2021-2022学年四川省遂宁市高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

2021-2022学年四川省遂宁市高二（下）期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 已知复数，则在复平面上对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 命题“，使得”的否定是(    )

A. ，使得 B. ，使得
C. ，都有 D. ，都有

3. 下列求导运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 用反证法证明命题：“已知、，如果可被  整除，那么、 中至少有一个能被  整除”时，假设的内容应为(    )

A. 、 都能被 整除 B. 、 都不能被 整除
C. 、 不都能被 整除 D.  不能被 整除

5. 如图，在一组样本数据，，，，的散点图中，若去掉后，则下列说法正确的为(    )

A. 样本相关系数变小
B. 残差平方和变大
C. 相关指数变小
D. 自变量与因变量的相关程度变强

6. 已知函数，则的图象在点处的切线的斜率为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知圆：与抛物线的准线相切，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 考拉兹猜想是引人注目的数学难题之一，由德国数学家洛塔尔考拉兹在世纪年代提出，其内容是：任意正整数，如果是奇数就乘加，如果是偶数就除以，如此循环，最终都能够得到如图的程序框图演示了考拉兹猜想的变换过程．若输入的值为，则输出的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知双曲线与直线交于、两点，点为右支上一动点，记直线、的斜率分别为、，曲线的左、右焦点分别为、若，则下列说法正确的是(    )

A.
B. 双曲线的渐近线方程为
C. 若，则的面积为
D. 曲线的离心率为

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 若为虚数单位，复数满足，则的虚部为______．
14. 若过点的双曲线的渐近线为，则该双曲线的标准方程是______．
15. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过，，三个城市时，
    甲说：我没去过城市；
    乙说：我去过的城市比甲多，但没去过城市；
    丙说：我们三人去过同一城市．
    由此可判断甲去过的城市为______．
16. 已知，若在区间上存在，，使得成立，则实数的取值范围是______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 在平面直角坐标系中，过点的直线的参数方程为为参数以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
    求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
    设曲线与直线交于，两点，求的值．
18. 设：，其中，：．
    若，且为真命题，求实数的取值范围；
    若是的充分不必要条件，求的取值范围．
19. 已知函数在和处取得极值．
    求，的值；
    若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求的取值范围．
20. 某汽车总公司计划在市的区开设某种品牌的汽车专卖分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记表示在各区开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和．

该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；
如果总公司最终决定在区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据，第一分店每天的顾客平均为人，其中人会购买该种品牌的汽车，第二分店每天的顾客平均为人，其中人会购买这种汽车．依据小概率值的独立性检验，试问两个店的顾客下单率有无差异？
参考公式：，．

21. 在平面直角坐标系中，已知点，点到点的距离比点到轴的距离大，记的轨迹为．
    求的方程；
    、是上的两点，直线、的斜率分别为、且，求证直线过定点．
22. 已知函数．
    求的单调区间；
    若函数有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：复数，
故在复平面上对应的点位于第一象限．
故选：．
化简复数可得，故可得在复平面上对应的点所在的象限．
本题为复数的化简运算和复数在复平面的位置，属基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：命题为特称命题，则命题的否定为，都有，
故选：．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，．
故选：．
根据基本初等函数的求导公式求导即可．
本题考查了基本初等函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查反证法，属于基础题．
根据反证法即可求解．
【解答】
解：用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．
命题“，，如果可被整除，那么，至少有一个能被整除”的否定是“，都不能被整除”．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：由散点图知，去掉后，与的线性相关加强，且为正相关，所以变大，变大，残差平方和变小．
故选：．
由散点图知，去掉后，与的线性相关加强，由相关系数，相关指数及残差平方和与相关性的关系得出选项．
本题考查了变量之间的线性相关系数，考查了推理能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由，得，
取，得，，
则，，
故选：．
求出原函数的导函数，得到，进一步可得，则答案可求．
本题考查导数的几何意义及应用，求的值是关键，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：圆：的圆心坐标为，半径为，
抛物线的准线方程为，
圆：与抛物线的准线相切，
，即．
故选：．
由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由抛物线方程求其直线方程，利用圆心到准线的距离等于半径列式求解．
本题考查抛物线的几何性质，考查圆与抛物线位置关系的应用，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据的图象可得，原函数的单调性是：当时，增；
当时，单调性变化依次为减、增、减，
故当时，；
当时，的符号变化依次为、、，
结合所给的选项，
故选：．
先根据函数的图象判断单调性，从而得到导函数的正负情况，最后可得答案．
本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于时原函数单调递增，当导函数小于时原函数单调递减，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：模拟程序的运行，可得：
，，
不满足条件，，，
不满足条件，执行循环体，满足条件，，，
不满足条件，执行循环体，满足条件，，，
不满足条件，执行循环体，满足条件，，，
不满足条件，执行循环体，满足条件，，，
此时，满足条件，退出循环，输出的值为．
故选：．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算的值并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，

设右焦点，
则，当且仅当，，共线时等号成立．
的最大值为．
故选：．
作出示意图，根据椭圆的定义结合三角形三边的性质即可得解．
本题主要考查椭圆定义的运用，同时还涉及了两点间的距离公式以及三角形两边之差小于第三边的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：设，
则，
，
，即函数单调递减．
，
，
则不等式等价于，
函数单调递减．
，
不等式的解集为，
故选：．
构造函数，通过导函数判断函数的单调性，利用单调性得出的范围．
考查了函数的构造和导函数判断函数的单调性．
 

12.【答案】 

【解析】解：由，可得，
设，，则，即，
，设，
则，，，即，
又，，
，
，即，故A错误；
双曲线，，
双曲线的渐近线方程为，离心率为，故B错误，D正确；
若，则，
，的面积为，故C错误．
故选：．
设，，，由题可得，可得双曲线方程，进而判断，然后利用双曲线的定义及三角形的面积公式可判断．
本题考查了双曲线的定义与性质，三角形的面积公式，考查方程思想和转化思想，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
的虚部为．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数模公式，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数模公式，以及虚部的定义，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，双曲线的渐近线方程是，
设双曲线方程为，
将点代入，得，
则双曲线方程为，
即．
故答案为：．
根据题意，设出双曲线的方程，将点代入双曲线方程可得的值，从而得到该双曲线的标准方程．
本题考查双曲线的标准方程与几何性质，注意由双曲线的渐近线方程设出其方程，属基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由甲说：我没去过城市，则甲可能去过城市或城市，
但乙说：我去过的城市比甲多，但没去过城市，则甲只能是去过，中的任一个，
再由丙说：我们三人去过同一城市，
则由此可判断甲去过的城市为因为乙没有去过．
故甲去过的城市为，
故答案为：．
可先由甲推出，可能去过城市或城市，再由乙推出甲只能是，中的一个，再由丙即可推出结论．
本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题可得，
因为在区间上存在，，使得成立，
所以函数在区间不是单调函数，
所以在上有解，
所以在上有解，
所以．
所以，实数的取值范围是．
故答案为：．
由题知，函数在区间不是单调函数，进而转化为在上有解问题求解即可．
本题考查利用导数求函数的最值，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：对于直线消去得；
由于，，曲线的方程为 ．
联立方程得，
由韦达定理，，
以及的几何意义得：
． 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：当时，，
即为真命题时，实数的取值范围是，
同理为真命题时，实数的取值范围是．
为真命题，实数的取值范围为；
，，
是的充分不必要条件，，
，
的取值范围是． 

【解析】把代入，分别求解一元二次不等式，取并集得答案；
求解一元二次不等式化简与，把问题转化为，得到关于的不等式组求解．
本题考查复合命题的真假判断，考查充分必要条件的判定及应用，考查化归与转化思想，是基础题．
 

19.【答案】解：，
由题意，得则
解得，
，
，
所以在，上单调递减，在上单调递增，
所以函数在和处取得极值，符合题意，
所以，．
令，
则原题意等价于图象与轴有三个交点．
，
由，解得或，
由，解得，
在时取得极大值，
在时取得极小值，
依题意得，解得，
故的取值范围为． 

【解析】求导得，由题意得解得，，即可得出答案．
令，则原题意等价于图象与轴有三个交点，求导分析单调性，极值，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

20.【答案】解：由表中数据可得，，
，
则，，
故关于的线性回归方程为．
设零假设为：两个分店顾客下单率无差异，
列联表如下：

，
依据小概率值的独立性检验，两个店的顾客下单率无差异． 

【解析】根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．
根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于基础题．
 

21.【答案】解：设上任意一点的坐标为，则有：，
当时，有；
当时，有，
所以的方程为或；
证明：由题意知直线的斜率存在，设的直线方程为，，，
联立方程，整理得，
所以，且，
又由，即，
由，
解得，
故直线的方程为，
所以直线恒过定点． 

【解析】由题可得，进而即得；
设直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理法结合条件可得，即得．
本题考查了动点的轨迹方程以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
 

22.【答案】解：的定义域为，
求导得，
令，得，其，
当时，又，故在上单调递增，
当时，，故在上单调递增，
当时，，由得，
或时，时，
故在，上单调递增，在上单调递增，
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，
在上单调递减．
的定义域为，
求导得，
有两个极值点，时，等价于方程有两个不等正根，
，
，，
此时不等式恒成立，等价于对恒成立，
可化为对恒成立，
令对，
，
令，
得，得或舍去，
，；，，
在恒成立，
在上单调递减，
，
，
故实数的取值范围是 

【解析】求导得，令，得，其，分三种情况：当时，当时，当时，讨论的正负，进而可得答案．
求导得，有两个极值点，时，等价于方程的有两个不等正根，则，此时不等式恒成立，等价于对恒成立，可化为对恒成立，令，只需，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．