浙教版九年级上册1.2 二次函数的图象教学设计

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一、创设情景，引出课题

回顾思考：

一、正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是什么.

正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是一条经过原点的直线.

二、一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象又是什么？

一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象也是一条直线.

三、反比例函数    （k ≠ 0）其图象又是什么？

反比例函数  （k ≠ 0）其图象是双曲线.

二次函数y=ax²+ bx+c（a ≠ 0）其图象又是什么呢？

本节课来研究：二次函数y=ax2的图像

按下列步骤用描点法画二次函数y＝x2的图象：

1．完成自变量与函数的对应值表．

2．以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点．

3．用光滑曲线顺次连结各点．

回顾上述过程，总结在取对应值、描点等方面有哪些有用的经验和体会，

在同一坐标系中画二次函数y＝x2与y＝－x2的图像．

1、二次函数y＝x2的图像与y＝－x2的图像关于什么对称？

2、如果已知y＝ax2的图像，怎样更方便地得到

 y＝－ax2的图像？

思考

自议

 经历描点法画函数图象的过程．

学会观察、 归纳、概括函数图象的特征．

注意：(1)画图时图象应越过端点，表示向上或向下无限延伸；(2)作图时应注意在两个象限内画出的曲线是对称的；(3)顶点不能画成尖角形，而应圆滑．

讲授新课

二、提炼概念

 二次函数y=ax2的性质

 1、抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴.

 2、当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展；

      当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且向下无限伸展.

3、当a>0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；

在对称轴右侧，y随着x的增大而增大。当x=0时函数y的值最小.

当a<0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；

在对称轴的右侧，y随着x增大而减小，当x=0时，函数y的值最大.

三、典例精讲

例1、已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(-2,-3).

(1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式.

(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置.

解：（1）把点（-2，-3）的坐标代入y=ax2，得-3=a（-2）2，解得.

所以这个次函数的解析式是     .

（2）顶点为（0，0),对称轴为y轴.

因为a<0，这个二次函数图象的开口向下，顶点是图象上的最高点，图象在x轴的下方（除顶点外）.

 经历探索二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质的过程，体会数形结合思想．

(1)抛物线y＝ax2的顶点是原点(0，0)，对称轴是y轴，开口方向由a的符号决定，开口大小由|a|决定．

(2)|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线开口越大；|a|相等，抛物线开口等宽．

课堂检测

四、巩固训练

1.下列函数中，y随x增大而增大的是(　   　)

A．y＝－(x>0)　　　　B．y＝－x＋5

C．y＝－x     D．y＝x2(x<0)

A

2．在同一坐标系中①y＝x2，②y＝－2x2，③y＝4x2这三个函数图象开口最大的是______，最小的是______，开口向下的是______(用序号作答)．

解：∵|1|<|－2|<|4|，∴抛物线①的开口最大，抛物线③的开口最小，∵函数y＝－2x2中，二次项系数为－2<0，∴此函数图象开口向下．

3.（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是       ,对称轴是       ，在        侧，y随着x的增大而增大；在       侧，

y随着x的增大而减小，当x=        时，函数y的值最小，最小值是      ,抛物线y=2x2在x轴

的      方（除顶点外）。

答案：（0，0），y轴，对称轴的右，对称轴的左，0，0，上

（2）抛物线  在x轴

的      方（除顶点外），在对称轴的左侧，y随着x的        ；在对称轴的右侧，y随着x

的       ，当x=0时，函数y的值最大，最大值是        ，当x     0时，y<0.

答案：下，增大而增大，增大而减小，0，≠

4.函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3交于(1，b)，求：

(1)a和b的值；

(2)求抛物线y＝ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴；

(3)求抛物线与直线y＝－2的两交点及顶点所构成的三角形面积．

解：(1)将x＝1，y＝b代入y＝2x－3中，得b＝－1.

∴交点坐标是(1，－1)，再将x＝1，y＝－1代入y＝ax2，解得a＝－1.∴a＝－1，b＝－1.

(2)抛物线的解析式为y＝－x2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴．

(3)设直线y＝－2与y＝－x2相交于A，B两点(如图所示)．

由解得A(－，－2)，B(，－2)．

∴|AB|＝－(－)＝2，|OC|＝2.

∴SΔAOB＝×2×2＝2.

课堂小结

1．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象的画法

列表：为了便于计算和描点，一般以O为中心选取自变量x的整数值，y也相应地是整数(至少为五组数)；

描点：把自变量x与函数y的每组对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系内描出对应的点；

连线：用平滑的曲线依次(按自变量由小到大的顺序)连结各点．

2．二次函数y＝ax2(a≠0)型图象的特征

图象：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条抛物线．

对称轴：它关于_________对称．

顶点：坐标原点．

开口方向：当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的_________点；当a<0时，抛物线的开口_________，顶点是抛物线上的_________点．

y轴  最低  向下  最高