陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题5二次函数解析版

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陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题5 二次函数
一、单选题
1．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（　　）
A．12 B．55 C．255 D．2
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，不妨设A（﹣3，0），B（1，0），
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴顶点C（﹣1，4），
如图所示，作CD⊥AB于D．
在RT△ACD中，tan∠CAD= CDAD = 42 =2，
故答案为D．
【分析】先求出A、B、C坐标，作CD⊥AB于D，根据tan∠ACD= CDAD 即可计算．本题考查二次函数与x轴交点坐标，锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握求抛物线与x轴交点坐标的方法，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
2．已知抛物线y=x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（　　）
A．（1，﹣5） B．（3，﹣13） C．（2，﹣8） D．（4，﹣20）
【答案】C
【知识点】关于原点对称的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】y=x2﹣2mx﹣4=x2﹣2mx+m2﹣m2﹣4=（x﹣m）2﹣m2﹣4．
∴点M（m，﹣m2﹣4）．
∴点M′（﹣m，m2+4）．
∴m2+2m2﹣4=m2+4．
解得m=±2．
∵m＞0，
∴m=2．
∴M（2，﹣8）．
故答案为：C．
【分析】将二次函数的解析式化成顶点式：y=x2﹣2mx﹣4=x2﹣2mx+m2﹣m2﹣4=（x﹣m）2﹣m2﹣4从而得出点M（m，﹣m2﹣4）．由已知条件得出点M′（﹣m，m2+4）；代入解析式求出m=±2；由m＞0，得出M坐标．
3．对于抛物线y＝ax2＋(2a－1)x＋a－3，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】由题意得：a+(2a-1)+a-3>0，解得：a>1，
∴2a-1>0，
∴−2a−12a <0， 4a(a−3)−(2a−1)24a=−8a+14a<0 ，
∴抛物线的顶点在第三象限，
故答案为：C.
【分析】根据抛物线y＝ax2＋(2a－1)x＋a－3，当x＝1时，y＞0，得出关于a不等式，求解得出a的取值范围，然后根据抛物线的顶点坐标公式判断出抛物线顶点横纵坐标的正负，即可得出答案。
4．已知二次函数y=x2−2x−3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3.当−13时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　）
A．y1 【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：y=x2−2x−3=(x-1)2-4，
∴对称轴为直线x=1，
令y=0，则(x-1)2-4=0，
解得x1=-1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，
二次函数y=x2−2x−3的图象如图：
由图象知y2 故答案为：B.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=1，令y=0，求出x的值，可得抛物线与x轴的交点坐标，然后画出二次函数的图象，据此进行比较.
5．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
…
-2
0
1
3
…
y
…
6
-4
-6
-4
…
下列各选项中，正确的是
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于-6
D．当 x>1 时，y的值随x值的增大而增大
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c ，
依题意得： 4a−2b+c=6c=−4a+b+c=−6 ，解得： a=1b=−3c=−4 ，
∴二次函数的解析式为 y=x2−3x−4 = (x−32)2−254 ，
∵a=1>0 ，
∴这个函数的图象开口向上，故A选项不符合题意；
∵△=b2−4ac=(−3)2−4×1×(−4)=25>0 ，
∴这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故B选项不符合题意；
∵a=1>0 ，∴当 x=32 时，这个函数有最小值 −254<−6 ，故C选项符合题意；
∵这个函数的图象的顶点坐标为( 32 ， −254 )，
∴当 x>32 时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据表格中的信息用待定系数法可求得二次函数的解析式，并将解析式化为顶点式；
A、根据a=1＞0可知，这个函数的图象开口向上；
B、计算b2-4ac=25＞0，根据一元二次方程的根的判别式可判断这个函数的图象与x轴有两个不同的交点；
C根据顶点式可知，当x=32时，函数有最小值为-254＜-6；
D、根据顶点式可知当x＞32时，函数y的值随x值的增大而增大.
6．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位.则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： ∵y=x2−(m−1)x+m=(x−m−12)2+m−(m−1)24 ，
∴ 该抛物线顶点坐标是 (m−12 ， m−(m−1)24) ，
∴ 将其沿 y 轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是 (m−12 ， m−(m−1)24−3) ，
∵m>1 ，
∴m−1>0 ，
∴m−12>0 ，
∵m−(m−1)24−3=4m−(m2−2m+1)−124=−(m−3)2−44=−(m−3)24−1<0 ，
∴ 点 (m−12 ， m−(m−1)24−3) 在第四象限；
故答案为： D .
【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合 m 的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可.
7．在同一平面直角坐标系中，若抛物线 y=x2+(2m−1)x+2m−4 与 y=x2−(3m+n)x+n 关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（　　）
A．m= 57 ,n= -187 B．m=5，n= -6
C．m= -1，n=6 D．m=1，n= -2
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：关于y轴对称，二次项系数与常数项相同，一次项系数互为相反数，
∴2m−1=3m+nn=2m−4 ，
解之得 m=1n=−2 ，
故答案为：D。
【分析】根据抛物线的对称性，由 抛物线 y=x2+(2m−1)x+2m−4 与 y=x2−(3m+n)x+n 关于y轴对称 可知二次项系数与常数项相同，一次项系数互为相反数，从而列出方程组，求解即可。
二、综合题
8．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M（1，3）和N（3，5）
（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况；
（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．
【答案】（1）解：由抛物线过M、N两点，
把M、N坐标代入抛物线解析式可得 a+b+5=39a+3b+5=5 ，解得 a=1b=-3 ，
∴抛物线解析式为y=x2﹣3x+5，
令y=0可得x2﹣3x+5=0，
该方程的判别式为△=（﹣3）2﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0，
∴抛物线与x轴没有交点；
（2）解：∵△AOB是等腰直角三角形，A（﹣2，0），点B在y轴上，
∴B点坐标为（0，2）或（0，﹣2），
可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+n，
①当抛物线过点A（﹣2，0），B（0，2）时，代入可得 n=24−2m+n=0 ，解得 m=3n=2 ，
∴平移后的抛物线为y=x2+3x+2，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣ 32 ，﹣ 14 ），而原抛物线顶点坐标为（ 32 ， 114 ），
∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线；
②当抛物线过A（﹣2，0），B（0，﹣2）时，代入可得 n=-24−2m+n=0 ，解得 m=1n=-2 ，
∴平移后的抛物线为y=x2+x﹣2，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣ 12 ，﹣ 94 ），而原抛物线顶点坐标为（ 32 ， 114 ），
∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质
【解析】【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、函数与方程的关系、等腰三角形的性质、坐标平移和分类讨论等．在（1）中注意方程与函数的关系，在（2）中确定出B点的坐标是解题的关键，注意抛物线顶点坐标的求法．本题属于基础题，难度不大．（1）把M、N两点的坐标代入抛物线解析式可求得a、b的值，可求得抛物线解析式，再根据一元二次方程根的判别式，可判断抛物线与x轴的交点情况；（2）利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程．
9．在同一直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y=x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A，B两点，其中点A在点B的左侧．
（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；
（2）求A，B两点的坐标；
（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A，B，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵C1、C2关于y轴对称，
∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，
∴a=1，n=﹣3，
∴C1的对称轴为x=1，
∴C2的对称轴为x=﹣1，
∴m=2，
∴C1的函数表示式为y=x2﹣2x﹣3，C2的函数表达式为y=x2+2x﹣3
（2）解：在C2的函数表达式为y=x2+2x﹣3中，令y=0可得x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或x=1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）
（3）解：存在．
∵AB的中点为（﹣1，0），且点P在抛物线C1上，点Q在抛物线C2上，
∴AB只能为平行四边形的一边，
∴PQ∥AB且PQ=AB，
由（2）可知AB=1﹣（﹣3）=4，
∴PQ=4，
设P（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t+4，t2﹣2t﹣3）或（t﹣4，t2﹣2t﹣3），
①当Q（t+4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3=（t+4）2+2（t+4）﹣3，解得t=﹣2，
∴t2﹣2t﹣3=4+4﹣3=5，
∴P（﹣2，5），Q（2，5）；
②当Q（t﹣4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3=（t﹣4）2+2（t﹣4）﹣3，解得t=2，
∴t2﹣2t﹣3=4﹣4﹣3=﹣3，
∴P（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3），
综上可知存在满足条件的点P、Q，其坐标为P（﹣2，5），Q（2，5）或P（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3）．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；平行四边形的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由已知条件知道C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，从而得出a=1，n=﹣3，C1的对称轴为x=1，C2的对称轴为x=﹣1，m=2，最后得出C1与C2的函数表达式.
（2）由（1）知C2的函数表达式，令y=0可得A（﹣3，0），B（1，0）坐标.
（3）存在．由已知条件可知PQ∥AB且PQ=AB；由（2）可知AB=1﹣（﹣3）=4，PQ=4；设P（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t+4，t2﹣2t﹣3）
或（t﹣4，t2﹣2t﹣3），①当Q（t+4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3=（t+4）2+2（t+4）﹣3，求出t=﹣2，从而得出P（﹣2，5），Q（2，5）；
②当Q（t﹣4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3=（t﹣4）2+2（t﹣4）﹣3，求出t=2，从而得出P（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3）.
10．现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据设计要求：OE=10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m.
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯.已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标.
【答案】（1）解：依题意，顶点P(5，9)，
设抛物线的函数表达式为y=a(x−5)2+9，
将(0，0)代入，得0=a(0−5)2+9.解之，得a=−925.
∴抛物线的函数表达式为y=−925(x−5)2+9.
（2）解：令y=6，得−925(x−5)2+9=6.
解之，得x1=533+5，x2=−533+5.
∴A(5−533，6)，B(5+533，6).
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）由题意可得P（5，9），设抛物线的解析式为y=a(x-5)2+9，将（0，0）代入求出a的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）令y=6，求出x的值，据此可得点A、B的坐标.
11．已知抛物线 y=−x2+2x+8 与x轴交于点A、B（其中A在点B的左侧），与y轴交于点C.
（1）求点B、C的坐标；
（2）设点 C′ 与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使 △PCC′ 与 △POB 相似且 PC 与 PO 是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：令 y=0 ，则 −x2+2x+8=0 ，
∴x1=−2 ， x2=4
∴B(4,0) .
令 x=0 ，则 y=8 .
∴C(0,8)
（2）解：存在.由已知得，该抛物线的对称轴为直线 x=1 .
∵点 C' 与点 C 关于直线 x=1 对称，
∴C(2,8) ， CC′=2 .
∴CC'//OB .
∵点P在y轴上，
∴∠PCC′=∠POB=90°
∴当 PCPO=CC′OB 时， △PCC′∽△POB .
设 P(0,y) ，
i）当 y>8 时，则 y−8y=24 ，
∴y=16 .
∴P(0,16)
ii）当 0 ∴y=163
∴P(0,163) .
iii）当 y<0 时，则 CP>OP ，与 PCPO=12 矛盾.
∴点P不存在
∴P(0,16) 或 P(0,163)
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意分别令解析式中的y=0、x=0即可求出B，C的坐标；
（2）先设P的坐标为（0，y），根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式PCPO=CC'OB，由题意分三种情况：
i）当y＞8时，根据比例式可列关于y的方程，解方程即可求解；
ii）当0＜y＜8时，根据比例式可列关于y的方程，解方程即可求解；
iii）当y＜0时，根据比例式可列关于y的方程，解方程即可求解.
12．如图
（1）问题提出
如图1，在 ▱ABCD 中， ∠A=45° ， AB=8 ， AD=6 ，E是 AD 的中点，点F在 DC 上且 DF=5 求四边形 ABFE 的面积.（结果保留根号）
（2）问题解决
某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境.如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园 ABCDE 按设计要求，要在五边形河畔公园 ABCDE 内挖一个四边形人工湖 OPMN ，使点O、P、M、N分别在边 BC 、 CD 、 AE 、 AB 上，且满足 BO=2AN=2CP ， AM=OC .已知五边形 ABCDE 中， ∠A=∠B=∠C=90° ， AB=800m ， BC=1200m ， CD=600m ， AE=900m .满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小.请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖 OPMN ？若存在，求四边形 OPMN 面积的最小值及这时点 N 到点 A 的距离；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：在 ▱ABCD 中，设 AB 边上的高为h.
∵AD=6 ， ∠A=45° ，∴h=ADsin45°=32
∵EA=ED ，∴点 E 到 DC 的距离为 h2 .
∴S四边形ABFE=S▱ABCD−(S△DEF+S△BCF)
=AB⋅h−(12⋅DF⋅h2+12⋅FC⋅h)
=242−(1542+922)=6324
（2）解：存在.如图，分别延长 AE 与 CD ，交于点F，则四边形 ABCF 是矩形.
设 AN=x ，则
PC=x ， BO=2x ， BN=800−x ， AM=OC=1200−2x .
由题意，易知 MF=BO ， PF=BN
∴S四边形OPMN=S矩形ABCF−S△ANM−S△BON−S△CPO−S△FMP
=800×1200−12⋅x(1200−2x)−12⋅2x(800−x)−12⋅x(1200−2x)−12⋅2x(800−x)
=4x2−2800x+960000
=4(x−350)2+470000 .
∴当 x=350 时， S四边形OPMN=470000 .
AM=1200−2x=500<900 ， CP=350<600 .
∴符合设计要求的四边形 OPMN 面积的最小值为 470000m2 ，
这时，点N到点A的距离为 350m .
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）在 ▱ABCD 中，设 AB 边上的高为h，根据锐角三角函数sin45°=hAD可求得h的值，由线段中点定义易得点E到DC的距离为h2，然后根据四边形面积的构成S四边形ABFE=S平行四边形ABCD-（S△DEF+S△BCF）可求解；
（2）分别延长AE与CD，交于点F，则四边形ABCF是矩形，设AN＝x米，则PC＝x米，BO＝2x米，BN＝（800−x）米，AM＝OC＝（1200−2x）米，易得MF＝BO=2x米，PF＝BN=（800−x）米，由四边形的面积的构成S四边形OPMN＝S矩形ABCF-S△ANM-S△BON-S△CPO-S△FMP可得S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．
13．已知抛物线L：y＝x2＋x－6与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标，并求出△ABC的面积；
（2）将抛物线向左或向右平移，得到抛物线L´，且L´与x轴相交于A´、B´两点（点A´在点B´的左侧），并与y轴交于点C´，要使△A´B´C´和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．
【答案】（1）解：当y＝0时，x2＋x－6＝0，解得x1＝－3，x2＝2，
当x＝0时，y＝－6，
∴A(－3，0)，B(2，0)，C(0，6)，
∴S△ABC＝ 12 AB·OC＝ 12 ×5×6＝15
（2）解：将抛物线向左或向右平移时，A´、B´两点间的距离不变，始终为5，那么要使△A´B´C´和△ABC的面积相等，高也只能是6，
设A'(a，0)，则B'(a＋5，0)，y＝(x－a)(x－a－5)，
当x＝0时，y＝a2＋5a，
当C´点在x轴上方时，y＝a2＋5a＝6，a＝1或a＝－6，
此时y＝x2－7x－6或y＝x2＋7x－6；
当C´点在x轴下方时，y＝a2＋5a＝－6，a＝－2或a＝－3，
此时y＝x2－x－6或y＝x2＋x－6(与原抛物线重合，舍去)；所以，所有满足条件的抛物线的函数表达式为：y＝x2－7x－6，y＝x2＋7x－6，y＝x2－x－6．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线与坐标轴交点的坐标特点即可得出A，B，C三点的坐标，再根据坐标轴上两点间的距离公式及S△ABC=12 AB·OC即可得出答案；
（2）根据平移的特点，平移不改变抛物线的开口程度，故将抛物线向左或向右平移时，A´、B´两点间的距离不变，始终为5，那么要使△A´B´C´和△ABC的面积相等，高也只能是6，设A'(a，0)，则B'(a＋5，0)，y＝(x－a)(x－a－5)，根据抛物线与y轴交点的坐标特点，由x＝0得出y＝a2＋5a，然后分C´点在x轴上方时，与C´点在x轴下方时两种情况，分别得出关于a的方程，求解即可得出抛物线的解析式。
14．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点.要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标.
【答案】（1）解：将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得
12=9+3b+c−3=4−2b+c ，解得 b=2c=−3 ，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）解：抛物线的对称轴为x＝﹣1，令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3，
故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点C（0，﹣3），
故OA＝OC＝3，
∵∠PDE＝∠AOC＝90°，
∴当PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，
设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2，
故n＝22+2×2﹣5＝5，故点P（2，5），
故点E（﹣1，2）或（﹣1，8）；
当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P（﹣4，5），此时点E坐标同上，
综上，点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式，即可求解；
（2）在△AOC中，OA＝OC＝3，由题意：以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等可知PD＝DE＝3，再分点P在抛物线对称轴右侧、点P在抛物线对称轴的左侧两种情况，求解即可.
15．在平面直角坐标系中，已知抛物线L： y=ax2+(c−a)x+c 经过点A（-3，0）和点B（0，-6），L关于原点O对称的抛物线为 L′ .
（1）求抛物线L的表达式；
（2）点P在抛物线 L′ 上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D.若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标.
【答案】（1）解：由题意，得 9a−3(c−a)+c=0c=−6 ，
解得： a=−1c=−6 ，
∴L：y=－x2－5x－6
（2）解：∵抛物线L关于原点O对称的抛物线为 L′ ，
∴点A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的对应点分别为A′(3，0)、B′(0，6)，
∴设抛物线L′的表达式y＝x2＋bx＋6，
将A′(3，0)代入y＝x2＋bx＋6，得b＝－5，
∴抛物线L′的表达式为y＝x2－5x＋6，
∵A(－3，0)，B(0，－6)，
∴AO＝3，OB＝6，
设P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，
∵PD⊥y轴，
∴点D的坐标为(0，m2－5m＋6)，
∵PD＝m，OD＝m2－5m＋6，
∵Rt△PDO与Rt△AOB相似，
∴有Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB两种情况，
①当Rt△PDO∽Rt△AOB时，则 PDAO=ODBO ，即 m3=m2−5m+66 ，
解得m1＝1，m2＝6，
∴P1(1，2)，P2(6，12)；
②当Rt△ODP∽Rt△AOB时，则 PDBO=ODAO ，即 m6=m2−5m+63 ，
解得m3＝ 32 ，m4＝4，
∴P3( 32 ， 34 )，P4(4，2)，
∵P1、P2、P3、P4均在第一象限，
∴符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或( 32 ， 34 )或(4，2).
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A,B的坐标分别代入 y=ax2+(c−a)x+c 即可列出关于a,c的二元一次方程组，求解得出a,c的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特点，得出 点A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的对应点分别为A′(3，0)、B′(0，6)， 根据抛物线的几何变换规律，由 L关于原点O对称的抛物线为 L′ ，可知抛物线l与抛物线l'的二次项系数与常数项互为相反数，从而设出抛物线l'的解析式，再代入点A'的坐标即可求出一次项的系数，从而求出抛物线l'的解析式；根据点的坐标 与图形的性质用含m的式子表示出点P,D的坐标，根据两点间的距离公式表示出PD,OD，然后分 ①当Rt△PDO∽Rt△AOB时，则 PDAO=ODBO ， ②当Rt△ODP∽Rt△AOB时，则 PDBO=ODAO两种情况列出方程求解即可求出点P的坐标。