即可．
【解答】解：（1）FC＝AD，理由如下：
∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），
∴DE＝EC（中点的定义）．
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC＝AD（全等三角形的性质）．
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的对应边相等），
∵BE⊥AE，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝BF＝BC+CF，
∴AB＝BC+AD，
∵AB＝6，AD＝2，
∴BC＝4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
18．（9分）我们知道“距离地面越高，温度越低”，下表给出了距离地面高度与所在位置的温度之间的大致关系．根据下表，请回答以下几个问题：
距离地面高度（千米）
0
1
2
3
4
5
所在位置的温度（℃）
20
14
8
2
﹣4
﹣10
（1）由表可知，距离地面高度每上升1千米，温度降低 6 摄氏度．
（2）如果用x表示距离地面的高度，用y表示所在位置的温度，则y与x的之间的关系式是什么？
（3）距地面8.8千米的高空温度是多少？
（4）岘山位于汝州市寄料镇，是汝州的第一高峰，有“汝州屋脊”之称．某数学活动小组测的岘山的山顶的温度为12.8℃，请你计算山的高度大约是多少米？（假设岘山所在地的地面温度为20℃）
【分析】（1）根据表格中两个变量对应值的变化规律可得答案；
（2）根据“所在位置的温度y＝20﹣降低的温度”可得答案；
（3）把x＝8.8代入计算，求出y即可；
（4）根据气温随高度的变化规律求出答案即可．
【解答】解：（1）由表格中两个变量对应值的变化规律可知，
当距离地面高度每上升1千米，温度降低6℃，
故答案为：6；
（2）由题意得，y＝20﹣6x，
答：y与x的之间的关系式是y＝20﹣6x；
（3）当x＝8.8时，y＝20﹣6×8.8＝﹣32.8，
答：距地面8.8千米的高空温度是﹣32.8℃；
（4）（20﹣12.8）÷6×1000＝1200（米），
答：山的高度大约是1200米．
【点评】本题考查函数关系式，发现表格中两个变量对应值的变化规律是解决问题的关键．
19．（9分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BM平分∠ABC，并与AC边交于点M．
（1）作AN平分∠CAB，并与BM交于点N（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）∠BAN+∠ABN的度数为 45 度．
【分析】（1）利用基本作图作∠CAB的平分线即可；
（2）先根据直角三角形的性质得到∠CAB+∠CBA＝90°，然后根据角平分线的定义得到∠BAN＝∠CAB，∠ABN＝∠ABC，从而得到∠BAN+∠ABN＝45°．
【解答】解：（1）如图，AN为所作；
（2）∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵AN平分∠CAB，BM平分∠ABC，
∴∠BAN＝∠CAB，∠ABN＝∠ABC，
∴∠BAN+∠ABN＝（∠CAB+∠ABC）＝×90°＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直角三角形的性质．
20．（9分）某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中．
柑橘总质量n/kg
…
300
350
400
450
500
损坏柑橘质量m/kg
…
30.93
35.32
40.36
45.02
51.05
柑橘损坏的频率（精确到0.001）
…
0.103
0.101
0.101
0.100
0.102
（1）柑橘损坏的概率约为 0.1 （精确到0.1）；
（2）当抽取柑橘的总质量n＝2000kg时，损坏柑橘质量m最有可能是 B ．
A.99.32kgB.203.45kgC.486.76kgD.894.82kg
（3）若水果公司新进柑橘的总质量为10000kg，成本价是1.8元/kg，公司希望这些柑橘能够获得利润5400元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？
【分析】（1）根据随着总质量的增加，频率的稳定值可得答案；
（2）总质量乘以柑橘损坏的概率即可得出答案；
（3）设每千克定价为x元，根据“销售额﹣总成本＝利润”列方程求解即可．
【解答】解：（1）柑橘损坏的概率约为0.1，
故答案为：0.1；
（2）当抽取柑橘的总质量n＝2000kg时，损坏柑橘质量m约为2000×0.1＝200（kg），
故选：B．
（3）设每千克定价为x元，
则10000×（1﹣0.1）x﹣10000×1.8＝5400，
解得x＝2.6，
答：在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为2.6元比较合适．
【点评】考查了用频率估计概率的知识，用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解决问题的关键．
21．（9分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．
（1）若∠DAC＝30°，求∠FDC的度数；
（2）试判断∠B与∠AED的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADC＝∠ADB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到AF＝DF，求得∠ADF＝∠DAF＝30°，于是得到答案；
（2）根据平行线的判定定理得到EF∥BC，根据平行线的性质定理得到∠AEF＝∠B，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝DE，由等腰三角形的性质得到∠AEF＝∠DEF，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵EF垂直平分AD，
∴AF＝DF，
∴∠ADF＝∠DAF＝30°，
∴∠FDC＝90°﹣30°＝60°；
（2）∠AED＝2∠B，
理由：∵AD⊥BC，EF⊥AD，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，
∵EF垂直平分AD，
∴AE＝DE，
∴∠AEF＝∠DEF，
∴∠B＝∠AEF＝∠DEF，
∴∠AED＝2∠B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
22．（10分）数学课上，张老师举了下面的例题：
例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）
例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）
张老师启发同学们进行变式，小敏编的题目如下：
变式题：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．
（1）请你解答上面的变式题．
（2）请继续探索，完成下面问题：等腰三角形ABC中，∠A＝60°，则∠B的度数为 60° ．
（3）根据以上探索，我们发现，∠A的度数不同，得到的∠B度数的个数也可能不同．请你直接写出当∠A满足什么条件时，∠B能得到三个不同的度数．
【分析】（1）∠A是顶角，则∠B是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；∠B是顶角，则∠A是底角，则根据等腰三角形的两个底角相等，以及三角形的内角和定理即可求解；∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；
（2）分两种情况：①90≤x＜180；②0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：（1）当∠A＝80°为顶角时，
∠B＝＝50°；
当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；
当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°，
综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°；
（2）因为有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，所以∠B＝60°，
故答案为：60°．
（3）分两种情况：设∠A＝x°，
①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个；
②当0＜x＜90时，
若∠A为顶角，则∠B＝（）°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2x）°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°．
当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，
即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，可知当0°＜∠A＜90°且x≠60°时，∠B有三个不同的度数．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．
23．（10分）问题呈现：如图是小明复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请仔细阅读，并帮助小明完成以下学习任务：
如图①，OC平分∠AOB，点P在OC上，M、N分别是OA、OB上的点，OM＝ON，PM与PN相等吗？请说明理由．
小明的思路：要说明PM＝PN，只需说明△POM≌△PON即可．
以下是小明解决问题的过程：
解：PM＝PN，理由如下：
因为OC平分∠AOB，所以∠AOC＝∠BOC
又因为OP＝OP，OM＝ON，所以△POM≌△PON，所以PM＝PN
任务：
（1）小明得到△POM≌△PON的依据是 ② ．（填序号）
①SSS②SAS③AAS④ASA
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD+BC，∠DAB的平分线和∠ABC的平分线交于CD边上点P，P是CD边的中点吗？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，图②中AD与BC平行吗？请说明理由.
【分析】（1）由“SAS”可证△MOP≌△NOP，可得PM＝PN；
（2）在AB上截取AE＝AD，连接PE，由“SAS”可证△ADP≌△AEP，△BPE≌△BPC，可得PD＝PE＝PC；
（3）由平行线的判定可得出结论．
【解答】解：（1）∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC，
又∵OP＝OP，OM＝ON，
∴△MOP≌△NOP（SAS），
∴PM＝PN；
∴小明得出△MOP≌△NOP的依据是SAS．
故答案为：②；
（2）如图②，在AB上截取AE＝AD，连接PE，
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP＝∠BAP，
又∵AD＝AE，AP＝AP，
∴△ADP≌△AEP（SAS），
∴PD＝PE，∠D＝∠AEP，
∵AB＝AD+BC，AB＝AE+BE，
∴BE＝BC，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
又∵BP＝BP，
∴△BPC≌△BPE（SAS），
∴PC＝PE，∠PCB＝∠PEB，
∴PC＝PD，
即P是CD的中点；
（3）AD∥BC．
理由：由（2）可知∠D＝∠AEP，∠PCB＝∠PEB，
∵∠AEP+∠PEB＝180°，
∴∠PCB+∠D＝180°，
∴AD∥BC．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
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