河南省平顶山市汝州市2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷 (word版含答案)

这是一份河南省平顶山市汝州市2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷 (word版含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年河南省平顶山市汝州市九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共计30分）
1．下列关于菱形的说法中不正确的是（　　）
A．菱形的四条边相等
B．菱形的面积等于对角线乘积的一半
C．菱形的对角线相等且互相垂直
D．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
2．已知一元二次方程x2+4x﹣3＝0，下列配方正确的是（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝7 D．（x﹣2）2＝7
3．某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率．表格如下，则符合这一结果的试验最有可能的是（　　）
次数
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
频率
0.60
0.30
0.50
0.36
0.42
0.38
0.41
0.39
0.40
0.40
A．掷一枚质地均匀的骰子向上面的点数是“5”
B．掷一枚一元的硬币，正面朝上
C．不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球
D．三张扑克牌，分别是3、5、5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5
4．下列结论中，错误的是（　　）
A．若＝，则＝
B．若＝，则＝
C．若＝＝（b﹣d≠0），则＝
D．若＝，则a＝3，b＝4
5．如图，顺次连接任意四边形ABCD各边中点，所得的四边形EFGH是中点四边形．下列四个叙述：①中点四边形EFGH一定是平行四边形；②当四边形ABCD是矩形时，中点四边形EFGH也是矩形；③当四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形时，则四边形ABCD也是菱形；④当四边形ABCD是正方形时，中点四边形EFGH也是正方形．其中正确结论的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．若方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m的值可以是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
7．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于（　　）

A．3：8 B．3：5 C．5：8 D．2：5
8．如图，△ABC中，∠B＝65°，AB＝3，BC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）

A． B．
C． D．
9．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（　　）

A．1 B． C．﹣1 D．+1
10．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2021﹣m2+m的值为（　　）
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
二、填空题（本大题共5题，每小题3分，共计15分）
11．我市博览馆有A，B，C三个入口和D，E两个出口，小明入馆游览，他从A口进E口出的概率是 　 　．
12．如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝　 　．

13．“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，则亩产量的平均增长率是多少？设亩产量的平均增长率为x，则可列方程 　 　．
14．如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点，若AB＝6，EF＝1，则线度AC的长为 　 　．

15．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：
①△ABE≌△DCF；②＝；③DP2＝PH•PB；④＝．
其中正确的是 　 　．（写出所有正确结论的序号）

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．解下列方程：
（1）2x2﹣5x+1＝0．（公式法）
（2）（x﹣2）2＝3（x﹣2）．
17．在一次试验中，每个电子元件的状态有两种可能：在一定时间段内电流可正常通过的状态即“通电”状态；在一定时间段内电流无法通过的状态即“断开”状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，请完成下面问题：
（1）在一定时间段内，A、B之间电流能够正常通过的概率为 　 　；
（2）用树状图或表格计算在一定时间段内C、D之间电流能够正常通过的概率．

18．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）．
（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧按2：1放大，画出△OAB的一个位似△OA1B1；
（2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2；
（3）△OA1B1与△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．

19．已知：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．

20．列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD于点E．
（1）求证：△DAC∽△OBC；
（2）若BE⊥CD，求的值．

22．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，该怎么办呢？
小西进行了以下操作研究（如图1）：
第1步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．
第2步：再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．
小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：
将MN延长交BC于点G，将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，把纸片再次展平．
请根据小西和小雅的探究，完成下列问题：
①直接写出BE和BN的数量关系：　 　；
②根据定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°，请求出∠ABM的度数；
③求证：四边形BGHM是菱形．


23．问题提出：数学课本上有这样一道题目：如图①，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
初步思考：
（1）试计算出正方形零件的边长；
深入探究：
（2）李华同学通过探究发现如果要把△ABC按照图②加工成三个相同大小的正方形零件，△ABC的边BC与高AD需要满足一定的数量关系．则这一数量关系是：　 　．（直接写出结论，不用说明理由）；
（3）若△ABC可以按照图③加工成四个大小相同的正方形，且∠B＝30°，求证：AB＝BC．



参考答案
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共计30分）
1．下列关于菱形的说法中不正确的是（　　）
A．菱形的四条边相等
B．菱形的面积等于对角线乘积的一半
C．菱形的对角线相等且互相垂直
D．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
【分析】根据菱形的性质逐一推理分析即可选出正确答案．
解：A、菱形的四条边相等，说法正确；
B、菱形的面积等于对角线乘积的一半，说法正确；
C、菱形的对角线平分且互相垂直，说法错误；
D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，说法正确；
故选：C．
2．已知一元二次方程x2+4x﹣3＝0，下列配方正确的是（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝7 D．（x﹣2）2＝7
【分析】方程常数项移到右边，两边加上4配方得到结果，即可做出判断．
解：方程移项得：x2+4x＝3，
配方得：x2+4x+4＝7，即（x+2）2＝7，
故选：C．
3．某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率．表格如下，则符合这一结果的试验最有可能的是（　　）
次数
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
频率
0.60
0.30
0.50
0.36
0.42
0.38
0.41
0.39
0.40
0.40
A．掷一枚质地均匀的骰子向上面的点数是“5”
B．掷一枚一元的硬币，正面朝上
C．不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球
D．三张扑克牌，分别是3、5、5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5
【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.4左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断．
解：A、掷一枚质地均匀的 骰子向上面的点数是“5”的概率是；不符合题意，
B、掷一枚一元的硬币，正面朝上的概率是，不符合题意；
C、不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球的概率是0.4，符合题意；
D、三张扑克牌，分别是3、5、5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5的概率是，不符合题意，
故选：C．
4．下列结论中，错误的是（　　）
A．若＝，则＝
B．若＝，则＝
C．若＝＝（b﹣d≠0），则＝
D．若＝，则a＝3，b＝4
【分析】分别利用比例的基本性质分析得出答案．
解：A、若＝，则＝，正确，不合题意；
B、若＝，则6（a﹣b）＝b，故6a＝7b，则＝，正确，不合题意；
C、若＝＝（b﹣d≠0），则＝，正确，不合题意；
D、若＝，无法得出a，b的值，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
5．如图，顺次连接任意四边形ABCD各边中点，所得的四边形EFGH是中点四边形．下列四个叙述：①中点四边形EFGH一定是平行四边形；②当四边形ABCD是矩形时，中点四边形EFGH也是矩形；③当四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形时，则四边形ABCD也是菱形；④当四边形ABCD是正方形时，中点四边形EFGH也是正方形．其中正确结论的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】此题应用三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可．
解：连接AC，BD，
∵E，F，G，H分别是四边形各边的中点，
∴EF∥AC，HG∥AC，EH∥BD，GF∥BD，
∴EF∥GH，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；（①正确）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∵EF＝AC，EH＝BD，
∴EF＝EH，
∴四边形EFGH是菱形；（②错误）
∵四边形EFGH是菱形，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD不一定是矩形；（③错误）
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，AC⊥BD，
∴四边形EFGH是正方形．（④正确）
∴正确的是①④．
故选：B．

6．若方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m的值可以是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
【分析】根据根的判别式和已知条件得出Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＜0，求出不等式的解集，再得出答案即可．
解：∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＜0，
解得：m＞1，
∴m只能为，
故选：D．
7．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于（　　）

A．3：8 B．3：5 C．5：8 D．2：5
【分析】由DE∥BC，可得＝，再结合EF∥AB可求得，可求得CF：CB．
解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴AE：EC＝AD：DB＝BF：CF＝3：5，
∴CF：CB＝5：8，
故选：C．
8．如图，△ABC中，∠B＝65°，AB＝3，BC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；
D、两三角形对应边成比例（6﹣5）：（3﹣1）＝1：2＝3：6，且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
故选：C．
9．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（　　）

A．1 B． C．﹣1 D．+1
【分析】由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC相似，且面积比为，则相似比为，即可得出结果．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，
∴S△ADE＝S四边形DBCE，
∴＝，
∴＝＝，
故选：B．
10．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2021﹣m2+m的值为（　　）
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
【分析】把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0得m2﹣m＝2，再把2021﹣m2+m变形为2021﹣（m2﹣m），然后利用整体代入的方法计算．
解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0得m2﹣m＝2，
所以m2﹣m＝2，
所以2021﹣m2+m＝2021﹣（m2﹣m）＝2021﹣2＝2019．
故选：B．
二、填空题（本大题共5题，每小题3分，共计15分）
11．我市博览馆有A，B，C三个入口和D，E两个出口，小明入馆游览，他从A口进E口出的概率是 　　．
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
解：根据题意画树形图：

共有6种等情况数，其中“A口进E口出”有一种情况，
从“A口进E口出”的概率为；
故答案为：．
12．如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝　　．

【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
故答案为：．
13．“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，则亩产量的平均增长率是多少？设亩产量的平均增长率为x，则可列方程 　700（1+x）2＝1008　．
【分析】利用第三阶段水稻的亩产量＝第一阶段水稻的亩产量×（1+亩产量的平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：依题意得：700（1+x）2＝1008．
故答案为：700（1+x）2＝1008．
14．如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点，若AB＝6，EF＝1，则线度AC的长为 　8．　．

【分析】根据直角三角形的性质求出DE，由EF＝1，得到DF，再根据三角形中位线定理即可求出线段AC的长．
解：∵∠AEB＝90°，D是边AB的中点，AB＝6，
∴DE＝AB＝3，
∵EF＝1，
∴DF＝DE+EF＝3+1＝4．
∵D是边AB的中点，点F是边BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴AC＝2DF＝8．
故答案为：8．
15．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：
①△ABE≌△DCF；②＝；③DP2＝PH•PB；④＝．
其中正确的是 　①③④　．（写出所有正确结论的序号）

【分析】根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠ABE＝∠DCF，∠A＝∠ADC，AB＝CD，证得△ABE≌△DCF，故①正确；由于∠FDP＝∠PBD，∠DFP＝∠BPC＝60°，推出△DFP∽△BPH，得到＝＝＝故②错误；由于∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，推出△DPH∽△CPD，得到＝，PB＝CD，等量代换得到PD2＝PH•PB，故③正确；根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD的面积＝△BCP的面积+△CDP面积﹣△BCD的面积，得到＝，故④正确．
解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA），故①正确；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠FDP＝∠PBD，
∵∠DFP＝∠BPC＝60°，
∴△DFP∽△BPH，
∴＝＝＝，故②错误；
∵∠PDH＝∠PCD＝30°，
∵∠DPH＝∠DPC，
∴△DPH∽△CDP，
∴＝，
∴PD2＝PH•CD，
∵PB＝CD，
∴PD2＝PH•PB，故③正确；
如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，
设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，
∴∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC＝BC＝CD＝4，
∴∠PCD＝30°
∴PN＝PB•sin60°＝4×＝2，PM＝PC•sin30°＝2，
S△BPD＝S四边形PBCD﹣S△BCD＝S△PBC+S△PDC﹣S△BCD＝×4×2+×2×4﹣×4×4＝4+4﹣8＝4﹣4，
∴＝．
故答案为：①③④．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．解下列方程：
（1）2x2﹣5x+1＝0．（公式法）
（2）（x﹣2）2＝3（x﹣2）．
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
解：（1）∵a＝2，b＝﹣5，c＝1，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0，
则x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）∵（x﹣2）2＝3（x﹣2），
∴（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）（x﹣5）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣5＝0，
解得x1＝2，x2＝5．
17．在一次试验中，每个电子元件的状态有两种可能：在一定时间段内电流可正常通过的状态即“通电”状态；在一定时间段内电流无法通过的状态即“断开”状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，请完成下面问题：
（1）在一定时间段内，A、B之间电流能够正常通过的概率为 　　；
（2）用树状图或表格计算在一定时间段内C、D之间电流能够正常通过的概率．

【分析】（1）画树状图，共有4种等可能的结果，A、B之间电流能够正常通过的结果有1种，再由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有4种等可能的结果，C、D之间电流能够正常通过的结果有3种，再由概率公式求解即可．
解：（1）画树状图如下：

共有4种等可能的结果，A、B之间电流能够正常通过的结果有1种，
∴A、B之间电流能够正常通过的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有4种等可能的结果，在一定时间段内C、D之间电流能够正常通过的结果有3种，
∴在一定时间段内C、D之间电流能够正常通过的概率为．
18．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）．
（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧按2：1放大，画出△OAB的一个位似△OA1B1；
（2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2；
（3）△OA1B1与△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．

【分析】（1）把A、B的横纵坐标都乘以2得到A1、B1的坐标，然后描点即可；
（2）利用点平移的坐标规律写出O2、A2、B2的坐标，然后描点即可；
（3）延长A1A2、OO2、B1B2，它们相交于M点，则可判断△OA1B1与△O2A2B2是位似图形．
解：（1）如图，△OA1B1为所作；
（2）如图，△O2A2B2为所作；
（3）△OA1B1和△O2A2B2是位似图形；如图，点M为所求，坐标为（﹣4，2）．

19．已知：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．

【分析】（1）根据平行线的性质得到∠AFE＝∠DBE，根据全等三角形的判定即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AF＝DB，推出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形的性质得到AD＝DC＝BC，求得四边形ADCF是菱形，由正方形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；

（2）解：当AB＝AC时，四边形ADCF是正方形，
理由：由（1）知，△AEF≌△DEB，
∴AF＝DB，
∵D是BC的中点，
∴DB＝DC，
∴AF＝DC，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴四边形ADCF是正方形．
20．列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
【分析】设降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案．
解：设降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，
（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640，
整理得x2﹣12x+27＝0，
∴x＝3或x＝9．
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝9，
∴售价为38﹣9＝29元/千克．
答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD于点E．
（1）求证：△DAC∽△OBC；
（2）若BE⊥CD，求的值．

【分析】（1）由AD＝CD，AD∥BC，以及BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，可得∠DAC＝∠DCA＝∠ACB＝∠OBC，即可得出结论；
（2）由（1）知，∠OCE＝∠OCB＝∠EBC，由BE⊥CD可得∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°，过点D作DH⊥BC于点H，设AD＝CD＝2a，则BH＝AD＝2a，根据30度角所对的边是斜边的一半得CH＝a，从而得出BC的长，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵O是AC的中点，∠ABC＝90°，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠ACB＝∠OBC，
∴△DAC∽△OBC；
（2）解：∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝90°，
∵∠OCE＝∠OCB＝∠EBC，
∴∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°，
过点D作DH⊥BC于点H，

设AD＝CD＝2a，则BH＝AD＝2a，
在Rt△DCH中，DC＝2a，CH＝a，BC＝BH+CH＝3a，
∴＝．
22．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，该怎么办呢？
小西进行了以下操作研究（如图1）：
第1步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．
第2步：再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．
小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：
将MN延长交BC于点G，将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，把纸片再次展平．
请根据小西和小雅的探究，完成下列问题：
①直接写出BE和BN的数量关系：　BE＝BN　；
②根据定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°，请求出∠ABM的度数；
③求证：四边形BGHM是菱形．


【分析】①根据折叠的性质可得BE＝AB，AB＝BN，即可得BE＝BN；
②根据折叠的性质可得∠BEN＝∠AEN＝90°，由BE＝BN可得∠BNE＝30°，根据直角三角形的两锐角互余得∠ABN＝60°，根据折叠的性质即可得出∠ABM＝∠ABN＝30°；
③由②得∠ABM＝30°，根据矩形的性质∠A＝∠ABC＝90°，∠AMB＝∠BMN＝60°，∠MBG＝60°，可得△BMG是等边三角形，则BM＝BG，由折叠得BM＝MH，BG＝GH，可得出BM＝MH＝BG＝GH，即可得出四边形BGHM是菱形．
【解答】①解：∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴BE＝AB，
∵再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．
∴AB＝BN，
∴BE＝BN，
故答案为：BE＝BN；
②解：∵由折叠的性质得：∠BEN＝∠AEN＝90°，
∵BE＝BN，
∴∠BNE＝30°，
∴∠ABN＝60°，
由折叠的性质得：∠ABM＝∠ABN＝30°；
③证明：由②得∠ABM＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠AMB＝∠BMN＝60°，∠MBG＝60°，
∴△BMG是等边三角形，
∴BM＝BG，
由折叠得BM＝MH，BG＝GH，
∴BM＝MH＝BG＝GH，
∴四边形BGHM是菱形．
23．问题提出：数学课本上有这样一道题目：如图①，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
初步思考：
（1）试计算出正方形零件的边长；
深入探究：
（2）李华同学通过探究发现如果要把△ABC按照图②加工成三个相同大小的正方形零件，△ABC的边BC与高AD需要满足一定的数量关系．则这一数量关系是：　AD＝BC　．（直接写出结论，不用说明理由）；
（3）若△ABC可以按照图③加工成四个大小相同的正方形，且∠B＝30°，求证：AB＝BC．

【分析】（1）设正方形零件的边长为xmm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，根据EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果；
（2）BC＝AD，如图2由已知条件得：EF∥GH∥BC，通过△GBN≌△EGM，得到EG＝BG，根据△AEF∽△AGH，得到比例式，证得AE＝EG，于是得到AE＝EG＝GB，再由△AEF∽△ABC，得到比例式，即可得到结论．
（3）如图3，过点A作AD⊥BC于D，分别交EF、GH于点M、N，设每个正方形的边长为a，根据EF∥GH∥BC，推出△AEF∽△AGH∽△ABC，于是得到，列方程即可得到结论．
解：（1）设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴，
∴，
解得x＝48．
答：正方形零件的边长为48mm．

（2）BC＝AD，
如图2由已知条件得：EF∥GH∥BC，
在△GBN与△EGM中，
，
∴△GBN≌△EGM，
∴EG＝BG，
∵△AEF∽△AGH，
∴，
∴AE＝EG，
∴AE＝EG＝GB，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∵PD＝2x，
∴AD＝3x，BC＝3x，
∴AD＝BC，
故答案为：AD＝BC；

（3）如图3，过点A作AD⊥BC于D，分别交EF、GH于点M、N，
设每个正方形的边长为a，
∵EF∥GH∥BC，
∴△AEF∽△AGH∽△ABC，
∴，
∴，
解得AD＝2.5a，BC＝5a，
∴BC＝2AD．
∵∠B＝30°，AD⊥BC，
∴AB＝2AD，
∴AB＝BC．