初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试课时训练

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试课时训练，共117页。试卷主要包含了两点，，共用防疫隔离材料8米，，已知抛物线y＝x2+2x-m等内容，欢迎下载使用。

第22章 二次函数 解答题

1．（2022·广东北江实验学校九年级期末）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数）中，列表表示几组自变量x与函数值y的对应值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
m
0
3
n
3
…
（1）根据以上信息，可得该二次函数的图象开口向　　，对称轴为　　；
（2）求|m﹣n|的值．
2．（2022·广东惠州·九年级期末）如图在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点、交反比例函数的图像于点，点在反比例函数的图像上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求面积的最大值．
3．（2022·广东·台山市教师发展中心九年级期末）如图，已知抛物线经过A（-3，0）、C（0，-3）两点．
（1）求b，c的值；
（2）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，并结合图象，写出当时，x的取值范围．

4．（2022·广东广州·九年级期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．

(1)求抛物线的解析式；
(2)结合图形，求y＞0时自变量x的取值范围．
5．（2022·广东·东莞市光明中学九年级期末）如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．我校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料8米，
（1）若面积为10平方米，隔离区的长和宽分别是多少米？
（2）隔离区的面积有最大值吗？最大为多少平方米？

6．（2022·广东汕头·九年级期末）如图，从某建筑物的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），点A离地面的高度为6米，抛物线的最高点P到墙的垂直距离为2米，到地面的垂直距离为8米，如图建立平面直角坐标系．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求水落地离墙的最远距离OB．
7．（2022·广东韶关·九年级期末）某市某商场销售女款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利64元，平均每天可售出20件．
(1)求平均每次降价盈利减少的百分率；
(2)为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价1元，每天可多售出2件，要使商场每天盈利最大，每件应降价多少？
8．（2022·广东中山·九年级期末）已知抛物线y＝x2+2x-m．
(1)若抛物线与x轴只有一个交点，求此时m的值；
(2)若该抛物线的顶点到x轴的距离为2，求m的值．
9．（2022·广东云浮·九年级期末）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高．高度为3m．

(1)在给出的图中画出平面直角坐标系；
(2)求出水管的长度．
10．（2022·广东·东莞市东城中学九年级期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式与直线的解析式；
（2）若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值；
（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．

11．（2022·广东韶关·九年级期末）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴相交于A（－1，0），B（5，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，链接AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

12．（2022·广东·中山纪念中学九年级期末）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由
13．（2022·广东惠州·九年级期末）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个，设每个定价增加x元．
（1）商店若想获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？
（2）用含x的代数式表示商店获得的利润W元，并计算商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少元？
14．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3．动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P、Q的运动时间为t秒

（1）当t＝2秒时，求tan∠QPA的值；
（2）当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM＝2AM时，求t的值；
（3）连结CQ，当点P，Q在运动过程中，记与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式；
（4）直接写出∠OAB的角平分线经过边上中点时的t值．
15．（2022·广东·中山纪念中学九年级期末）若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和，则这个函数称为另两个函数的“生成函数”．现有关于x的两个二次函数，且， 的“生成函数”为：；当时，；二次函数的图像的顶点坐标为．
(1)求m的值；
(2)求二次函数的解析式．
16．（2022·广东韶关·九年级期末）新冠疫情期间，某网店以100元/件的价格购进一批消毒用紫外线灯，该网店店主结合店铺数据发现，日销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价和日销售量的四组对应值如表：
售价x（元/件）
150
160
170
180
日销售量y（件）
200
180
160
140
另外，该网店每日的固定成本折算下来为2000元．
注：日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）日销售纯利润为W（元），求出W与x的函数表达式；
（3）当售价定为多少元时，日销售纯利润最大，最大纯利润是多少．
17．（2022·广东北江实验学校九年级期末）已知抛物线y=mx2+2mx+m-1和直线y=mx+m-1，且m≠0．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）试说明抛物线与直线有两个交点；
（3）已知点T（t，0），且-1≤t≤1，过点T作x轴的垂线，与抛物线交于点P，与直线交于点Q，当0＜m≤3时，求线段PQ长的最大值．
18．（2022·广东珠海·九年级期末）如图二次函数的图象与轴交于点、，根据图象解答下列问题：

（1）写出方程的两个根；
（2）当为何值时，？当为何值时，？
（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围．
19．（2022·广东东莞·九年级期末）东莞某镇斥资打造夜市网红街，王阿姨在这夜市做起了地摊生意，他以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的销售单价x（元）满足一次函数关系：y＝﹣2x+140（x＞40）．
(1)若设每天的利润为w元，请求出w与x的函数关系式；
(2)若每天的销售量不少于44件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？
20．（2022·广东广州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+m与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于A，B两点，点A（1，4）为二次函数图象的顶点，点B在x轴上．
（1）求二次函数的解析式；
（2）根据图象，求二次函数的函数值大于0时，自变量x的取值范围．

21．（2022·广东·铁一中学九年级期末）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣3a）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若a＝，点M和点N在抛物线上，且M的横坐标为4，点N在第二象限，若∠AMN＝2∠OAM，求点N的坐标；
（3）P是第四象限内抛物线上的一个动点，直线PA、PB分别交y轴于点M、N，判断CM与CN的数量关系，并说明理由．
22．（2022·广东韶关·九年级期末）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．

(1)建立如图的直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)一艘货船宽8m，水面两侧高度2m，能否安全通过此桥？
23．（2022·广东佛山·九年级期末）某种商品的标价为75元/件，经过两次降价后的价格为48元/件，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种商品每次降价的百分率；
(2)商场将进货价这30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～60元（包含40元和60元），这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价定为多少？这时应进台灯多少个？
(3)当台灯的售价为多少时，获得的利润最大？
24．（2022·广东中山·九年级期末）某商场购进一批进货价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高价格．调查发现，若按每件20元的价格销售，每月能卖出360件，若按每件25元的价格销售，每月能卖210件，假定每月销售量y（件）是销售价格x（元/件）的一次函数．
(1)求y与x之间的关系式；
(2)销售价定为多少元时，该商场每月获得利润最大？最大利润是多少？
25．（2022·广东韶关·九年级期末）如图，已知抛物线经过，，三点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点为第三象限内抛物线上一动点，点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式，并求出的最大值．
26．（2022·广东·铁一中学九年级期末）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x
……
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
……
y
……
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
……
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出这个二次函数的图象；
（3）当函数值y＜0时，对应的x的取值范围是 　 　．

27．（2022·广东江门·九年级期末）某商店销售一种成本为30元/千克的商品，若按40元/千克销售，一个月可售出600千克，现采用提高售价的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元，月销售量就减少10千克．
(1)商店应将售价定为多少元，才能使月销售的利润为10000元？
(2)若规定该商品的利润率不低于50%但不超过100%，当售价定为多少时，月销售的利润可达到最大值？最大值为多少？
28．（2022·广东云浮·九年级期末）已知抛物线y＝x2+mx﹣5与x轴的一个交点是（1，0）．
(1)求m值．
(2)用配方法求这条抛物线的顶点坐标．
29．（2022·广东广州·九年级期末）如图，已知直线y＝﹣2x+m与抛物线相交于A，B两点，且点A(1，4)为抛物线的顶点，点B在x轴上．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是y轴上一点，当∠APB＝90°时，求点P的坐标．
30．（2022·广东潮州·九年级期末）某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数的关系，其部分对应数据如下表所示：
每千克售价x（元）
…
25
30
35
…
日销售量y（千克）
…
110
100
90
…
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
31．（2022·广东湛江·九年级期末）已知二次函数的图象过点，．
(1)求二次函数的关系式；
(2)写出它与x轴的两个交点及顶点坐标．
32．（2022·广东江门·九年级期末）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点D，顶点为C，直线BC交y轴于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，将△OBE沿直线BC平移得到△FGH．
①当点F落在抛物线上时，求点F的坐标．
②在△FGH移动过程中，是否存在点F，使得△ACF是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
33．（2022·广东深圳·九年级期末）小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：

(1)观察探究：
①写出该函数的一条性质：　 　；
②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：　 　；
③若方程﹣（|x|﹣1）2＝m有四个实数根，则m的取值范围是 　 　．
(2)延伸思考：
将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的图象？写出平移过程，并直接写出当1＜y1≤2时，自变量x的取值范围．
34．（2022·广东潮州·九年级期末）已知抛物线y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．
（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．
①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；
②若点C关于直线x的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值．
35．（2022·广东·兴宁市实验学校九年级期末）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（一1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．

36．（2022·广东云浮·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．
(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
(2)如图1，过点P作PE⊥y轴于点E，连接AE．求△PAE面积S的最大值；
(3)如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．

37．（2022·广东·中山纪念中学九年级期末）如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．

（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作，垂足为点N．设M点的坐标为，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
38．（2022·广东阳江·九年级期末）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（﹣4，﹣）两点．
（1）求b，c的值．
（2）二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．
39．（2022·广东韶关·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴交于点M．

（1）求此抛物线的解析式和对称轴；
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
40．（2022·广东惠州·九年级期末）已知抛物线y=﹣+bx+c与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A（﹣4，0），B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；
（3）已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

41．（2022·广东湛江·九年级期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2（a是常数），
（Ⅰ）若该抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），求a的值及该抛物线与x轴另一交点坐标；
（Ⅱ）不论a取何实数，该抛物线都经过定点H．
①求点H的坐标；
②证明点H是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．
42．（2022·广东肇庆·九年级期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，OA=1，OB=OC=3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点D为第一象限抛物线上一动点，连接DC，DB，BC，设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S，求S的最大值；
（3）如图2，点P(0，n)是线段OC上一点(不与点O、C重合)，连接PB，将线段PB以点P为中心，旋转90°得到线段PQ，是否存在n的值，使点Q落在抛物线上？若存在，请求出满足条件的n的值，若不存在，请说明理由．

43．（2022·广东广州·九年级期末）已知抛物线yx2+mx+m与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，），点P为抛物线在直线AC上方图象上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线yx2+mx+m在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，求图象M的顶点横坐标n的取值范围．
44．（2022·广东中山·九年级期末）如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3经过A、B、C三点，点A（﹣3，0）、C（1，0），点B在y轴上．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标；
(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
45．（2022·广东阳江·九年级期末）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是y轴右侧抛物线上一个动点．
（1）求出点A，B，C的坐标；
（2）如图1，当点D在第四象限时，求出△BCD面积的最大值，并求出这时点D坐标；
（3）当∠DAB＝∠ABC时，求出点D的坐标．

46．（2022·广东东莞·九年级期末）如图，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线y＝﹣+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B，点D是抛物线上一动点．


(1)求抛物线的解析式；
(2)在对称轴直线l上有一点P，连接CP，BP，则CP+BP的最小值为 ；
(3)当点D在直线AC上方时，连接BC，CD，BD，BD交AC于点E，令CDE的面积为S1，BCE的面积为S2，求的最大值；
(4)点F是该抛物线对称轴l上一动点，是否存在以点B，C，D，F为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
47．（2022·广东珠海·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A（1，0），B（0，2），二次函数y＝x2+bx﹣2的图象经过C点．


（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线的一个动点且在x轴的下方，则当点P运动至何处时，恰好使△PBC的面积等于△ABC的面积的两倍．
（3）若点Q是抛物线上的一个动点，则当点Q运动至何处时，恰好使∠QAC＝45°？请你求出此时的Q点坐标．
48．（2022·广东广州·九年级期末）在平面直角坐标系xoy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，且经过点A（0，）．
(1)求的值；
(2)若此抛物线经过点B（2，﹣），且与x轴相交于点E（x1，0），F（x2，0）．
①求b的值（用含a的代数式表示）；
②当EF2的值最小时，求抛物线的解析式；
(3)若a＝，当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b的值．
49．（2022·广东广州·九年级期末）如图，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．

(1)求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；
(2)证明△BCM与△ABC的面积相等；
(3)是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
50．（2022·广东广州·九年级期末）已知关于x的一元二次方程﹣+ax+a+3＝0．
(1)求证：无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)如图，若抛物线y＝﹣+ax+a+3与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，连结BC，BC与对称轴交于点D．
①求抛物线的解析式及点B的坐标；
②若点P是抛物线上的一点，且点P位于直线BC的上方，连接PC，PD，过点P作PN⊥x轴，交BC于点M，求△PCD的面积的最大值及此时点P的坐标．

51．（2022·广东广州·九年级期末）已知二次函数y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a．
（1）当a＝1时，求该二次函数的最大值；
（2）若该二次函数图象与坐标轴有两个交点，求实数a的值；
（3）若该二次函数在﹣≤x≤有最大值﹣3，求实数a的值．
52．（2022·广东广州·九年级期末）已知抛物线G：y1＝mx2﹣（3m﹣3）x+2m﹣3，直线h：y2＝mx+3﹣2m，其中m≠0．
(1)当m＝1时，求抛物线G与直线h交点的坐标；
(2)求证：抛物线G与直线h必有一个交点A在坐标轴上；
(3)在（2）的结论下，解决下列问题：
①无论m怎样变化，求抛物线G一定经过的点坐标；
②将抛物线G关于原点对称得到的图象记为抛物线，试结合图象探究：若在抛物线G与直线h，抛物线与直线h均相交，在所有交点的横坐标中，点A横坐标既不是最大值，也不是最小值，求此时抛物线G的对称轴的取值范围．
53．（2022·广东广州·九年级期末）如图，抛物线y＝mx2+2mx﹣3m（m≠0）与x轴交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．

(1)直接写出点C的坐标（用含m的代数式表示）；
(2)若△ABC的面积为6，求m的值；
(3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移h（h＞0）个单位，记平移后抛物线中y随x的增大而减小的部分为H．当直线AC与H总有两个公共点时，求h的取值范围．
54．（2022·广东广州·九年级期末）已知抛物线与x轴的负、正半轴分别交于A，B两点，与y轴的负半轴交于点D点C是抛物线的顶点．
(1)若，求该抛物线的对称轴；
(2)在（1）的条件下，连接AD，CD，若，求该抛物线的解析式；
(3)若，点D的坐标为，请判断点C是否存在最高点或最低点，若存在，求该点的坐标；若不存在，请说明理由．
55．（2022·广东·东莞市光明中学九年级期末）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，顶点为B．

(1)求出A、C、D三点的坐标；
(2)若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；
(3)在对称轴上存在点Q，抛物线上是否存在点P，使得以A、Q、C、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
56．（2022·广东惠州·九年级期末）如图，已知抛物线的顶点坐标为Q，且与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PDy轴，交AC于点D．

(1)求该抛物线的函数关系式；
(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
57．（2022·广东·台山市教师发展中心九年级期末）如图，D、E、F是Rt△ABC三边上的点，且四边形CDEF为矩形，BC=6，．

(1)求AB的长；
(2)设，则DE=______．EF=______（用含x的表达式表示）．
(3)求矩形CDEF的面积的最大值．
58．（2022·广东·台山市教师发展中心九年级期末）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．


(1)求点A、B、C的坐标；
(2)若点M在抛物线的对称轴上，且△MAC的周长最小，求点M的坐标；
(3)若点P在x轴上，且△PBC为等腰三角形，请求出所有符合条件的点P的坐标．
59．（2022·广东汕尾·九年级期末）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；
（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．

60．（2022·广东韶关·九年级期末）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PEx轴交抛物线于点E．

(1)求抛物线解析式；
(2)当点P运动到什么位置时，DP的长最大？
(3)是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
61．（2022·广东茂名·九年级期末）如图，抛物线与轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线经过B，C两点，连接AC．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点E为直线BC上方的抛物线上的一动点（点E不与点B，C重合），连接BE，CE，设四边形BECA的面积为S，求S的最大值；
(3)若点Q在轴上，则在抛物线上是否存在一点P，使得以B，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．（1）下，直线x＝1；（2）9
【解析】
（1）观察表格中的数据，得到x＝0和x＝2时，y值相等都为3，且x＝﹣1时，y＝0，可得出抛物线开口方向及对称轴；
（2）把三点坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值确定出解析式，进而求出m与n的值即可．
解：（1）根据表格信息，可知抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1；
故答案为：下，直线x＝1；
（2）把（﹣1，0），（0，3），（2，3）代入y＝ax2+bx+c，得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
当x＝﹣2时，m＝-（-2）2-2×2+3=﹣4﹣4+3＝﹣5；
当x＝1时，n＝-12+2×1+3=﹣1+2+3＝4；
∴|m﹣n|＝|﹣5﹣4|＝9．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．
2．（1）；（2）
【解析】
（1）利用点、求解一次函数的解析式，再求的坐标，再求反比例函数解析式；
（2）设 则再表示的长度，列出三角形面积与的函数关系式，利用函数的性质可得答案．
解：（1）设直线AB为
把点、代入解析式得：

解得：
直线为
把代入得：

把代入：
，

（2）设 轴，
则 由＜＜，



即当时，

本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最值，掌握以上知识是解题的关键．
3．（1）；（2）
【解析】
（1）运用待定系数法将A（-3，0）、C（0，-3）两点的坐标代入抛物线解析式，即可得出b，c的值；
（2）根据x轴上的点的纵坐标为零，令，求出的值即可得出B的坐标，结合图像，直接写出当时，x的取值范围即可．
解：（1）将（-3，0），（0，-3）代入得：
，
解得：，
∴b，c的值分别为2，-3；
（2）由（1）可知抛物线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（1，0），
由图象可知当时，．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据函数值的范围求自变量取值范围等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合的思想解题．
4．(1)
(2)或
【解析】
（1）将点代入解析式，待定系数法求解析式即可；
（2）根据解析式令，求得点的坐标，进而根据抛物线与轴的交点结合函数图象即可求得y＞0时自变量x的取值范围．
(1)
解：将点代入抛物线y＝x2+bx+c，得

解得
则抛物线的解析式为：
(2)
由抛物线的解析式，令
即
解得

，，且抛物线开口向上，
y＞0时自变量x的取值范围为或
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据函数图象求自变量的范围，数形结合是解题的关键．
5．（1）隔离区的长和宽分别为4米，2.5米；（2）有，平方米
【解析】
（1）设隔离区边米，则边米，根据题意列出一元二次方程，解方程求解，根据的值确定的范围，进而求得长和宽；
（2）设隔离区面积为S平方米，列出关于的函数关系式，根据二次函数的性质求得最值即可．
（1）设隔离区边米，则边米，
由已知得，
∴，，
解得：（舍），，
∴米．
答：隔离区的长和宽分别为4米，2.5米．
（2）设隔离区面积为S平方米，
，
∴当时，．
答：隔离区面积最大为平方米．
本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质，根据等量关系列出方程和函数关系式是解题的关键．
6．(1)
(2)6米
【解析】
（1）根据题意可知该抛物线顶点坐标，且经过点A（0，6），即可设抛物线的解析式为，再将A（0，6）代入，求出a即可；
（2）对于该抛物线解析式，令y=0，求出x的值即可．
(1)
由题意可知抛物线的顶点坐标为（2，8），且经过点A（0，6），
∴设抛物线的解析式为，
把A（0，6）代入得，
解得：，
∴．
(2)
令，得，
解得：，（舍去），
∴水落地离墙的最远距离为6米．
本题考查二次函数的实际应用．根据题意，利用待定系数法求出解析式是解答本题的关键．
7．(1)平均每次降价的百分率是20%；
(2)当商场降价27元时，商场每天盈利最大．
【解析】
（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的一元二次方程，然后求解即可，注意下降率不能超过100%；
（2）根据题意，可以写出w与下降的钱数之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质，可以求得当a为何值时，w取得最大值．
(1)
解：设平均每次降价的百分率为x，
由题意可得：100（1-x）2=64，
解得x1=20%，x2=180%（不合题意，舍去），
答：平均每次降价的百分率是20%；
(2)
解：设商场降价a元，
由题意可得：w=（64-a）（20+2a）=-2a2+108a+1280，
∴该函数图象开口向下，当a=时，w取得最大值，
∵-2<0，
∴a=27时，w取得最大值，
答：当商场降价27元时，商场每天盈利最大．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和写出相应的函数解析式．
8．(1)-1
(2)-3或1
【解析】
（1）根据抛物线与x轴只有一个交点即可得出m，进而得出其顶点坐标即可；
（2）根据一个点到x轴的距离=纵坐标的绝对值解答即可．
【小题1】
解：由题意可得：△=4+4m=0，
∴m=-1；
【小题2】
，
∵顶点坐标为（-1，-m-1），
∵顶点到x轴的距离为2，
∴|-m-1|=2，
∴m=-3或1．
本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，涉及到二次函数的图象及二次函数与x轴的交点问题等知识，难度适中．
9．(1)见解析
(2)水管的长度为m．
【解析】
（1）以水池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立平面直角坐标系；
（2）利用顶点式求得抛物线的解析式，再令x=0，求得相应的函数值，即为所求的答案．
(1)
解：以水池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立平面直角坐标系；如图所示：

(2)
解：由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，
∴设这段抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3．
∵该抛物线过点（3，0），
∴0=a（3-1）2+3，
解得：a=-．
∴y=-（x-1）2+3(0≤x≤3)，
∵当x=0时，y=-×（0-1）2+3=-+3=，
∴水管的长度为m．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法及二次函数的相关性质是解题的关键．
10．（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为；（2）的面积的最大值为，．（3）的坐标为或．
【解析】
（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）如图1中，过点P作PE∥y轴交AD于点E．设P（m，-m2+m+3），则E（m，m+1）．因为S△PAD=•（xD-xA）•PE=3PE，所以PE的值最大值时，△PAD的面积最大，求出PE的最大值即可．
（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（-5，6），设DT交y轴于点Q，则∠ADQ=45°，作点T关于AD的对称点T′（1，-6），设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′=45°，分别求出直线DT，直线DT′的解析式即可解决问题．
解：（1）抛物线与轴交于、两点，
设抛物线的解析式为，
解得，，或，
在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为，
直线经过、，
设直线的解析式为，
则，
解得，，
直线的解析式为；
（2）如图1中，过点作轴交于点．设，则．

，
的值最大值时，的面积最大，
，
，
时，的值最大，最大值为，此时的面积的最大值为，．
（3）如图2中，将线段绕点逆时针旋转得到，则，

设交轴于点，则，
，
直线的解析式为，
，
作点关于的对称点，
则直线的解析式为，
设交轴于点，则，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题．
11．（1）y＝－x2＋4x＋5（2）m的值为7或9（3）Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）
【解析】
（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可求得C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得m的值；
（3）由（2）可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，则可证得△PQN≌△EFB，可求得QN，即可求得Q到对称轴的距离，则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点坐标；当BE为对角线时，由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标，设Q（x，y），由P点的横坐标则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．
（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；
（2）∵AD=5，且OA=1，
∴OD=6，且CD=8，
∴C（﹣6，8），
设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，
代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，
∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8），
∵C（﹣6，8），
∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，
∴m的值为7或9；
（3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，
∴抛物线对称轴为x=2，
∴可设P（2，t），
由（2）可知E点坐标为（1，8），
①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，

则∠BEF=∠BMP=∠QPN，
在△PQN和△EFB中

∴△PQN≌△EFB（AAS），
∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，
设Q（x，y），则QN=|x﹣2|，
∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，
当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7，
∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；
②当BE为对角线时，
∵B（5，0），E（1，8），
∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），
设Q（x，y），且P（2，t），
∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，
∴Q（4，5）；
综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．
12．(1) w＝－10x2＋700x－10000;(2) 即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大;
(3) A方案利润更高.
【解析】
试题分析：（1）根据利润=（单价-进价）×销售量，列出函数关系式即可.
（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值.
（3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较.
解：（1）w＝（x－20）（250－10x＋250）＝－10x2＋700x－10000.
（2）∵w＝－10x2＋700x－10000＝－10（x－35）2＋2250
∴当x＝35时，w有最大值2250，
即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大.
（3）A方案利润高,理由如下：
A方案中：20＜x≤30，函数w＝－10（x－35）2＋2250随x的增大而增大，
∴当x=30时，w有最大值，此时，最大值为2000元.
B方案中：，解得x的取值范围为：45≤x≤49.
∵45≤x≤49时，函数w＝－10（x－35）2＋2250随x的增大而减小，
∴当x=45时，w有最大值，此时，最大值为1250元.
∵2000＞1250，
∴A方案利润更高
13．（1）每个定价为70元，应进货200个；（2）W＝﹣10（x﹣15）2+6250，每个定价为65元时获得最大利润，可获得的最大利润是6250元
【解析】
（1）总利润＝每个的利润×销售量，销售量为（400﹣10x）个，列方程求解，根据题意取舍；
（2）利用函数的性质求最值．
解：（1）根据题意得：（50﹣40+x）（400﹣10x）＝6000，
解得：x1＝10，x2＝20，
当x＝10时，400﹣10x＝400﹣100＝300，
当x＝20时，400﹣10x＝400﹣200＝200，
要使进货量较少，则每个定价为50+20＝70元，应进货200个．
答：每个定价为70元，应进货200个．
（2）根据题意得：W＝（50﹣40+x）（400﹣10x）＝﹣10x2+300x+4000＝﹣10（x﹣15）2+6250，
当x＝15时，y有最大值为6250．
所以每个定价为65元时获得最大利润，可获得的最大利润是6250元．
一元二次方程和二次函数在实际生活中的应用是本题的考点，根据每个小家电利润×销售的个数=总利润列出方程是解题的关键．
14．（1）；（2）；（3）； （4）或或
【解析】
（1）当t＝2s时，可知P与点B重合，在Rt△ABQ中可求得tan∠QPA的值；
（2）用t可表示出BP和AQ的长，由△PBM∽△QAM可得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）当点Q在线段OA上时，S＝S△CPQ；当点Q在线段OA上，且点P在线段CB的延长线上时，由相似三角形的性质可用t表示出AM的长，由S＝S四边形BCQM＝S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ，可求得S与t的关系式；当点Q在OA的延长线上时，设CQ交AB于点M，利用△AQM∽△BCM可用t表示出AM，从而可表示出BM，S＝S△CBM，可求得答案．
（4）先利用待定系数法求出直线AD解析式，再由C（0，3），P（2t，3），Q（t，0）知CP的中点坐标为（t，3），CQ中点坐标为（，），PQ中点坐标为（t，），继而分别代入计算可得．
解：（1）当t＝2s时，则CP＝2×2＝4＝BC，即点P与点B重合，OQ＝2，如图1，

∴AQ＝OA﹣OQ＝4﹣2＝2，且AP＝OC＝3，
∴tan∠QPA＝；
（2）当线段PQ与线段AB相交于点M，则可知点Q在线段OA上，点P在线段CB的延长线上，如图2，

则CP＝2t，OQ＝t，
∴BP＝PC﹣CB＝2t﹣4，AQ＝OA﹣OQ＝4﹣t，
∵PC∥OA，
∴△PBM∽△QAM，
∴，且BM＝2AM，
∴＝2，解得t＝3，
∴当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM＝2AM时，t为3s；
（3）当0≤t≤2时，如图3，

由题意可知CP＝2t，
∴S＝S△PCQ＝×2t×3＝3t；
当2＜t≤4时，设PQ交AB于点M，如图4，

由题意可知PC＝2t，OQ＝t，则BP＝2t﹣4，AQ＝4﹣t，
同（3）可得，
∴BM＝•AM，
∴3﹣AM＝•AM，
解得AM＝，
∴S＝S四边形BCQM＝S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ＝3×4﹣×t×3﹣×（4﹣t）×＝24﹣﹣3t；
当t＞4时，设CQ与AB交于点M，如图5，

由题意可知OQ＝t，AQ＝t﹣4，
∵AB∥OC，
∴，即，
解得AM＝，
∴BM＝3﹣＝ ，
∴S＝S△BCM＝；
综上可知
（4）如图6，

∵∠OAD＝∠OAB＝45°，OA＝4，
∴D（0，4），
设直线AD解析式为y＝kx+b，
代入，得：，
解得，
∴直线AD解析式为y＝﹣x+4，
由题意知C（0，3），P（2t，3），Q（t，0），
∴CP的中点坐标为（t，3），CQ中点坐标为（，），PQ中点坐标为（t，），
若直线AD经过CP中点，则﹣t+4＝3，解得t＝1；
若直线AD经过CQ中点，则﹣+4＝，解得t＝5；
若直线AD经过PQ中点，则﹣t+4＝，解得t＝；
综上，∠OAB的角平分线经过△CQP边上中点时的t值为1或5或．
本题为二次函数与四边形的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、三角函数的定义、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中确定P、B重合是解题的关键，在（2）中由相似三角形的性质得到关于t的方程是解题的关键，在（3）中确定出P、Q的位置，从而确定出S为哪一部分图形的面积是解题的关键．本题为“运动型”问题，用t和速度表示出相应线段的长度，化“动”为“静”是解这类问题的一般思路．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，情况较多，难度较大．
15．(1);(2)
【解析】
(1)根据已知新定义和当时,y2＝ 15得出,求出即可;
(2)把m的值代入函数y2，根据顶点的横坐标即可求出a,再把a的值代入求出即可．
解：(1)由“生成函数”的概念，可知
∵，
∴
∵当时，，
∴，得
又∵m>0，
∴m＝1
(2)由m＝1得，

∵二次函数y2的图像的顶点坐标为(2，k)，
∴对称轴x＝－＝2，解得a＝4
∴，
∴
本题考查了二次函数的性质，求函数的解析式的应用，能读懂题意是解此题的关键.
16．见详解
【解析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）根据日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本，由题意得：W＝y（x﹣100）﹣2000，写出函数关系式即可．
(3)利用函数的性质，求出函数的最大值；
解：（1）设一次函数的表达式为y＝kx+b，
将点（150，200）、（160，180）代入上式
得，解得．
故y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+500．
（2）∵日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本
由题意得：
W＝y（x﹣100）﹣2000
＝（﹣2x+500）（x﹣100）﹣2000
＝﹣2x2+700x﹣52000
（3）W＝﹣2x2+700x﹣52000
∵﹣2＜0，故W有最大值．
当x＝﹣＝175（元/件）时
W的最大值为= =9250（元）．
本题考查二次函数的实际应用，在应用中，找到等量关系，建立二次函数模型，注意自变量的取值范围．
17．（1）（-1，-1）；（2）理由见详解；（3）6
【解析】
（1）化为顶点式即可求顶点坐标；
（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，整理得，mx（x+1）=0，即可知抛物线与直线有两个交点
（3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，点P的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），点Q的坐标为（t，mt+m-1）．
故分两种情况进行讨论：①如图1，当-1≤t≤0时；②如图2，当0＜t≤1时，求出对应的最大值即可．
解：
（1）∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，-1）．
（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：
mx2+2mx+m-1=mx+m-1，
mx2+mx=0，
mx（x+1）=0，
∵m≠0，
∴x1=0，x2=-1．
∴抛物线与直线有两个交点．
（3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，
点P的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），点Q的坐标为（t，mt+m-1）．
①如图1，

当-1≤t≤0时，PQ=．
∵m＞0，
当时，PQ有最大值，且最大值为．
∵0＜m≤3，
∴0＜​​​​​​​≤，即PQ的最大值为．
②如图2，

当0＜t≤1时，PQ=
∵m＞0，
∴当t=1时，PQ有最大值，且最大值为2m．
∵0＜m≤3，
∴0＜2m≤6，即PQ的最大值为6．
综上所述，PQ的最大值为6．
此题主要考查二次函数的相关知识，（1）（2）题相对简单，（3）题要分情况进行讨论并解答，因此做此类题型，在进行分类讨论时，尽量通过大致图象数型结合进行解答．
18．（1），；（2），或；（3）．
【解析】
（1）由二次函数的图象与轴交于点、即可得到的两个根为，；
（2）通过观察二次函数的图象可得开口向下，然后由与轴交于点、求解即可；
（3）通过观察二次函数的图象可得抛物线的对称轴为，然后由开口向下即可求解．
解：（1）二次函数的图象与轴交于、，
的根为：，；
（2）二次函数的图象与轴交于、

观察图象可知：当时，图象总在轴的上方．
不等式的解集为：．
观察图象可知：当或时，图象总在轴的下方．
当或时，，
（3）二次函数的图象与轴交于、，
该图象的对称轴为直线，
图象开口向下，
当时，随的增大而减小．
即随的增大而减少时．
此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图像和性质．
19．(1)w＝﹣2x2+220x﹣5600（x＞40）
(2)销售单价定为48元时，利润最大，最大利润是352元
【解析】
（1）根据“利润=销售数量×每件的利润”可得w＝y•（x﹣40），把y＝﹣2x+140代入整理即可得w与x的函数关系式；
（2）由每天的销售量不少于44件，可得y＝﹣2x+140 ≥44，进而可求出x≤48；由于（1）已求w＝﹣2x2+220x﹣5600，整理可得w＝﹣2（x﹣55）2+450，有二次函数的性质a=-2<0可知，当x<55时，w随x的增大而增大，所以当x＝48时，w有最大值，最大值为：﹣2×482+220×48﹣5600＝352．
(1)
解：由题意得：
w＝y•（x﹣40）
＝（﹣2x+140）（x﹣40）
＝﹣2x2+220x﹣5600,
∴w与x的函数关系式为w＝﹣2x2+220x﹣5600（x＞40）；
(2)
解：∵y≥44，
∴﹣2x+140≥44，
解得：x≤48；
w＝﹣2x2+220x﹣5600
＝﹣2（x﹣55）2+450，
∵a=-2<0
∴当x<55时，w随x的增大而增大，
∵x≤48，
∴当x＝48时，w有最大值，最大值为：﹣2×482+220×48﹣5600＝352．
∴销售单价定为48元时，利润最大，最大利润是352元．
本题主要考查了二次函数的应用及二次函数求最值问题的知识．
20．（1）；（2）
【解析】
（1）把点A代入一次函数解析式，求出一次函数解析式和点B的坐标，然后设出二次函数顶点式，把点B代入即可求出二次函数解析式；
（2）由图像可知，x轴上面部分的二次函数值都大于0，根据二次函数与x轴的交点特征求得二次函数与x轴的交点即可得出答案．
解：（1）∵点A（1，4）在一次函数y＝﹣2x+m上，
∴把点A（1，4）代入y＝﹣2x+m，
得，4＝﹣2×1+m，
解得：m＝6，
∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+6，
令y＝0时，则﹣2x+6＝0，解得：x＝3，
∴点B的坐标为：（3，0），
∵点A（1，4）为二次函数图象的顶点，点B在x轴上，
∴设二次函数解析式为：，
把点B（3，0）代入，
解得：a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为：；
（2）由（1）求得二次函数解析式为，
令y＝0，即，
解得：，，
由图像可知x轴上面部分的二次函数值都大于0，且二次函数与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），
∴自变量x的取值范围：．
本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质，根据顶点坐标设出二次函数顶点式是求出二次函数的关键．
21．（1）直线 ；（2） ；（3）CN=3CM，理由见详解
【解析】
（1）代入抛物线的解析式的对称轴公式，即可求解；
（2）连接AM交y轴于点D，过点M作ME∥x轴交y轴于点E，在y轴上取点F，使EF=DE，作直线MF交抛物线于点N，可得∠AMN=2∠EMA=2∠OAM，先求出点 ，可得直线AM的解析式为 ，从而得到点 ，进而得到直线MF的解析式为 ，然后把，联立，即可求解；
（3）设 ，直线AP的解析式为 ，根据A（﹣1，0），可得直线AP的解析式为 ，从而得到CM=am，然后设直线BP的解析式为 ，根据点B（3，0），可得直线PB的解析式为 ，从而得到，即可求解．
解：（1）抛物线的对称轴为直线 ；
（2）如图，连接AM交y轴于点D，过点M作ME∥x轴交y轴于点E，在y轴上取点F，使EF=DE，作直线MF交抛物线于点N，

∴∠EMA=∠OAM，EM⊥y轴，
∴FM=MD，
∴∠MFE=∠MDE，
∴∠AMN=2∠EMA=2∠OAM，
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与与y轴交于点C（0，﹣3a）．
∴ ，
∵a＝，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ，
∵M的横坐标为4，
∴M的纵坐标为 ，
∴点 ，
设直线AM的解析式为 ，
把点A（﹣1，0）， ，代入得：
，解得： ，
∴直线AM的解析式为 ，
当 时， ，
∴点 ，
∵ME∥x轴，
∴点 ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ，
设直线MF的解析式为 ，
把点 ， 代入，得：
，解得： ，
∴直线MF的解析式为 ，
把，联立得：
，解得： 或（舍去），
∴点N的坐标为 ；
（3）CN=3CM，理由如下：
如图，

设 ，直线AP的解析式为 ，
∵A（﹣1，0），
∴ ，解得： ，
∴直线AP的解析式为 ，
当 时， ，
∴点 ，
∵C（0，﹣3a），
∴CM=am，
设直线BP的解析式为 ，
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点，
∴当 时， ，
此时 ，
∴点B（3，0），
∴ ，
解得： ，
∴直线PB的解析式为 ，
∴点 ，
∵C（0，﹣3a），
∴，
∴CN=3CM．
本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数与一次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
22．(1)
(2)货船不能安全通过此桥
【解析】
（1）根据题意选择合适坐标系即可，结合已知条件得出点的坐标即可，根据抛物线在坐标系的位置，可设抛物线为来求解析式；
（2）将代入解析式可得的值，再与比较即可．
(1)
解：设抛物线解析式为，则，
∴，
解得，
；
(2)
解：若，则，
∴，
，
∴货船不能安全通过此桥，


本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据抛物线在坐标系中的位置及点的坐标特点，合理地设抛物线解析式，再运用解析式解答题目的问题．
23．(1)
(2)售价定为50元，应进台灯500个
(3)60元
【解析】
（1）设该种商品每次降价的百分率为，根据“商品的标价为75元/件，经过两次降价后的价格为48元/件，并且两次降价的百分率相同．”列出方程，即可求解；
（2）设这种台灯的售价定为元，则台灯的销售量为个，根据题意列出方程，即可求解；
（3）设台灯的售价定为元，获得的利润为元，根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的增减性，即可求解．
(1)
解：设该种商品每次降价的百分率为，根据题意得：
，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该种商品每次降价的百分率为；
(2)
解：设这种台灯的售价定为元，则台灯的销售量为个，根据题意得：
，
解得：，，
∵售价在40～60元，
∴不合题意，舍去，
∴台灯的销售量为个，
答：这种台灯的售价定为50元，这时应进台灯500个；
(3)
解：设台灯的售价定为元，获得的利润为元，根据题意得：
，
∵ ，
∴当时，随的增大而增大，
根据题意得：，
∴当时，的值最大，
答：当台灯的售价为60元时，获得的利润最大．
本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
24．(1)
(2)24元，1920元
【解析】
（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质可得最值情况．
【小题1】
解：由题意可知：，
解得：，
∴y与x之间的关系式为：；
【小题2】
由（1）可知：y与x的函数关系应该是y=-30x+960，
设商场每月获得的利润为W，由题意可得
W=（x-16）（-30x+960）=-30x2+1440x-15360．
∵-30＜0，
∴当x==24时，利润最大，W最大值=1920，
答：当单价定为24元时，获得的利润最大，最大的利润为1920元．
本题主要考查二次函数的应用能力，理解题意找到题目蕴含的相等关系并列出函数解析式是解题的关键．
25．(1)
(2)S与m的函数关系式为S=-m2-4m，S的最大值为4．
【解析】
（1）将A（-4，0），C（2，0）两点坐标代入y=x2+bx+c可求出b、c的值即可确定关系式；
（2）根据面积法得出S关于m的函数关系式，再利用函数的性质得出最大值．
(1)
解：把A（-4，0），C（2，0）代入y=x2+bx+c得，
，解得，
∴抛物线的解析式为y=x2+x-4；
(2)
解：如图，过点M作MN⊥AC，垂足为N，

抛物线y=x2+x-4与y轴的交点B坐标为（0，-4），即OB=4，
又∵M（m，m2+m-4），
∴ON=-m，MN=-m2-m+4，AN=4-（-m）=4+m，
∴S△ABM=S△ANM+S梯形MNOB-S△AOB
=（4+m）（-m2-m+4）+（-m2-m+4+4）（-m）-×4×4
=-m2-4m
=-（m+2）2+4，
∴当m=-2时，S最大=4，
答：S与m的函数关系式为S=-m2-4m，S的最大值为4．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，用待定系数法求出二次函数的关系式是解决问题的关键．
26．（1）；（2）见解析；（3）-3 【解析】
（1）设二次函数解析式为，利用待定系数法求解；
（2）利用描点法画图即可；
（3）利用表格及图象解答即可．
解：（1）设二次函数解析式为，
由表格可知，二次函数图象经过点（-3,0），（0，-3），（1,0），则
，解得，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）如图：
；
（3）由表格可知，当y=0时，x=-3及x=1；
由图象知，函数图象的开口向上，
∴当函数值y＜0时，对应的x的取值范围是-3 故答案为：-3 此题考查了待定系数法求函数解析式，画抛物线，由函数值求自变量的取值范围，正确掌握各知识点是解题的关键．
27．(1)当月销售利润为10000元时，售价为50元或80元；
(2)当售价定为65元时月销售利润达到最大值，最大利润是12000元．
【解析】
（1）根据按40元/千克销售，一个月可售出600千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克，写出月销售量为y与售价为x的函数关系式，并求出自变量的取值范围，再根据月利润=每千克的利润×销售量列出一元二次方程，解方程即可；
（2）根据月利润=每千克的利润×销售量列出函数关系式，再根据函数的性质求函数最值．
(1)
解：设售价为x（单位：元），月销售量为y（单位：千克），
由题意可得：y=600-10（x-40）=-10x+1000，
∵x-40≥0且-10x+1000≥0，
∴40≤x≤100，
∴y与x之间的函数解析式为y=-10x+1000（40≤x≤100）；
根据题意得：（x-30）（-10x+1000）=10000，
整理，得：x2-130x+4000=0，
解得：x1=50，x2=80，
∴当月销售利润为10000元时，售价为50元或80元；
(2)
解：设月销售利润为W，
则W=（x-30）y=（x-30）（-10x+1000）=-10（x-65）2+12250，
∵利润率不低于50%但不超过100%，
∴30×（1+50%）≤x≤30×（1+100%），即45≤x≤60，
∴当x=60时，W取得最大值，此时W=12000，
答：当售价定为65元时月销售利润达到最大值，最大利润是12000元．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和方程的思想解答．
28．（1）4；（2）（﹣2，﹣9）．
【解析】
（1）抛物线y＝x2+mx﹣5与x轴的一个交点是（1，0），可以求得m的值；（2）根据（1）中m的值，可以得到该抛物线的解析式，然后根据配方法即可求得抛物线的顶点式，写出抛物线的顶点坐标．
（1）∵抛物线y＝x2+mx﹣5与x轴的一个交点是（1，0），
∴0＝12+m×1﹣5，
解得，m＝4，
即m的值是4；
（2）∵m＝4，
∴y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，
∴该抛物线的顶点坐标是（﹣2，﹣9）．
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的三种形式，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
29．(1)y=-x2+2x+3
(2)（0，1）或（0，3）
【解析】
（1）将点A（1，4）代入y=-2x+m，确定直线解析式即可求出B点坐标，再设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4，将所求的B点坐标代入即可求a的值；
（2）（2）设P（0，t），则可求AB=，AB的中点M（2，2），再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得4+（t-2）2=5，即可求P点坐标为（0，1）或（0，3）．
【小题1】
解：将点A（1，4）代入y=-2x+m，
∴-2+m=4，
∴m=6，
∴y=-2x+6，
令y=0，则x=3，
∴B（3，0），
设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4，
将B（3，0）代入y=a（x-1）2+4，
∴4a+4=0，
∴a=-1，
∴y=-x2+2x+3；
【小题2】
设P（0，t），
∵A（1，4），B（3，0），
∴AB=，AB的中点M（2，2），
∵∠APB=90°，
∴MP=，
∴4+（t-2）2=5，
∴t=1或t=3，
∴P点坐标为（0，1）或（0，3）．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，灵活应用直角三角形的性质是解题的关键．
30．(1)
(2)当每千克樱桃的售价定为40元时，该超市的日销售利润最大，最大利润为1600元
【解析】
（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据“日销售利润=每千克利润×日销售量”可得函数解析式，将函数解析式配方成顶点式即可得最值情况．
(1)
解：设y=kx+b，将（25，110）、（30，100）代入，
得：，
解得：，
∴y=-2x+160(2040)；
(2)
解：设超市日销售利润为w元，
w=（x-20）（-2x+160）
=-2x2+200x-3200
=-2（x-50）2+1800
∵-2＜0，
∴当20≤x≤40时，w随x的增大而增大，
∴当x=40时，w取得最大值为：w=-2×（40-50）2+1800=1600，
答：当每千克樱桃的售价定为40元时日销售利润最大，最大利润是1600元．
本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
31．(1)
(2)与x轴的两个交点坐标分别是：，；顶点坐标是
【解析】
（1）把点（2，0），（−1，6）代入二次函数y＝ax2＋bx，得出关于a、b的二元一次方程组，求得a、b即可；
（2）将（1）中解析式转化为两点式或顶点式，即可求得抛物线与x轴的交点坐标和顶点坐标．
(1)
解：把点，代入二次函数，
得，
解得，
因此二次函数的关系式；
(2)
解：∵＝2x（x−2），
∴该抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（0，0），（2，0）．
∵＝2（x−1）2−2，
∴二次函数的顶点坐标（1，−2）．
此题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
32．(1)y＝x2+2x-3；
(2)①（，2）或（-，-2）；②(1，2)或 (-1，-2) ．
【解析】
（1）由题意可得方程x2+bx+c=0的根为-3、1，然后根据根与系数的关系确定a、b的值即可；
（2）①先求出顶点C的坐标，然后再运用待定系数法求出直线BC的解析式，再连接OF并延长，求得直线OF的解析式为y=2x，设F（m，2m），将F点坐标代入抛物线解析式求得m，进而确定F坐标；②如图：连接AF、FC, 设F（m，2m），再用m表示出AF2、FC2、AC2，然后再分∠FAC=90°和∠ACF=90°两种情况利用勾股定理求得m的值，进而确定F坐标．
(1)
解：∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）
∴x2+bx+c=0的根为-3、1
∴c=-3×1=-3，b=-（-3+1）=2
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x-3；
(2)
①∵抛物线的解析式为y＝x2+2x-3= （x+1）2-4
∴抛物线顶点C（-1，-4）
设直线BC的解析式为y=kx+b
解得：
∴直线BC的解析式为y=2x-2
连接OF并延长
∵将△OBE沿直线BC平移得到△FGH．
∴OF//BC
设直线OF的解析式为y=2x+n
∵O（0,0）
∴0=2×0+n，即n=0
∴直线OF的解析式为y=2x
设F（m，2m）
则.2m＝m2+2m-3，解得m=±
∴F点的坐标为（，2）或（-，-2）；

②如图：连接AF、FC, 设F（m，2m）
AF2=(x+3)2+(2x)2，FC2=(x+1)2+(2x+4)2，AC2=(-1+3)2+(-4+0)2=20
由△ACF是以AC为直角边的直角三角形
a.当∠FAC=90°时，有FC2=AF2+AC2
∴(x+1)2+(2x+4)2=(x+3)2+(2x)2+20，解得x=1
∴F(1，2)；
b.当∠ACF =90°时，有FC2=AF2+AC2
∴(x+3)2+(2x)2= (x+1)2+(2x+4)2+20，解得x=-1
∴F(-1，-2)；
综上，F点的坐标为(1，2)或 (-1，-2) ．

本题主要考查了一次函数与二次函数的综合、二次函数与几何的综合等知识点，求出直线OF的解析式是解答本题的关键．
33．(1)①函数图象关于y轴对称；②x＝﹣2或x＝0或x＝2；③﹣1＜m＜0
(2)将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位可得到函数y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的图象，﹣1＜x＜3且x≠1，
【解析】
（1）①根据函数图象可直接进行作答；②由函数图象及方程可得当时，自变量x的值，则可看作直线与函数的图象交点问题，进而问题可求解；③由题意可看作直线与函数的图象有四个交点的问题，进而问题可求解；
（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的图象，根据图象即可得到结果．
(1)
解：①由图象可得：该函数的一条性质为关于y轴对称，
故答案为：关于y轴对称（答案不唯一）．
②由题意及图象可将方程的解看作直线与函数的图象交点问题，如图1所示：

∴方程的解为或 或 ；
故答案为：或 或 ．
③由题意方程的根可看作直线与函数的图象有四个交点的问题，如图所示2：

∴由图象可得若方程有四个实数根，则的取值范围是；
故答案为：．
(2)
解：由题意得：将函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到函数的图象，则平移后的函数图象如图3所示：

∴由图象可得：当时，自变量x的取值范围为且．
本题主要考查二次函数的图象与性质二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．
34．（1）证明见解析；（2）①定点F的坐标为（0，1）；②．
【解析】
（1）令y=0，再求出判别式，判断即可得出结论；
（2）先求出OA=2，OB=m+2，OC=2（m+2），
①判断出∠OCB=∠OAF，求出tan∠OCB=，即可求出OF=1，即可得出结论；
②先设出BD=n，再判断出∠DCE=90°，得出DE是⊙P的直径，进而求出BE=2n，DE=n，即可得出结论．
（1）令y＝0，则x2+mx﹣2m﹣4＝0，
∴△＝m2﹣4[﹣2m﹣4]＝m2+8m+16，
∵m＞0，
∴△＞0，
∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）令y＝0，则x2+mx﹣2m﹣4＝0，
∴（x﹣2）[x+（m+2）]＝0，
∴x＝2或x＝﹣（m+2），
∴A（2，0），B（﹣（m+2），0），
∴OA＝2，OB＝m+2，
令x＝0，则y＝﹣2（m+2），
∴C（0，﹣2（m+2）），
∴OC＝2（m+2），
①通过定点（0，1）理由：如图，

∵点A，B，C在⊙P上，
∴∠OCB＝∠OAF，
在Rt△BOC中，tan∠OCB，
在Rt△AOF中，tan∠OAF，
∴OF＝1，
∴点F的坐标为（0，1）；
②如图1，

由①知，点F（0，1）．
∵D（0，1），
∴点D在⊙P上，
∵点E是点C关于抛物线的对称轴的对称点，
∴∠DCE＝90°，
∴DE是⊙P的直径，
∴∠DBE＝90°，
∵∠BED＝∠OCB，
∴tan∠BED，
设BD＝n，在Rt△BDE中，tan∠BED，
∴BE＝2n，根据勾股定理得：DEn，
∴l＝BD+BE+DE＝（3）n，rDEn，
∴．
此题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程的根的判别式，圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理，对称性，求出点A，B，C的坐标是解本题的关键．
35．（1）；（2）线段PE最大时点P的坐标为（，）；（3）存在，此时点D的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（-3，0）
【解析】
（1）将点A和点B的坐标代入即可求出结论；
（2）先利用抛物线解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线AC的解析式，设点P的坐标为（x，），易知点E的坐标为（x，）且-1≤x≤2，从而求出PE与x的函数解析式，然后利用二次函数求最值即可；
（3）设点D的坐标为（n，0），点F的坐标为（t，），根据平行四边形的对角线分类讨论，然后根据平行四边形的对角线互相平分和中点公式列出方程，即可分别求解．
解：（1）将A（一1，0），B（3，0）两点坐标分别代入抛物线解析式中，得

解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）将点C（2，m）代入抛物线解析式中，得
=-3
∴点C的坐标为（2，-3）
设直线AC的解析式为y=kx＋d
将A（一1，0）和点C（2，-3）的坐标分别代入，得

解得：
∴直线AC的解析式为
设点P的坐标为（x，），易知点E的坐标为（x，）且-1≤x≤2
∴PE=－
=
=
∵-1＜0
∴抛物线的开口向下，
∴当时，PE有最大值，最大值为
此时点P的坐标为（，）；
（3）存在，
设点D的坐标为（n，0），点F的坐标为（t，）
若AD和CF为平行四边形的对角线时，
∴AD的中点即为CF的中点
∴
解②，得，
将代入①，解得：n=；
将代入①，解得：n=；
∴此时点D的坐标为（，0）或（，0）；
若AC和DF为平行四边形的对角线时，
∴AC的中点即为DF的中点
∴
解②，得，（此时点F和点C重合，故舍去）
将代入①，解得：n=1；
∴此时点D的坐标为（1，0）；
若AF和CD为平行四边形的对角线时，
∴AF的中点即为CD的中点
∴
解②，得，（此时点F和点C重合，故舍去）
将代入①，解得：n=-3；
∴此时点D的坐标为（-3，0）；
综上：存在，此时点D的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（-3，0）．



此题考查的是二次函数与几何图形的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、利用二次函数求最值和平行四边形的性质是解题关键．
36．（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）△PAE面积S的最大值是；（3）点Q的坐标为（﹣2+，2﹣4）．
【解析】
（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，可以求得该抛物线的解析式，然后将函数解析式化为顶点式，从而可以得到该抛物线的顶点坐标，即点D的坐标；
（2）根据题意和点A和点D的坐标可以得到直线AD的函数解析式，从而可以设出点P的坐标，然后根据图形可以得到△APE的面积，然后根据二次函数的性质即可得到△PAE面积S的最大值；
（3）根据题意可知存在点Q使得四边形OAPQ为平行四边形，然后根据函数解析式和平行四边形的性质可以求得点Q的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，
∴ ，得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）设直线AD的函数解析式为y＝kx+m，
，得，
∴直线AD的函数解析式为y＝2x+6，
∵点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），
∴设点P的坐标为（p，2p+6），
∴S△PAE＝＝﹣（p+）2+，
∵﹣3＜p＜﹣1，
∴当p＝﹣时，S△PAE取得最大值，此时S△PAE＝，
即△PAE面积S的最大值是；
（3）抛物线上存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形，
∵四边形OAPQ为平行四边形，点Q在抛物线上，
∴OA＝PQ，
∵点A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴PQ＝3，
∵直线AD为y＝2x+6，点P在线段AD上，点Q在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，
∴设点P的坐标为（p，2p+6），点Q（q，﹣q2﹣2q+3），
∴，
解得，或（舍去），
当q＝﹣2+时，﹣q2﹣2q+3＝2﹣4，
即点Q的坐标为（﹣2+，2﹣4）．
本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
37．（1）；（2），当时，PN有最大值，最大值为．       （3）满足条件的点Q有两个，坐标分别为：，．
【解析】
（1）将点A、B的坐标代入解析式中求解即可；
（2）由(1)求得点C坐标，利用待定系数法求得直线BC的解析式，然后用m表示出PN，再利用二次函数的性质即可求解；
（3）分三种情况：①AC=CQ；②AC=AQ；③CQ=AQ，分别求解即可．
解：（1）将，代入，得，解之，得．
所以，抛物线的表达式为．   
（2）由，得．
将点、代入，得，解之，得．
所以，直线BC的表达式为：．
由，得，．
∴
∵，∴．
∴．
∴．
．
∵
∴当时，PN有最大值，最大值为．        
（3）存在，理由如下：由点，，知．

①当时，过Q作轴于点E，易得，
由，得，（舍）
此时，点；       
②当时，则．
在中，由勾股定理，得．
解之，得或（舍）
此时，点；     
③当时，
由，得（舍）．
综上知所述，可知满足条件的点Q有两个，坐标分别为：，．
本题是一道二次函数与几何图形的综合题，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．
38．（1）；（2）公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．
【解析】
【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值；
（2）利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x轴有交点，由题意得到方程﹣+3=0，通过解该方程求得x的值即为抛物线与x轴交点横坐标．
【详解】（1）把A（0，3），B（﹣4，﹣）分别代入y=﹣x2+bx+c，
得，
解得；
（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣x2+x+3，
△=（）2﹣4×（﹣）×3=＞0，
所以二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴有公共点，
∵﹣x2+x+3=0的解为：x1=﹣2，x2=8，
∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系．
39．（1）y= ，抛物线的对称轴是 x=3；
（2）存在；P点坐标为（3，）．
（3）在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．N（，-3）
【解析】
(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－5)．
把点A(0，4)代入上式，解得a＝．
∴y＝(x－1)(x－5)＝x2－x＋4＝(x－3)2－．
∴抛物线的对称轴是x＝3．
(2)存在，P点的坐标是(3，)．如图1，连接AC交对称轴于点P，连接BP，AB．
∵点B与点C关于对称轴对称，
∴PB＝PC．
∴AB＋AP＋PB＝AB＋AP＋PC＝AB＋AC．
∴此时△PAB的周长最小．
设直线AC的解析式为y＝kx＋b．把A(0，4)，C(5，0)代入y＝kx＋b，得
解得
∴y＝－x＋4．
∵点P的横坐标为3，
∴y＝－×3＋4＝．
∴P(3，)．

(3)在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC的面积最大．
如图2，设N点的横坐标为tt，此时点N(t，t2－t＋4)(0＜t＜5)．
过点N作y轴的平行线，分别交x轴，AC于点F，G，过点A作AD⊥NG，垂足为D．
由(2)可知直线AC的解析式为y＝－x＋4．
把x＝t代入y＝－x＋4，得y＝－t＋4．
∴G(t，－t＋4)．
∴NG＝－t＋4－(t2－t＋4)＝－t2＋4t．
∵AD＋CF＝OC＝5，
∴S△NAC＝S△ANG＋S△CGN＝NG·AD＋NG·CF＝NG·OC
＝×(－t2＋4t)×5＝－2t2＋10t＝－2(t－)2＋．
∵当t＝时，△NAC面积的最大值为．
由t＝，得y＝×()2－×＋4＝－3．
∴N(，－3)．
40．（1）抛物线的解析式为y=﹣；（2）存在，满足条件的P点坐标为（﹣4，0），P2（﹣5，﹣3）；（3）满足条件的点E为（﹣7，0）或（﹣1，0）或（，0）或（，0）．
【解析】
（1）因为抛物线经过点A（﹣4，0），B（1，0），所以可以设抛物线为y=﹣（x+4）（x﹣1），展开即可解决问题；
（2）先证明∠ACB=90°，点A就是所求的点P，求出直线AC解析式，再求出过点B平行AC的直线的解析式，利用方程组即可解决问题；
（3）分AC为平行四边形的边，AC为平行四边形的对角线讨论即可解决问题．
解：（1）抛物线的解析式为y=﹣（x+4）（x﹣1），即；
（2）存在．当x=0，=2，则C（0，2），
∴OC=2，∵A（﹣4，0），B（1，0），
∴OA=4，OB=1，AB=5，当∠PCB=90°时，
∵AC2=42+22=20，BC2=22+12=5，AB2=52=25
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，
∴当点P与点A重合时，△PBC是以BC为直角边的直角三角形，此时P点坐标为（﹣4，0）；
当∠PBC=90°时，PB//AC，如图1，设直线AC的解析式为y=mx+n，把A（﹣4，0），C（0，2）代入得：，解得： ，
∴直线AC的解析式为y=x+2，
∵BP//AC，
∴直线BP的解析式为y=x+p，把B（1，0）代入得+p=0，解得p=﹣，∴直线BP的解析式为y=x﹣，
解方程组：得： 或，
此时P点坐标为（﹣5，﹣3）；
综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣4，0），P2（﹣5，﹣3）；
（3）存在点E，设点E坐标为（m，0），F（n，），分三种情况讨论：
①当AC为边，CF1//AE1，易知CF1=3，此时E1坐标（﹣7，0）；
②当AC为边时，AC//EF，易知点F纵坐标为﹣2，
∴=﹣2，
解得n= ，得到F2（，﹣2），F3（，﹣2），
根据中点坐标公式得到： = 或 =，
解得m=或，此时E2（，0），E3（，0）；
③当AC为对角线时，AE4=CF1=3，此时E4（﹣1，0）．
综上所述满足条件的点E为（﹣7，0）或（﹣1，0）或（，0）或（，0）．

本题考查二次函数综合题、一次函数、勾股定理、平行四边形的判定和性质、中点坐标公式等知识，解题的关键是构建一次函数利用方程组解决点P坐标，学会分类讨论，学会用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．
41．（Ⅰ）a＝﹣，抛物线与x轴另一交点坐标是（0，0）；（Ⅱ）①点H的坐标为（2，6）；②证明见解析.
【解析】
(I）根据该抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），可以求得的值及该抛物线与x轴另一交点坐标；
(II)①根据题目中的函数解析式可以求得点H的坐标；
②将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可证明点H是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．
（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴0＝（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+4a+2，
解得，a＝﹣，
∴y＝x2+x＝x（x+1），
当y＝0时，得x1＝0，x2＝﹣1，
即抛物线与x轴另一交点坐标是（0，0）；
（Ⅱ）①∵抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2＝x2+2﹣2a（x﹣2），
∴不论a取何实数，该抛物线都经过定点（2，6），
即点H的坐标为（2，6）；
②证明：∵抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2＝（x﹣a）2﹣（a﹣2）2+6，
∴该抛物线的顶点坐标为（a，﹣（a﹣2）2+6），
则当a＝2时，﹣（a﹣2）2+6取得最大值6，
即点H是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
42．（1）；（2）；（3）存在，n=1或n=
【解析】
（1）通过待定系数法求解函数解析式即可；
（2）作DF⊥x轴于点F，交BC于点E，根据求得关于的解析式，根据二次函数的性质求解即可；
（3）过点P作PB的垂线，交抛物线于点和，作轴于点M，轴于点N，利用全等三角形的性质求解即可．
解：(1)设函数关系式为
由题意，得A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)
∴
把C(0，3)代入得，
∴
(2)作DF⊥x轴于点F，交BC于点E

设直线BC关系式为y=kx＋b，
代入(3，0)，(0，3)得k=－1，b=3，
∴y=－x＋3
∵点D的横坐标为m，则DF=，EF=－m＋3
∴DE=

∵，∴S的最大值是
(3)过点P作PB的垂线，交抛物线于点和，作轴于点M，轴于点N

∴
∵，，
∴
又∵，
∴
∴，，∴
代入抛物线，得
解得，(舍去)
同理，，∴(－n，n－3)
代入抛物线，得
解得，(舍去)
综上，存在n 的值，n=1或n=
此题考查了二次函数与几何的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数以及全等三角形的判定与性质．
43．（1）；（2）当时，取得的最大值，最大值为；（3）或
【解析】
（1）将点C（0，）代入抛物线解析式直接求解即可；
（2）先求出A点坐标，以及直线AC的解析式，再过P点作PQ⊥x轴，交AC于Q点，通过设P、Q两点的坐标，建立出关于的二次函数表达式，然后结合二次函数的性质求出其最值，并求出此时对应的P点坐标即可；
（3）先根据题意画出基本图像G，然后结合平移的性质确定B点的运动轨迹，以及其直线解析式，根据题目要求和平移的性质可以确定点B平移至恰好在PC上时，以及图象G与直线AC的交点R，经过平移至C点时，满足要求，应注意，当A点平移后经过C点时，此时也可满足图象M与PC仅有一个交点，即为C点，此情况应单独求解．
解：（1）将点C（0，）代入抛物线解析式得：
，解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴令，解得：，，
∴A、B坐标分别为：，，
设直线AC的解析式为：，
将和代入得：
，解得：，
∴直线AC的解析式为：，
如图所示，过P点作PQ⊥x轴，交AC于Q点，
∵P点在位于直线AC上方的抛物线上，
∴设，则，其中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，当时，取得的最大值，最大值为，
此时，将代入抛物线解析式得：，
∴当时，取得的最大值，最大值为；

（3）如图所示，抛物线yx2+mx+m在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．
由（1）可知，原抛物线顶点坐标为，
∴沿x轴向下翻折后，图象G的顶点坐标为，图象G的解析式为：；
∵图象G沿着直线AC平移，
∴作直线BS∥AC，交PC于S点，则随着平移过程，点B在直线BS上运动，
分如下情况讨论：
①当图象G沿直线AC平移至B点恰好经过S点时，如图中M1所示，
此时，平移后的图象M恰好与线段PC有一个交点，即为S点，
由（2）知，，以及直线AC的解析式为，
∴设直线BS的解析式为：，
将代入得：，
∴直线BS的解析式为：；
设直线PC的解析式为：，
将，代入得：
，解得：，
∴直线PC的解析式为：；
联立，解得：，
即：S点的坐标为，
∴此时点平移至，等同于向左平移个单位，向上平移个单位，
即：当平移后的图象M与线段PC恰好仅有一个交点时，可由原图像G向左平移个单位，向上平移个单位，
∵原图像G的顶点坐标为：，
∴平移后图象M1的顶点的横坐标；
②当图象G沿直线AC平移至恰好经过C点时，如图中M2所示，
设图象G与直线AC的交点为R，
联立，解得：或，
∴点R的坐标为：，
由平移至，等同于向右平移2个单位，向下平移1个单位，
∴当平移后的图象M与线段PC恰好仅有一个交点时，可由原图像G向右平移2个单位，向下平移1各单位，
∵原图像G的顶点坐标为：，
∴平移后图象M2的顶点的横坐标；
∴当图象G在M1和M2之间平移时，均能满足与线段PC有且仅有一个交点，
此时，图象M的顶点横坐标n的取值范围为：；
③当图象G沿直线AC平移至A点恰好经过C点时，如图中M3所示，
此时，由平移至，等同于向右平移5个单位，向下平移个单位，
即：原图像G向右平移5个单位，向下平移个单位，得到图象M3，
∵原图像G的顶点坐标为：，
∴平移后图象M3的顶点的横坐标；
综上所述，当新的图象M与线段PC只有一个交点时，图象M的顶点横坐标n的取值范围为：或．

本题考查二次函数综合问题，包括图象的翻折变换和平移变换等，掌握二次函数的基本性质，翻折和平移变换的性质，以及准确分类讨论是解题关键．
44．(1)y＝x2+2x﹣3；
(2)（﹣，）
(3)（-1，2）或（-1，﹣4）或（-1，）或（-1，）
【解析】
（1）把点A，B代入y＝ax2+bx﹣3即可；
（2）设P（x，x2+2x﹣3），求出直线AB的解析，用含x的代数式表示出点E坐标，即可用含x的代数式表示出PE的长度，由函数的思想可求出点P的横坐标，进一步求出其纵坐标；
（3）设点Q（-1，a），然后分类讨论利用勾股定理列出关于a的方程求解．
(1)
解：把A（﹣3，0）和C（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
得，，
解得，，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3；
(2)
解：设P（x，x2+2x﹣3），直线AB的解析式为y＝kx+b，
由抛物线解析式y＝x2+2x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴B（0，﹣3），
把A（﹣3，0）和B（0，﹣3）代入y＝kx+b，
得，，
解得，，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣3，
∵PE⊥x轴，
∴E（x，﹣x﹣3），
∵P在直线AB下方，
∴PE＝﹣x﹣3﹣（ x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+）2+，
当x＝﹣时，y＝x2+2x﹣3＝，
∴当PE最大时，P点坐标为（﹣，）；
(3)
存在，理由如下，
∵x＝﹣＝-1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝-1，
设Q（-1，a），
∵B（0，-3），A（-3，0），
①当∠QAB＝90°时，AQ2+AB2＝BQ2，
∴22+a2+32+32＝12+（3+a）2，
解得：a＝2，
∴Q1（-1，2），
②当∠QBA＝90°时，BQ2+AB2＝AQ2，
∴12+（3+a）2+32+32＝22+a2，
解得：a＝﹣4，
∴Q2（-1，﹣4），
③当∠AQB＝90°时，BQ2+AQ2＝AB2，
∴12+（3+a）2+22+a2＝32+32，
解得：a1＝或a1＝，
∴Q3（-1，），Q4（-1，），
综上所述：点Q的坐标是（-1，2）或（-1，﹣4）或（-1，）或（-1，）．
本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理，解题的关键是用含有未知数的代数式表达点的坐标和线段的长度．
45．（1），，；（2）面积的最大值是，；（3）点的坐标为或
【解析】
（1）抛物线，当时，，当时，则，解方程求出的值，即可求出、、三点的坐标；
（2）作轴于点，交于点，先求出直线的解析式，设，则，用含的代数式表示的长及的面积，再根据二次函数的性质求出面积的最大值及此时点的坐标；
（3）分两种情况讨论，一是点在轴的下方，二是点在轴的上方，分别求出直线的解析式且与抛物线的解析式组成方程组，解方程组求出点的坐标即可．
（1）抛物线，当时，，
当时，则，
解得：，，
，，；
（2）

如图1，作轴于点，交于点，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
，
，
，
∴当时，的面积最大为，，
；
（3）

，，
，
如图2，点在轴的下方，且，
设交轴于点，
，
，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
，
解得：或，
；

如图3，点在轴的上方，且，
设交轴于点，
，
，
，
，
，
∴直线的解析式为，
，
解得：或，
，
综上所述，点的坐标为或．
本题是二次函数综合问题，考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数于一次函数交点问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
46．(1)
(2)
(3)
(4)存在，(﹣，)或(﹣，)或(，)
【解析】
（1）根据一次函数得到，代入，于是得到结论；
（2）关于对称，当为与对称轴的交点时，CP+BP的最小值为：；
（3）令，解方程得到，，求得，过作轴于，过作轴交于于，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（4）根据为边和为对角线，由平行四边形的性质即可得到点的坐标．
(1)
解：令，得，
令，得，
，，
抛物线经过．两点，
，
解得：，
；
(2)
解：关于对称，
当为与对称轴的交点时，
CP+BP的最小值为：，
由（1）得，，
，
CP+BP的最小值为：，
故答案是：；
(3)
解：如图1，过作轴交于，过作轴交于，

令，
解得：，，
，
，
，
，
设，
，
，
，
；
当时，的最大值是；
(4)
解：，
对称轴为直线，
设，，，
①若四边形为平行四边形，
则，
，
解得：，，
的坐标为，；
②若四边形为平行四边形，
则，
，
解得：，，
的坐标为，；
③若四边形为平行四边形，
则，
，
解得：，，
的坐标为，；
综上，的坐标为，或，或，．
本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想，解题的关键是以为边或对角线分类讨论．
47．（1）；（2）当点P运动至坐标为或时，恰好使△PBC的面积等于△ABC的面积的两倍； （3）或
【解析】
（1）如图，过作于 先证明 可得 再代入二次函数y＝x2+bx﹣2中，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求解 过作轴交于 再求解直线为： 设 则 再利用 再解方程即可；
（3）分两种情况讨论：如图，作关于的对称点 连接 作的角平分线 交于 交抛物线于 由 则再求解的解析式，再求解与抛物线的交点坐标即可，如图，同理可得：当平分时，射线与抛物线的交点满足 按同样的方法可得答案.
解：（1）如图，过作于
则 而



而


二次函数y＝x2+bx﹣2的图象经过C点，
解得：
二次函数的解析式为：
（2）


过作轴交于

设直线为
解得：
所以直线为：
设 则


整理得：
解得：
当时，
当时，
或
所以当点P运动至坐标为或时，恰好使△PBC的面积等于△ABC的面积的两倍．
（3）如图，作关于的对称点 连接 作的角平分线 交于 交抛物线于
由 则


平分

则

同理可得直线的解析式为：

解得：或（不合题意，舍去）

如图，同理可得：当平分时，射线与抛物线的交点满足

同理：
直线为：

解得：或（不合题意舍去）

本题考查的是利用待定系数法求解一次函数，二次函数关系式，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键.
48．(1)
(2)①，②
(3)的值为1或
【解析】
（1）把代入解析式即可求出；
（2）①已得由点坐标可求得，再把点坐标代入可求得与的关系式，可求得答案；②用可表示出抛物线解析式，令可得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系可用表示出2的值，再利用函数性质可求得其取得最小值时的值，可求得抛物线解析式；
（3）可用表示出抛物线解析式，可求得其对称轴为，由题意可得出当、或时，抛物线上的点可能离轴最远，可分别求得其函数值，得到关于的方程，可求得的值．
(1)
解：抛物线的开口向上，且经过点，
，
(2)
解：①，
抛物线经过点，
，
，
故答案为：；
②由①可得抛物线解析式为，
令可得，
△，
方程有两个不相等的实数根，设为、，
，，
，
当时，有最小值．
抛物线解析式为；
(3)
解：当时，抛物线解析式为，
抛物线对称轴为，
只有当、或时，抛物线上的点才有可能离轴最远，
当时，，当时，，当时，，
①当时，或，且顶点不在范围内，满足条件；
②当时，，对称轴为直线，不在范围内，故不符合题意，
综上可知：的值为1或．
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数的性质、一元二次方程根与系数的关系、二次函数的最值、分类讨论思想等知识．在（1）中注意利用待定系数法的应用，在（2）②中用表示出是解题的关键，注意一元二次方程根与系数的关系的应用，在（3）中确定出抛物线上离轴距离可能最远的点是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
49．(1)M（2，-9m），；
(2)见解析；
(3)存在，见解析．
【解析】
（1）将解析式配方成顶点式即可解题；
（2）分别解出△BCM与△ABC的面积，再证明其相等；
（3）用含m的代数式分别表示BC2，CM2，BM2，再根据△BCM为直角三角形，分三种情况讨论：当时，或当时，或当时，结合勾股定理解题．
(1)
解：y＝mx2﹣4mx﹣5m
＝m（x2﹣4x﹣5）
＝m（x2﹣4x+4-4﹣5）
＝m（x-2）2﹣9 m
抛物线顶点M的坐标（2，-9m）,
令y=0, m（x-2）2﹣9 m=0
解得（x-2）2=9



(2)
令x=0, y=m（0-2）2﹣9 m=-5m


过点M作EF轴于点E，过点B作于点F，如图，








(3)
存在使△BCM为直角三角形的抛物线，
过点M作轴于点D，过点C作于点N，

在中，


在中，
在中，
①若△BCM为直角三角形,且时，

解得


存在抛物线使得△BCM为直角三角形；
②若△BCM为直角三角形且时，




存在抛物线使得△BCM为直角三角形；
③
以为直角的直角三角形不存在，
综上所述，存在抛物线和，使得△BCM为直角三角形．
本题考查二次函数的顶点式、二次函数与一元二次方程、勾股定理、含参数m的代数式表示各边长，运用分类思想是解题关键．
50．(1)见解析；
(2)①y=，点B（4，0）；②△PCD的面积的最大值为1，点P（2，4）．
【解析】
（1）判断方程的判别式大于零即可；
（2）①把A（-2，0）代入解析式，确定a值即可求得抛物线的解析式，令y=0，求得对应一元二次方程的根即可确定点B的坐标；
②设点P的坐标为（x，），确定直线BC的解析式y=kx+b，确定M的坐标（x，kx+b），求得PM=-（kx+b），从而利用C，D的坐标表示构造新的二次函数，利用配方法计算最值即可．
(1)
∵，
∴△=
=＞0，
∴无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)
①把A（-2，0）代入解析式，
得，
解得a=1，
∴抛物线的解析式为，
令y=0，得，
解得x=-2（A点的横坐标）或x=4，
∴点B（4，0）；
②设直线BC的解析式y=kx+b，
根据题意，得，
解得，

∴直线BC的解析式为y=-x+4；
∵抛物线的解析式为，直线BC的解析式为y=-x+4；
∴设点P的坐标为（x，），则M（x，），点N（x，0），
∴PM=-（）=，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点D（1，3），
∵
=
=
=，
∴当x=2时，y有最大值1，此时=4，
∴△PCD的面积的最大值为1，此时点P（2，4）．
本题考查了待定系数法确定二次函数，一次函数的解析式，一元二次方程根的判别式，抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，分割法求图形的面积，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键．
51．（1）2；（2）（3）或
【解析】
（1）将代入解析式，进而根据顶点公式求得最大值；
（2）由于二次函数与轴必有一个交点，且为，分类讨论，令，①与轴1个交点，即一元二次方程根的判别式等于0，与轴1个交点，且不为，②若与轴有两个交点，则必过原点，进而即可求得答案；
（3）根据题意分三种情况讨论，进而解一元二次方程即可，①，②，
解：（1）将代入解析式y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a，
即，

当时，该二次函数的最大值为
（2）①令，

解得
即该抛物线为与坐标轴的交点为原点，只有1个交点，不符合题意
②则该抛物线与轴有两个交点，且有一个必过原点
即，解得或（舍）
综上所述，
（3）y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a的对称轴为
①若，即，抛物线的开口向下，当时，
该二次函数在﹣≤x≤有最大值﹣3，

解得
，
舍去
②若，即
当﹣≤x≤时，随的增大而减小，当时，取得最大值为

解得


③若，即
当﹣≤x≤时，随的增大而增大，当时，取得最大值为

解得


综上所述或
本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴交点问题，二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
52．(1)或
(2)见解析
(3)①；②
【解析】
（1）把代入抛物线及直线解析式，并联立即可求解；
（2）联立方程组求解即可求证；
（3）①由（2）可直接得到；②先求出抛物线，再联立抛物线和直线，求出交点，再进行分类讨论即可．
(1)
解：当时，抛物线，直线，
令，解得或，
抛物线与直线交点的坐标为或；
(2)
证明：令，整理得，
即，解得或，
当时，；当时，；
抛物线与直线的交点分别为和，，
必有一个交点在轴上；
(3)
①证明：由（2）可知，抛物线一定过点；
②解：抛物线，
则抛物线与轴的交点为，，，
抛物线与抛物线关于原点对称，
抛物线过点，，，
抛物线的解析式为：，
令，整理得，
或，
即四个交点分别为：，，，，，，
当时，即时，0为最小值，2为最大值，
，不等式无解，这种情况不成立；
当时，则，
则，解得，不成立；
当时，得，
此时，解得得，
．
即抛物线对称轴的取值范围为：．
本题主要考查二次函数与一次函数交点问题，第（3）关键是求出四个交点，由“点的横坐标既不是最大值又不是最小值”，对四个点进行分类讨论．
53．(1)
(2)
(3)
【解析】
（1）令，即可求点出的坐标；
（2）求出，利用三角形面积公式再求出面积即可；
（3）平移后的抛物线解析式为，再求直线的解析式为，由题意，直线过抛物线顶点，当把抛物线向右平移时，顶点的纵坐标不变，还是，把代入，得，解得，可得到，联立 ，当，此时与有两个交点，即可求的取值范围．
(1)
解：令，则

(2)
解：
          
，



(3)
解：

由题意将抛物线向右平移个单位

设直线的解析式为



当把抛物线向右平移时，顶点的纵坐标不变，还是
把代入，得

解得


联立



当时，抛物线与直线总有两个公共点
即   

综上所述，当直线与总有两个公共点时，
本题考查了二次函数的图像及性质，熟练掌握是解题的关键．
54．(1)直线x=-1
(2)y=x2+2x-3
(3)不存在
【解析】
（1）令y=0，则x2+mx+n=0，则x1+x2=-m，再由OA-OB=-（x1+x2）=m=2，即可求m的值；
（2）过点C作CE⊥y轴交于点E，求出D（0，n），C（-1，n-1），则可求∠CDE=∠ADO=45°，得到A（n，0），再将A点代入解析式可得n=-3，即可求y=x2+2x-3；
（3）由题意可得y=x2+mx+n=（x+p）2-p2-|p|，则C（-p，-p2-|p|），所以当p=0时，-p2-|p|有最大值0，此时抛物线为y=x2，抛物线与x轴只有一个交点，不符合题意，故点C不存在最高点或最低点．
(1)
解：令y=0，则x2+mx+n=0，
∴x1+x2=-m，
∵OA-OB=2，
∴-（x1+x2）=m=2，
∴y=x2+2x+n=（x+1）2+-1+n，
∴对称轴为直线x=-1；
(2)
过点C作CE⊥y轴交于点E，

∵y=x2+2x+n，
∴D（0，n），C（-1，n-1），
∴DE=n-n+1=1，
∴∠CDE=45°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADO=45°，
∴AO=DO，
∴A（n，0），
∴n2+2n+n=0，
∴n=0（舍）或n=-3，
∴y=x2+2x-3；
(3)
不存在，理由如下：
∵OA-OB=2p，
∴m=2p，
∵点D的坐标为（0，-|p|），
∴n=-|p|，
∴y=x2+mx+n=x2+2px-|p|=（x+p）2-p2-|p|，
∴C（-p，-p2-|p|），
∵|p|≥0，
∴-p2-|p|≤0，
∴当p=0时，-p2-|p|有最大值0，
此时抛物线为y=x2，抛物线与x轴只有一个交点，不符合题意，
∴点C不存在最高点或最低点．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
55．(1)A（4，0），C（0，﹣3），D（﹣2，0）
(2)点M的坐标为（2，﹣3）或（0，﹣3）或（1﹣，3）或（1+）
(3)存在，点P的坐标为（3，﹣）或（﹣3，）或（5，）
【解析】
（1）令y=0，解方程x2﹣x﹣3＝0可得到点D和点A坐标；令x=0，求出y=-3，可确定C点坐标；
（2）根据抛物线的对称性，可知在在x轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；再根据三角形的等面积法，在x轴上方，存在两个点，这两个点分别到x轴的距离等于点C到x轴的距离；
（3）分别以AC为对角线或平行四边形的一边，进行讨论，即可得出P点坐标．
(1)
解：（1）y＝x2﹣x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
当y＝0时，则x2﹣x﹣3＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝4，
∴D（﹣2，0），A（4，0）；
∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣1）2﹣，
∴抛物线的顶点B的坐标为（1，﹣），
∴A（4，0），B（1，﹣），C（0，﹣3），D（﹣2，0）．
(2)
（2）如图1，

设M（x，x2﹣x﹣3），
∵△MAD与△CAD有相同的底边AD，且△MAD的面积与△CAD的面积相等，
∴点M到x轴的距离等于点C到x轴的距离，
∴|x2﹣x﹣3|＝3，
解得x1＝2，x2＝0，x3＝1﹣，x4＝1+，
∴M1（2，﹣3），M2（0，﹣3），M3（1﹣，3），M4（1+），
∴点M的坐标为（2，﹣3）或（0，﹣3）或（1﹣，3）或（1+）．
(3)
（3）存在，如图2，

点P的横坐标为3，作AF⊥x轴，作PF⊥AF于点F，
∴P（3，﹣），F（4，﹣），
由（1）得，抛物线的对称轴为直线x＝1，
在OC上截取CE＝AF，过点E作直线x＝1的垂线，垂足为点Q，连结并延长CQ交x轴于点G，作四边形APCQ，
∵∠CEQ＝∠F＝90°，QE＝PF＝1，
∴△CEQ≌△AFP（SAS），
∴CQ＝AP，∠CQE＝∠APF，
∵EQ∥OA，PF∥OA，
∴∠CQE＝∠CGO，∠APF＝∠PAO，
∴∠CGO＝∠PAO，
∴CQ∥AP，
∴四边形APCQ是平行四边形；
如图3，

点P的横坐标为﹣3，作AK⊥x轴，作PK⊥AK于点K，
∴P（﹣3，），K（﹣3，﹣3），
设直线x＝1交x轴于点L，在x轴上方的直线x＝1上截取LQ＝KP，作四边形ACPQ，CP交x轴于点H，
∵L（1，0），
∴AL＝CK＝3，
∵∠ALQ＝∠CKP＝90°，
∴△ALQ≌△CKP（SAS），
∴AQ＝CP，∠QAL＝∠PCK，
∵CK∥x轴，
∴∠PCK＝∠AHC，
∴∠QAL＝∠AHC，
∴AQ∥CP，
∴四边形ACPQ是平行四边形；
如图4，

点P的横坐标为，作PN⊥x轴于点N，作PJ⊥y轴于点J，
∴P（5，），N（5，0），
在OC上截取CR＝PN，过点R作直线x＝1的垂线，垂足为点Q，连结并延长CQ交PJ于点I，作四边形PACQ，
∵∠CRQ＝∠PNA＝90°，QR＝AN＝1，
∴△CQR≌△PAN（SAS），
∴CQ＝PA，∠CQR＝∠PAN，
∵PJ∥QR∥x轴，
∴∠CQR＝∠CIJ，∠PAN＝∠APJ，
∴∠CIJ＝∠APJ，
∴CQ∥PA，
∴四边形PACQ是平行四边形，
综上所述，点P的坐标为（3，﹣）或（﹣3，）或（5，）．
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线与坐标轴的交点坐标求法，三角形的面积，平行四边形的判定，综合性较强，有一定难度，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
56．(1)
(2)P点坐标为P1（1，0），P2（2，－1）
【解析】
（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；
（2）由于PD∥y轴，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考虑两种情况：
①以点P为直角顶点，此时AP⊥DP，此时P点位于x轴上（即与B点重合），由此可求出P点的坐标；
②以点A为直角顶点，易知OA=OC，则∠OAC=45°，所以OA平分∠CAP，那么此时D、P关于x轴对称，可求出直线AC的解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出P点的坐标；
(1)
解：∵抛物线的顶点为Q（2，－1）
∴设
将C（0，3）代入上式，得
解得
∴，
即
(2)
解：分两种情况：
①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合（如图）

令=0，   得
解之得，   
∵点A在点B的右边，   
∴B（1，0）， A（3，0）
∴P1（1，0）     
②解:当点A为△APD2的直角顶点时（如图）

∵OA=OC，   ∠AOC=，
∴∠OAD2=
当∠D2AP2=时， ∠OAP2=，
∴AO平分∠D2AP2
又∵P2D2∥轴，
∴P2D2⊥AO，   
∴P2、D2关于轴对称
设直线AC的函数关系式为
将A（3，0）， C（0，3）代入上式得
，       
∴
∴
∵D2在上， P2在上，
∴设D2（，）， P2（，）
∴（）+（）=0
即，     
∴，   （舍）
∴当=2时， ==－1
∴P2的坐标为P2（2，－1）（即为抛物线顶点）
∴P点坐标为P1（1，0），   P2（2，－1）
此题主要考查了二次函数解析式的确定、直角三角形的判定，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较高，难度较大．
57．(1)12
(2)，
(3)
【解析】
（1）根据直角三角形两锐角互余可得，再由角所对的直角边等于斜边的一半求得AB；
（2）由四边形CDEF是矩形可得，DE//BC，EF=CD，可得，再由角所对的直角边等于斜边的一半求得DE，再根据勾股定理可求出AD，ACVCSK;
（3）根据矩形的面积公式列出函数关系式，由函数的性质可得结论．
(1)
∵四边形CDEF为矩形，
∴
在Rt△ABC中，∵ ，BC=6，
∴∠A=90°-30°，
∴；
(2)
∵四边形CDEF为矩形，
∴，DE//BC，EF=CD，
∴，，
∵∠A=30°，
∴，
又，
∴，
在Rt中，，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；；
(3)
，
∴当时，矩形CDEF的面积取得最大值，为．
本题考查了矩形的性质，勾股定理以及二次函数的性质，正确求出矩形的边长是解答本题的关键．
58．(1)点A的坐标为，点B的坐标为点，点C的坐标为
(2)点M坐标为
(3)P点的坐标为或或或
【解析】
（1）令，求解可得的坐标，令，可求得的坐标；
（2）如图，过点C作对称轴l，与抛物线交于点E，连接AE交l于点M，由对称的性质可知当且仅当E、M、A三点共线时，△MAC的周长最小，待定系数法求直线AE的解析式，令，得，可得的坐标；
（3）设P点的坐标为，由，，可得，，，当△PBC是等腰三角形时，分三种情况求解：①当时，由题意可得，计算求出满足题意的解即可；②当时，由题意可得，计算求出满足题意的解即可；③当时，由题意可得，计算求出满足题意的解即可．
(1)
解：令
解得，
∴A ， B
令，得，
∴C
∴点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为．
(2)
解：如图，过点C作对称轴l，与抛物线交于点E，连接AE交l于点M


∵点C与点E关于直线l对称，点M在对称轴l上
∴，
∴△MAC的周长
∴当且仅当E、M、A三点共线时，△MAC的周长最小
设直线AE的解析式为，
将坐标代入得
解得
∴直线AE的解析式为
令，得
∴点M坐标为．
(3)
解：设P点的坐标为
∵，
∴，，
当△PBC是等腰三角形时，分三种情况求解：
①当时，由题意可得
解得
∴P的坐标为；
②当时，由题意可得
解得或
∴P的坐标为或；
③当时，由题意可得
解得或（不合题意，舍去）
∴P的坐标为；
综上所述，P点的坐标为 或 或 或．
本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，对称的性质，二次函数与周长的综合，二次函数与特殊三角形的综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
59．（1）这个二次函数的表达式是y=x2﹣4x+3；（2）S△BCP最大=；（3）当△BMN是等腰三角形时，m的值为，﹣，1，2．
【解析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得
，
解得，
∴二次函数的表达式是y=x2-4x+3；
（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），
设BC的表达式为y=kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得
，
解这个方程组，得

直线BC的解析是为y=-x+3，
过点P作PE∥y轴
，
交直线BC于点E（t，-t+3），
PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，
∴S△BCP=S△BPE+SCPE=（-t2+3t）×3=-（t-）2+，
∵-＜0，
∴当t=时，S△BCP最大=.
（3）M（m，-m+3），N（m，m2-4m+3）
MN=m2-3m，BM=|m-3|，
当MN=BM时，①m2-3m=（m-3），解得m=，
②m2-3m=-（m-3），解得m=-
当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°，
m2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）
当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，
-（m2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍），
当△BMN是等腰三角形时，m的值为，-，1，2．
本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．
60．(1)y＝﹣x2﹣2x+3
(2)点P的坐标为
(3)存在，点P坐标为（﹣2，3）或（，）
【解析】
（1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式；
（2）先求出直线AB的解析式，再设出点P的坐标，然后求出点D的坐标，再列出PD的长度的表达式，确定PD取最大值时求出点P的坐标即可；
（3）先设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据抛物线的对称性表示出PE的长度，列出关于点P的横坐标的方程，求出点P的横坐标，即可确定点P的坐标．
(1)
解：∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
(2)
解：∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴A（0，3），
∴直线AB解析式为y＝x+3，
∵点P在线段AB上方抛物线上，
∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），
∴D（t，t+3），
∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝，
∵a＝﹣1＜0，
∴当时，DP的长最大，
此时，点P的坐标为（，）；
(3)
解：存在点P使△PDE为等腰直角三角形，
设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3），
∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
∵PE∥x轴交抛物线于点E，
∴E、P关于对称轴对称，
∴xE﹣（﹣1）＝（﹣1）﹣t，
∴xE＝﹣2﹣t，
∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|，
∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°，
∴PD＝PE，
①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t，
∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t，
解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2，
∴P（﹣2，3），
②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t，
∴﹣t2﹣3t＝2+2t，
解得：，（舍去）
∴P（，），
综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时，使△PDE为等腰直角三角形．
本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式以及牢记等腰直角三角形的性质，当遇到线段取最值的问题时，一般是先用含字母的式子表示出线段的长度，然后利用二次函数的知识解决即可．
61．(1)
(2)
(3)(2，3)或（，-3）
【解析】
（1）将，，代入，即可求解；
（2）过作轴于点，与交于点，设，则，则，当时，的最大值为；
（3）设，，分三种情况讨论：①当时，与是对角线，求出；②当时，与是对角线，求出；③当时，与是对角线，求出，或．
(1)
解：（1）将，，代入，
，
解得：，
；
(2)
（2）过作轴于点，与交于点，
，，，

当时，，
，
，
设，则，
，
，


，
当时，的最大值为；

(3)
（3）存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
，，，
设，，
，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，
①当时，
四边形是平行四边形，
与是对角线，则有，
，
将代入，
，
（舍去）或，
；
②当时，
四边形是平行四边形，
与是对角线，则有，
，
；
③当时，
四边形是平行四边形，
与是对角线，则有，
，
将代入，
，
，
，或；
综上所述：点坐标为或，或．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．