陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题7三角形解析版

陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题7 三角形

一、单选题

1．如图，点D、E分别在线段 、 上，连接 、 .若 ， ， ，则 的大小为（　　） 

A．60° B．70° C．75° D．85°

【答案】B

【知识点】三角形内角和定理

【解析】【解答】解：∵ ， ，

∴在Rt△BEC中，由三角形内角和可得 ，

∵ ，

∴ ；

故答案为：B.

【分析】在Rt△BEC中，由三角形内角和可求得∠BEC的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可求解.

2．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　） 

A． B． C． D．

【答案】D

【知识点】三角形的面积；勾股定理

【解析】【解答】解：由勾股定理得：AC＝ ＝ ，

∵S△ABC＝3×3﹣ ＝ ，

∴ ，

∴ ，

∴BD＝ ，

故答案为：D.

【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求 的面积，由三角形的面积法求高即可.

3．如图， 、 、 、 是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线.若 ， ，则线段 的长度为（　　） 

A．6 cm B．7 cm C． D．8cm

【答案】D

【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，

∵， ，

∴ ，

∴ ，

在 和 中；

，

∴ ，

∴BF=CG，

∵ ，

∴ 均为等腰三角形，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

故答案为：D.

【分析】分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，由同角的余角相等可得∠FBC=∠GCD，根据角角边可证△BFC≌△CGD，由全等三角形的对应边相等可得BF=CG，结合已知可得三角形ABC和三角形CDE都是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一可得FC=AC，用勾股定理可求得BF的值，于是CE=2CG=2BF可求解.

4．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E。若DE=1，则BC的长为（　　） 

A．2+  B． C． D．3

【答案】A

【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形

【解析】【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，

∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴DF=DE=1，

在Rt△BED中，∠B=30°，

∴BD=2DE=2，

在Rt△CDF中，∠C=45°，

∴△CDF为等腰直角三角形，

∴CF=DF=1，

∴CD= = ，

∴BC=BD+CD= ，

故答案为：A。

【分析】如图，过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DF=DE=1，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出BD=2DE=2，根据等腰直角三角形的性质得出CF=DF=1，进而根据勾股定理算出CD的长，最后由BC=BD+CD算出答案。

5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：3：4，则∠B的度数为（　　）

A．120° B．80° C．60° D．40°

【答案】C

【知识点】三角形内角和定理

【解析】【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，

∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴2x+3x+4x=180°，

解得：x=20°，

∴∠B的度数为：60°．

故答案为：C．

【分析】因三角形的内角之和为180°，所以∠A+∠B+∠C=180°；另根据题意可知∠A：∠B：∠C=2：3：4，故可设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，将2x、3x和4x分别代入∠A+∠B+∠C=180°，即可求得x的值，从而可求得∠B的度数.

6．如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（　　）

A．30° B．15° C．45° D．25°

【答案】B

【知识点】等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】解：∵∠DBC=90°，E为DC中点，

∴BE=CE= CD，

∵∠BCD=60°，

∴∠CBE=60°，∴∠DBF=30°，

∵△ABD是等腰直角三角形，

∴∠ABD=45°，

∴∠ABF=75°，

∴∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°，

故答案为：B．

【分析】因为E为DC中点，根据直角三角形的性质可得BE=CE，又因为∠BCD=60°，根据等腰三角形性质可求出∠CBE=60°，进而求得∠DBF=30°，再根据△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，可求得∠ABD=45°，即∠ABF=∠DBF+∠ABD=75°，最后根据三角形内角和即可求出∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°.

7．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（　　）

A．3  B．6 C．3  D．

【答案】A

【知识点】勾股定理

【解析】【解答】∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，

∴AB= =3 ，∠CAB=45°，

∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，

∴∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=3 ，

∴∠CAB′=90°，

∴B′C= =3 ，

故答案为：A．

【分析】由已知条件根据勾股定理得出AB=3 ，∠CAB=45°，再根据全等三角形的性质得出∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=3 ，∠CAB′=90°，再由勾股定理求出B′C=3 .

8．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】B

【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，

∴AC= = =10，

∵DE是△ABC的中位线，

∴DF∥BM，DE= BC=3，

∴∠EFC=∠FCM，

∵∠FCE=∠FCM，

∴∠EFC=∠ECF，

∴EC=EF= AC=5，

∴DF=DE+EF=3+5=8．

故选B．

【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF= AC，由此即可解决问题．本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，掌握等腰三角形的判定和性质，属于中考常考题型．

二、作图题

9．如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D．请用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】解：如图，点P即为所求．

【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线

【解析】【分析】如图，作∠BDP的角平分线交BC于点P：以点D为圆心，任意长为半径画弧分别交BD和DC于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点之间距离长度的为半径画弧作出DP.

10．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高。请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆。（保留作图痕迹，不写做法）

【答案】解：如图所示，⊙O即为△ABC的外接圆. 

【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理的应用；作图-线段垂直平分线

【解析】【分析】根据垂径定理可知，该三角形的外接圆的圆心一定在任意两边的垂直平分线上，根据等腰三角形底边上的三线合一得出AD就是BC的垂直平分线，故只需要利用尺规作图作出AC的垂直平分线，该线与AD的交点O就是△ABC的外接圆的圆心，然后以点O为圆心，OA为半径作圆，该圆就是所求的圆。

三、解答题

11．如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A.求证：DE=BC.

【答案】证明：∵DE∥AB，

∴∠EDC=∠B.

又∵CD=AB，∠DCE=∠A，

∴△CDE≌△ABC(ASA).

∴DE=BC.

【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）

【解析】【分析】由平行线的性质可得∠EDC=∠B，由已知条件知CD=AB，∠DCE=∠A，证明△CDE≌△ABC，据此可得结论.

12．如图，点A，E，F，B在直线l上，AE=BF，AC//BD，且AC=BD，求证：CF=DE

【答案】解：∵AE＝BF， 

∴AF＝BE，

∵AC∥BD，

∴∠CAF＝∠DBE，

又AC＝BD，

∴△ACF≌△BDE(SAS)，

∴CF＝DE.

【知识点】全等三角形的判定与性质

【解析】【分析】根据等式的性质，由 AE＝BF 得出 AF＝BE， 根据二直线平行，内错角相等得出 ∠CAF＝∠DBE， 故可利用SAS判断出 △ACF≌△BDE ，根据全等三角形对应边相等得出 CF＝DE 。

13．如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交与点G、H，若AB＝CD，求证：AG＝DH．

【答案】解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∵CE∥BF，∴∠AHB＝∠DGC，在∆ABH和∆DCG中， ，∴∆ABH≌∆DCG(AAS)，∴AH＝DG，∵AH＝AG＋GH，DG＝DH＋GH，∴AG＝HD

【知识点】全等三角形的判定与性质

【解析】【分析】根据二直线平行，内错角相等得出∠A＝∠D，∠AHB＝∠DGC，然后由AAS判断出∆ABH≌∆DCG，根据全等三角形对应边相等得出AH＝DG，再根据等式的性质，即可得出答案。

14．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：△ADE≌△CBF．

【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=CB，AD∥BC，

∴∠ADE=∠CBF，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AED=∠CFB=90°，

在△ADE和△CBF中， ，

∴△ADE≌△CBF（AAS）．

【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质

【解析】【分析】要证全等可分析两个三角形已经具备了一组直角对应相等，须再由平行四边形的性质推出一组对边和一组内错角对应相等，即可证出全等.

15．如图， ， ，点 在 上，且 .求证： . 

【答案】证明：∵ ， 

∴ .

∵ ， ，

∴ .

∴

【知识点】三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】由两直线平行内错角相等可得∠EBD=∠C，结合已知用边角边可证△EDB≌△ABC，根据全等三角形的对应角相等可求解.

16．如图，在▱ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF=DE，连接AF、CE．

求证：AF∥CE．

【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠1=∠2，

∵BF=DE，

∴BF+BD=DE+BD，

即DF=BE，

在△ADF和△CBE中，

，

∴△ADF≌△CBE（SAS），

∴∠AFD=∠CEB，

∴AF∥CE．

【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质

【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出∠1=∠2，DF=BE，由SAS证明△ADF≌△CBE，得出对应角相等，再由平行线的判定即可得出结论．本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

17．

（1）【问题提出】
如图1，是等边的中线，点P在的延长线上，且，则的度数为　     　.

（2）【问题探究】
如图2，在中，.过点A作，且，过点P作直线，分别交于点O、E，求四边形的面积.

（3）【问题解决】
如图3，现有一块型板材，为钝角，.工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，并要求.工人师傅在这块板材上的作法如下：

①以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D，连接；

②作的垂直平分线l，与于点E；

③以点A为圆心，以长为半径画弧，交直线l于点P，连接，得.

请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的结论.

【答案】（1）75°

（2）解：如图1，连接.

图1

∵，

∴四边形是菱形.

∴.

∵，

∴.

∵，

∴.

∴.

∵，

∴.

∴.

∴.

（3）解：符合要求.

由作法，知.

∵，

∴.

如图2，以为边，作正方形，连接.

图2

∴.

∵l是的垂直平分线，

∴l是的垂直平分线.

∴.

∴为等边三角形.

∴，

∴，

∴.

∴裁得的型部件符合要求.

【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义；三角形的综合

【解析】【解答】解：（1），

，

，

，

解得：，

，

.

故答案为：；

【分析】（1）以得∠ACP=∠APC，结合内角和定理得2(∠ACD+∠PCD)+∠CAP=180°，根据等边三角形的性质得∠ACD=60°，∠CAP=30°，代入可得∠PCD=15°，则∠ACP=∠ACD+∠PCD=75°，据此可得∠APC的度数；
（2）连接BP，易得四边形ACBP是菱形，则BP=AC=6，∠ACB+∠PBE=180°，则∠PBE=60°，根据三角函数的概念可得BE、PE、OE，利用三角形的面积公式求出S△ABC，S△OBE，然后根据S四边形OECA=S△ABC-S△OBE进行计算；
（3）由作法知AP=AC，易得∠ACD=90°，以AC、AD为边，作正方形ACDF，连接PF，则AF=AC=AP，根据垂直平分线的性质可得PF=PA，推出△AFP为等边三角形，得到∠FAP=60°，则∠PAC=30°，∠BAP=15°，据此判断.