福建省厦门双十中学2023届高三热身考试数学试题（含解析）

这是一份福建省厦门双十中学2023届高三热身考试数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

福建省厦门双十中学2023届高三热身考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．若集合，则（    ）
A． B．
C． D．
2．若向量满足，，，则与的夹角为(    )
A． B． C． D．
3．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（    ）
A． B． C． D．
4．算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国传统的计算工具：现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）.如果拨动图1算盘中的两枚算珠，则表示的数字大于50的概率为（    ）

A． B． C． D．
5．已知是球表面上的点，，，，，则球表面积等于
A．4 B．3 C．2 D．
6．已知是奇函数，且当时，.若，则（    ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线的焦点为，动点在上，圆的半径为1，过点的直线与圆相切于点，则的最小值为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知a，b，c∈（0，1），且a2－2lna＋1＝e，b2－2lnb＋2＝e2，c2－2lnc＋3＝e3则 （    ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a

二、多选题
9．已知双曲线经过点，则（    ）
A．的实轴长为 B．的焦距为
C．的离心率为 D．的渐近线方程是
10．设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（    ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
11．设是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ）
A． B．
C． D．
12．如图，曲线为函数的图象，甲粒子沿曲线从点向目的地点运动，乙粒子沿曲线从点向目的地点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为，乙粒子的坐标为，若记，则下列说法中正确的是（    ）

A． B．恰有2个零点
C．在上单调递减 D．的最小值为

三、填空题
13．若复数是纯虚数，则 ．
14．已知点，，动点M满足，则点M到直线的距离可以是 ．（写出一个符合题意的整数值）
15．设数列的前n项和为，已知，则 .

四、双空题
16．在中，，若空间点满足，则的最小值为 ；直线与平面所成角的正切的最大值是 .

五、解答题
17．已知数列满足，．
(1)证明：为等差数列；
(2)设，求数列的前n项和．
18．中，是上的点，平分面积是面积的3倍.
(1)求；
(2)若，求和的长.
19．某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
56.5
31
22.75
17.8
15.95
14.5
13
12.5
根据以上数据绘制了散点图观察散点图，两个变量间关系考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与x的相关系数.

(1)用反比例函数模型求y关于x的回归方程；
(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.001），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；
(3)根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，若非原料成本y在之外，说明该成本异常，并称落在之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因？
参考数据（其中）：








0.34
0.115
1.53
184
5777.555
93.06
30.705
13.9
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，相关系数.
20．如图，在四棱锥中，，，，为中点.

(1)在棱上是否存在点，使得平面？说明理由；
(2)若平面，，求平面与平面所成角的余弦值.
21．已知椭圆左焦点为，离心率为，以坐标原点为圆心，为半径作圆使之与直线相切.
(1)求的方程；
(2)设点是椭圆上关于轴对称的两点，交于另一点，求的内切圆半径的范围.
22．已知，设函数，是的导函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间上存在两个不同的零点，.
①求实数的取值范围；
②证明：.

参考答案：
1．B
【分析】先通过对限制条件的整理，再求
【详解】解得，所以.
函数的定义域为，所以.
所以.
故选：B.
2．C
【分析】，求得，由即可求夹角.
【详解】由题可知，，
∴，
∴向量与的夹角为.
故选：C.
3．B
【分析】根据三角函数的定义求出的值，再由，在所得分式的分子和分母中同时除以，再代入的值计算即可得解.
【详解】由已知条件可知，点在直线上，则，，
所以，.
故选：B.
4．B
【分析】根据给定条件分类探求出拨动两枚算珠的结果，从而得到表示不同整数的个数和表示的数字大于50的个数，再根据古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】拨动图1算盘中的两枚算珠，有两类办法，
第一类，只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法，表示的数字分别为；
第二类，在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法，表示的数字分别为，
所以表示不同整数的个数为8.
其中表示的数字大于50的有共3个，
所以表示的数字大于50的概率为.
故选：B
5．A
【详解】球心O为ＳＣ的中点，所以球Ｏ的半径为，所以,故选A.

6．B
【分析】根据函数奇偶性的性质，进行转化，建立方程进行求解即可．
【详解】解：是奇函数，且当时，．若，
，
则，
得，
得，
即，
得，得，
故选：．
7．B
【分析】根据直线与圆相切得勾股定理，由数量积的定义求解得，即可根据抛物线的焦半径求解.
【详解】解：因为抛物线，所以焦点坐标为，如下图所示：
  
连接，过作垂直准线于，
则在直角中，，
所以
由抛物线的定义得：，则由图可得的最小值即抛物线顶点到准线的距离，即，
所以.
故选：B
8．A
【分析】设，则，然后分别利用导数判断两个函数的单调性，利用其单调性可求得答案
【详解】设，则，
又，所以在上单调递增，
所以，即，
因为，所以在上单调递减，
所以，
故选：A
9．BC
【分析】根据双曲线经过点,可得双曲线标准方程，根据双曲线的简单几何性质即可逐一判断.
【详解】由题意得，得即双曲线方程为．
所以，双曲线的实轴长是，焦距是，离心率为，渐近线方程是
故BC正确，AD错误，
故选：BC
10．BD
【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案.
【详解】解：对A：若，，则或与相交或与异面，故选项A错误；
对B：若，，则，故选项B正确；
对C：若，，则或与相交，故选项C正确；
对D：若，，，则，故选项D正确.
故选：BD.
11．ACD
【分析】根据和事件的概率公式和条件概率公式逐个分析求解即可
【详解】对于A，因为，，
所以，所以A正确，
对于B，因为，所以，
所以，所以B错误，
对于C，因为，所以，
所以，，
所以，所以C正确，
对于D，因为，所以，所以，
所以，所以D正确，
故选：ACD
12．ABD
【分析】由题意可得，所以，然后逐个分析判断即可.
【详解】解：由题意得：，
所以，
由，得，
对于A，，所以A正确，
对于B，因为，所以，即，
令，得或（舍去），解得或，故B正确；
对于C，令，则，因为在上递减，在上不单调，
所以在区间上单调递减是错误的，故错误；
对于D， 由选项B可知，所以，
因为，所以的最小值为，故D正确；
故选：ABD
13．
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的概念得到方程（不等式），解得即可.
【详解】，
因为是纯虚数，所以，解得.
故答案为：
14．0或1 (只写一个即可)
【分析】由题设知的轨迹为，根据圆心到距离得到到直线距离的范围，即可写出一个值.
【详解】由题设知，即在以为直径的圆上，且圆心为，半径为，
所以的轨迹为，
而到的距离为，即直线过圆心，
所以M到直线的距离范围，
所以点M到直线的距离的整数值可以是0或1.
故答案为：0或1 (只写一个即可)
15．960
【分析】根据递推式可以得出数列奇数项和偶数项的特征，分别求奇数项和偶数项的和即可得结果.
【详解】由，
当n为奇数时，有；当n为偶数时，，
∴数列的偶数项构成以2为首项，以2为公差的等差数列，
则
，
故答案为：960.
16．
【分析】根据空间点满足的条件可知点在以直线为旋转轴，底面圆半径为的圆柱上，即可求得的最小值；建立空间直角坐标系利用空间向量求得直线与平面所成角的正弦值的表达式，再利用换元及基本不等式即可求得结果.
【详解】过点作与点，过点作与点，如下图所示
  
又，则，又，则，
即点为空间中到直线的距离为，
所以点在以直线为旋转轴，底面圆半径为的圆柱上，如图所示
  
易知当点与点三点共线时，最小，
且最小值为；
以所在平面为，建立空间直角坐标，如下图所示：
  
则平面的法向量为，不妨设与轴正方向夹角为，
则，，
即，

当，且时，最小，即当点与点三点共线时，最小，且最小值为；
记直线与平面所成角为，则，
因为，所以，
令，则，则，
而，
所以，当且仅当，等号成立，
此时，
故答案为：；
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据已知条件确定空间中点的轨迹，再利用空间向量解决线面角取值范围的问题.
17．(1)证明过程见详解
(2)

【分析】（1）由题意可得，再结合等差数列的定义即可证明结论；
（2）结合（1）可得的通项公式，从而得到，再利用裂项相消求和即可．
【详解】（1）因为数列满足，
整理得，所以，
又，所以是以1为首项，为公差的等差数列．
（2）结合（1）可得，所以，
则，
所以
18．(1)
(2)，

【分析】（1）利用三角形面积之间的关系，结合正弦定理可得结果；
（2）利用三角形角平分线定理可求得；设，则，由，知，由余弦定理得到和，建立方程求解即可得.
【详解】（1），
，
由正弦定理可知
（2），.
设，则，
在与中，由余弦定理可知，
，
，

，解得，即.
19．(1)
(2)反比例函数模型拟合效果更好，产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元，
(3)见解析

【分析】（1）令，则可转化为，求出样本中心，回归方程的斜率，转化求回归方程即可，
（2）求出与的相关系数，通过比较，可得用反比例函数模型拟合效果更好，然后将代入回归方程中可求结果
（3）利用已知数据求出样本标准差s，从而可得非原料成本y服从正态分布，再计算，然后各个数据是否在此范围内，从而可得结论
【详解】（1）令，则可转化为，
因为，
所以，
所以，所以，
所以y关于x的回归方程为
（2）与的相关系数为

因为，所以用反比例函数模型拟合效果更好，
把代入回归方程得（元），
所以产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元
（3）因为，所以，
因为样本标准差为，
所以，
所以非原料成本y服从正态分布，
所以
因为在之外，所以需要此非原料成本数据寻找出现异样成本的原因
20．(1)存在，理由见解析
(2)

【分析】（1）取的中点，利用线面平行的判定证明∥平面；
（2）取的中点为，证明，，以点为坐标原点，建立坐标系，利用向量法证明即可.
【详解】（1）取的中点，连接，则∥，又∥，，
所以四边形为平行四边形，∥.
因为平面，平面，∥，
所以∥平面.

（2）取的中点为，连接，，.
若平面，，因为平面，
则，，且，
又，，平面，所以平面，
所以，又∥，所以，
又，的中点为，所以，
则以点为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系：

，
平面的法向量为.
设平面的法向量为，
，令，则
设平面与平面所成角为

所以平面与平面所成角的余弦值为.

21．(1)
(2).

【分析】（1）由题意得，解方程组可求出，从而可得椭圆的方程；
（2）设的方程为，代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，再由点三点共线且斜率一定存在，可求得，得直线过定点，且为椭圆右焦点，所求内切圆半径为，则，化简换元后可求出其范围.
【详解】（1）依题意，
解得，
所以的方程为.
（2）因为不与轴重合，所以设的方程为，
设点，则
联立，得，
则
因为点三点共线且斜率一定存在，
所以，
所以，将代入
化简可得，故，
解得，满足
所以直线过定点，且为椭圆右焦点
设所求内切圆半径为，因为，
所以
令，则，
所以，
因为，对勾函数在上单调递增，
所以，则.
所以内切圆半径的范围为.
  .
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
22．(1)
(2)①；②证明见解析

【分析】（1）导数几何意义求切线方程即可；
（2）①设，因为，所以与零点相同，根据的单调性与极值情况来确定的范围；
②根据题意，利用放缩构造等思路结合导数，求出的范围.
【详解】（1）由题设，则，且，
所以，，则在点处的切线方程为，即.
（2）①当时等价于，
设，则．
当时单调递减；当时单调递增；
所以，当时，
因为在上存在两个不同的零点，则，解得．
当时，取，则，
故，又，
所以在和上各有一个零点，故．
②因为，所以，
结合知：．
设，则，在上，在上，
所以在上递增，在上递减，故，即，
所以，即，当时取等号，
所以．
由①知，在上单调递增，且，所以，即．
因为在上是减函数，且，
所以，得证.
【点睛】方法点睛：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．