陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题8四边形解析版

这是一份陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题8四边形解析版，共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题8 四边形
一、单选题
1．在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（　　）
A．AB=AC B．AC⊥BD C．AB=AD D．AC=BD
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：当AB=AC时，不能说明平行四边形ABCD是矩形，所以A不符合题意；
当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，能说明平行四边形ABCD是菱形，不能说明平行四边形ABCD是矩形，所以B不符合题意；
当AB=AD时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，能说明平行四边形ABCD是菱形，不能说明平行四边形ABCD是矩形，所以C不符合题意；
当AC=BD时，根据对角线相等的平行四边形是矩形，能说明平行四边形ABCD是矩形，所以D符合题意.
故答案为：D.
【分析】对角线相等的平行四边形是矩形，有一个内角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此一一判断得出答案.
2．如图，在菱形 ABCD 中， ∠ABC=60° ，连接 AC 、 BD ，则 ACBD 的值为（　　）
A．12 B．22 C．32 D．33
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：设AC与BD的交点为O，如图所示：
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC,AB=BC ， AC⊥BD,BO=DO,AO=CO ，
∵∠ABC=60° ，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABO=30°,AB=AC ，
∴AO=12AB ，
∴OB=AB2−AO2=3OA ，
∴BD=23OA,AC=2AO ，
∴ACBD=2OA23OA=33 ；
故答案为：D.
【分析】设AC与BD的交点为O，由菱形的性质和已知条件易得三角形ABC是等边三角形，于是用勾股定理可将OB用含OA的代数式表示出来，则BD、AC也可用含OA的代数式表示出来，于是AC与BD的比值可求解.
3．如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8.E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°.连接AF并延长，交CD于点G.若EF∥AB，则DG的长为（　　）
A．52 B．32 C．3 D．2
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接AC，交EF于点H，如图，
∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°，
∴Rt△BCF中，EF＝ 12 BC＝4，
∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点，
∴H是AC的中点，F是AG的中点，
∴EH是△ABC的中位线，FH是△ACG的中位线，
∴EH=12AB=52 ， FH=12CG ，
而FH=EF-FH=4- 52=32 ，
∴CG=3FH=3，
又∵CD＝AB＝5，
∴DG＝5﹣3＝2，
故答案为：D.
【分析】连接AC，依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF的长，再根据三角形中位线定理，即可得到CG的长，进而得出DG的长.
4．如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD和DA的中点，连接EF，FG，GH和HE，若EH＝2EF，则下列结论正确的是（　　）
A．AB＝ 2 EF B．AB＝2EF C．AB＝ 3 EF D．AB＝ 5 EF
【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】连接AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∴OA= 12 AC，OB= 12 BD，AC⊥BD，
∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，
∴EH= 12 BD，EF= 12 AC，
∵EH=2EF，
∴OA=EF，OB=2OA=2EF，
在Rt△AOB中，AB= OA2+OB2 = 5 EF，
故答案为：D.
【分析】连接AC、BD交于点O，根据菱形的性质，得出OA= 12AC，OB=12 BD，AC⊥BD，根据三角形的中位线定理得出EH=12 BD，EF= 12AC，又EH=2EF，故OA=EF，OB=2OA=2EF，在Rt△AOB中，由勾股定理得出AB的长。
5．如图，在矩形ACBO中，A(－2，0)，B(0，1)．若正比例函数y＝kx的图像经过点C，则k的取值为（　　）
A．－ 12 B．12 C．－2 D．2
【答案】A
【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵A(－2，0)，B(0，1)，
∴OA=2，OB=1，
∵四边形OACB是矩形，
∴BC=OA=2，AC=OB=1，
∵点C在第二象限，∴C点坐标为（-2，1），
∵正比例函数y＝kx的图像经过点C，
∴-2k=1，
∴k=－ 12 ，
故答案为：A.
【分析】根据A，B两点的坐标，得出OA=2，OB=1，根据矩形的性质得出BC=OA=2，AC=OB=1，根据C点的位置得出C点的坐标，利用反比例函数图象上的点的坐标特点得出k的值。
6．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（　　）
A．3102 B．3105 C．105 D．355
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】如图，连接BE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=90°，
在Rt△ADE中，AE= AD2+DE2 = 32+12 = 10 ，
∵S△ABE= 12 S矩形ABCD=3= 12 •AE•BF，
∴BF= 3105 ．
故答案为：B．
【分析】连接BE．由矩形的性质得出AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=90°，在Rt△ADE中，由勾股定理得出AE=10 ；再由S△ABE= 12 S矩形ABCD=3= 12 •AE•BF求出BF的值.
7．如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，
在△ABD和△BCD中，
AB=BC∠A=∠CAD=CD ，
∴△ABD≌△BCD，
∵AD∥BC，
∴∠MDO=∠M′BO，
在△MOD和△M′OB中，
∠MDO=∠M′BO∠MOD=∠M′OBDM=BM ′ ，
∴△MDO≌△M′BO，同理可证△NOD≌△N′OB，∴△MON≌△M′ON′，
∴全等三角形一共有4对．
故选C．
【分析】可以判断△ABD≌△BCD，△MDO≌△M′BO，△NOD≌△N′OB，△MON≌△M′ON′由此即可对称结论．本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于基础题，中考常考题型．
8．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，若点E，F分别在AB,CD上，且BE=2AE，DF=2FC，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为（　　）
A．1 B．32 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长FH交AB于点M，
∵BE＝2AE，DF＝2FC，AB=AE+BE，CD=CF+DF，
∴AE：AB=1：3，CF：CD=1：3，
又∵G、H分别是AC的三等分点，
∴AG：AC=CH：AC=1：3，
∴AE：AB=AG：AC，CF：CD=CH：CA，
∴EG//BC，FH//AD，
∴△AEG∽△ABC，△CFH∽△CDA，BM：AB=CF：CD=1：3，∠EMH=∠B，
∴EG：BC=AE：AB=1：3，HF：AD=CF：CD=1：3，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=6，
∴CD=AB=3，AD=BC=6，∠B=90°，
∴AE=1，EG=2，CF=1，HF=2，BM=1，
∴EM=3-1-1=1，EG=FH，
∴EG //__ FH，
∴四边形EHFG为平行四边形，
∴S四边形EHFG＝2×1=2，
故答案为：C。
【分析】如图，延长FH交AB于点M，根据线段之间的关系可以得出AE：AB=AG：AC，CF：CD=CH：CA，根据平行线分线段成比例定理的逆用得出EG//BC，FH//AD，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△AEG∽△ABC，△CFH∽△CDA，根据相似三角形对应边成比例得出EG：BC=AE：AB=1：3，HF：AD=CF：CD=1：3，根据矩形的性质进而即可得出EG=2,HF=2，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形EHFG为平行四边形，进而根据平行四边形面积的计算方法即可算出答案。
二、填空题
9．正九边形一个内角的度数为　 　.
【答案】140°
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】正多边形的每个外角 =360°n （ n 为边数），
所以正九边形的一个外角 =360°9=40°
∴ 正九边形一个内角的度数为 180°−40°=140°
故答案为：140°.
【分析】根据正九边形的外角和等于360°，用360°÷9可求得每一个外角的度数，再根据正九边形的每一个外角和它相邻的内角互补即可求解
10．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．
A．一个多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是　 　．
B．运用科学计算器计算：3 17 sin73°52′≈　 　．（结果精确到0.1）
【答案】8；11.9
【知识点】计算器在数的开方中的应用；多边形内角与外角；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：（1）∵正多边形的外角和为360°
∴这个正多边形的边数为：360°÷45°=8
2）3 17 in73°52′≈12.369×0.961≈11.9
故答案为：8，11.9
【分析】（1）根据多边形内角和为360°进行计算即可；（2）先分别求得3 17 和sin73°52′的近似值，再相乘求得计算结果．本题主要考查了多边形的外角和以及近似数，解决问题的关键是掌握多边形的外角和定理以及近似数的概念．在取近似值时，需要需要运用四舍五入法求解．
11．如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是　 　.
【答案】144°
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C＝ (5−2)⋅180°5 ＝108°，BC＝DC，
∴∠BDC＝ 180°−108°2 ＝36°，
∴∠BDM＝180°﹣36°＝144°，
故答案为：144°.
【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答.
12．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2.若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为　 　.
【答案】27
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，
得矩形AGHE，
∴GH＝AE＝2，
∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，
∴BG＝3，AG＝3 3 ＝EH，
∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，
∵EF平分菱形面积，
∴FC＝AE＝2，
∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，
在Rt△EFH中，根据勾股定理，得
EF＝ EH2+FH2 ＝ 27+1 ＝2 7 .
故答案为：2 7 .
【分析】过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，可得BG＝3，AG＝3 3 ＝EH，由题意可得，FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，进而根据勾股定理可得EF的长.
13．点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F分别是AB边上的点，且EF＝ 12 AB；G、H分别是BC边上的点，且GH＝ 13 BC；若S1，S2分别表示∆EOF和∆GOH的面积，则S1，S2之间的等量关系是　 　
【答案】2S1＝3S2
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】过点O分别作OM⊥BC，垂足为M，作ON⊥AB，垂足为N，
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，
∴S平行四边形ABCD=AB•2ON， S平行四边形ABCD=BC•2OM，
∴AB•ON=BC•OM，
∵S1= 12 EF•ON，S2= 12 GH•OM，EF＝ 12 AB，GH＝ 13 BC，
∴S1= 14 AB•ON，S2= 16 BC•OM，
∴2S1＝3S2，
故答案为：2S1＝3S2.
【分析】过点O分别作OM⊥BC，垂足为M，作ON⊥AB，垂足为N，根据平行四边形的对称性，由点O是平行四边形ABCD的对称中心，及平行四边形的面积得出，AB•ON=BC•OM，再根据三角形的面积公式，及EF＝ 12AB，GH=13 BC，即可得出答案。
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点．若AB=8，则EF=　 　．
【答案】2
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∵AD=BD=4，
∴CD= 12 AB=4，
∵AF=DF，AE=EC，
∴EF= 12 CD=2．
故答案为2
【分析】由中位线定理可知要求EF，须求CD，CD是斜边上的中线，由直角三角形的性质定理可知CD=12ABAB已知,即可求出CD.
15．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为　 　．
【答案】23-2
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图连接AC、BD交于点O，以B为圆心BC为半径画圆交BD于P．
此时△PBC是等腰三角形，线段PD最短，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠ADC=60°，
∴△ABC，△ADC是等边三角形，
∴BO=DO= 32 ×2= 3 ，
∴BD=2BO=2 3 ，
∴PD最小值=BD﹣BP=2 3 ﹣2．
故答案为2 3 ﹣2．
【分析】如图连接AC、BD交于点O，以B为圆心BC为半径画圆交BD于P．此时△PBC是等腰三角形，线段PD最短，求出BD即可解决问题．本题考查菱形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是找到点P的位置，属于中考常考题型．
16．如图，在菱形ABCD中，AB=4，BD=7.若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM=BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为　 　.
【答案】152
【知识点】平行线的性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连接AC交BD于点O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO=12BD=72，AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，∠AOD=90°，
在RtΔABO中，AB=4，BO=72，
∵AB2=BO2+AO2，
∴AO=AB2−BO2=42−(72)2=152，
过点M作MG//BD交AC于点G，
∴∠AMG=∠ADB，∠MGO+∠EOG=90°，
∴∠MGO=∠GOE=90°，
又ME⊥BD，
∴∠MEO=90°，
∴四边形MEOG是矩形，
∴ME=OG，
又NF⊥BD，
∴∠NFB=90°，
∴∠NFB=∠AGM，
在ΔNFB和ΔAGM中，
∠NFB=∠AGM∠NBF=∠AMGBN=AM，
∴ΔNFB≌ΔAGM
∴NF=AG，
∴NF+ME=AG+OG=AO=152.
故答案为：152.
【分析】连接AC交BD于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，BO=12BD=72，AD//BC，由平行线的性质可得∠ADB=∠CBD，利用勾股定理可得AO，过点M作MG//BD交AC于点G，则∠AMG=∠ADB，结合∠MGO+∠EOG=90°可得∠MGO=∠EOG=90°，易得四边形MEOG是矩形，则ME=OG，证明△NFB≌△AGM，得到NF=AG，然后根据NF+ME=AG+OG=AO进行计算.
17．如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6. P为对角线BD上一点，则PM—PN的最大值为　 　.
【答案】2
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；平行线分线段成比例；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点 N′ ，连接 PN′ ，根据对称性质可知， PN=PN′ ，
∴PM−PN′≤MN′ ，当 P,M,N′ 三点共线时，取“=”，
∵正方形边长为8，
∴AC= 2 AB= 82 ，
∵O为AC中点，
∴AO=OC= 42 ，
∵N为OA中点，
∴ON= 22 ，
∴ON′=ON=22 ，
∴AN′=62 ，
∵BM=6，
∴CM=AB-BM=8-6=2，
∴CMBM=CN′AN′=13 ，
∴PM∥AB∥CD，∠ CMN′= 90°，
∵∠ N′CM =45°，
∴△ N′CM 为等腰直角三角形，
∴CM= N′M =2。
故答案为：2。
【分析】如图所示，以BD为对称轴作N的对称点 N′ ，连接 PN′ ，根据对称性质可知， PN=PN′ ， PM−PN′≤MN′ ，当 P,M,N′ 三点共线时，取“=”，根据正方形的性质及等腰直角三角形的性质算出AC的长，根据正方形的对角线互相平分及线段中点的定义得出 ON′=ON=22 ，故 AN′=62 ，进而求得CMBM=CN′AN′=13，然后判断出PM∥AB∥CD，∠ CMN′= 90°，故△ N′CM 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出CM= N′M =2。
18．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，则四边形ABCD的面积为　 　．
【答案】18
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N；
∵∠BAD=∠BCD=90°
∴四边形AMCN为矩形，∠MAN=90°；
∵∠BAD=90°，
∴∠BAM=∠DAN；
在△ABM与△ADN中，
∠BAM=∠DAN∠AMB=∠ANDAB=AD ，
∴△ABM≌△ADN（AAS），
∴AM=AN（设为λ）；△ABM与△ADN的面积相等；
∴四边形ABCD的面积=正方形AMCN的面积；
由勾股定理得：AC2=AM2+MC2，而AC=6；
∴2λ2=36，λ2=18，
故答案为：18．
【分析】作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N； 由已知条件可以判断出四边形AMCN为矩形；根据矩形的性质和已知条件可以证明△ABM≌△ADN（AAS）；由全等三角形的性质得出AM=AN（设为λ）；从而得出四边形ABCD的面积=正方形AMCN的面积；由勾股定理
AC2=AM2+MC2得出λ2=18.
三、解答题
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C.E是边BC上一点，且DE＝DC.求证：AD＝BE.
【答案】证明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C.
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形.
∴AD＝BE.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】利用已知先证明AB∥DE，进而根据平行四边形的定义：两组对边平行的四边形是平行四边形，即可得出结论.
20．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF，CE交于点G．求证：AG=CG．
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADF=CDE=90°，AD=CD．
∵AE=CF，
∴DE=DF，
在△ADF和△CDE中 AD=CD∠ADF=∠CDEDF=DE ，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠DAF=∠DCE，
在△AGE和△CGF中， ∠GAE=∠GCF∠AGE=∠CGFAE=CF ，
∴△AGE≌△CGF（AAS），
∴AG=CG．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】由正方形的性质得出∠ADF=CDE=90°，AD=CD．结合已知条件得到△ADF≌△CDE（SAS），根据全等三角性质得出∠DAF=∠DCE；

从而推出△AGE≌△CGF（AAS），依据全等三角性质得出AG=CG．
21．问题提出
（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG= 5 米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：如图1，△ADC即为所求；
（2）解：存在，理由：作E关于CD的对称点E′，
作F关于BC的对称点F′，
连接E′F′，交BC于G，交CD于H，连接FG，EH，
则F′G=FG，E′H=EH，则此时四边形EFGH的周长最小，
由题意得：BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，
∴AF′=6，AE′=8，
∴E′F′=10，EF=2 5 ，
∴四边形EFGH的周长的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=2 5 +10，
∴在边BC、CD上分别存在点G、H，
使得四边形EFGH的周长最小，
最小值为2 5 +10；
（3）解：能裁得，
理由：∵EF=FG= 5 ，∠A=∠B=90°，∠1+∠AFE=∠2+AFE=90°，
∴∠1=∠2，
在△AEF与△BGF中， ∠1=∠2∠A=∠BEF=FG ，
∴△AEF≌△BGF，
∴AF=BG，AE=BF，设AF=x，则AE=BF=3﹣x，
∴x2+（3﹣x）2=（ 5 ）2，解得：x=1，x=2（不合题意，舍去），
∴AF=BG=1，BF=AE=2，
∴DE=4，CG=5，
连接EG，
作△EFG关于EG的对称△EOG，
则四边形EFGO是正方形，∠EOG=90°，
以O为圆心，以EG为半径作⊙O，
则∠EHG=45°的点在⊙O上，
连接FO，并延长交⊙O于H′，则H′在EG的垂直平分线上，
连接EH′GH′，则∠EH′G=45°，
此时，四边形EFGH′是要想裁得符合要求的面积最大的，
∴C在线段EG的垂直平分线设，
∴点F，O，H′，C在一条直线上，
∵EG= 10 ，
∴OF=EG= 10 ，
∵CF=2 10 ，
∴OC= 10 ，
∵OH′=OE=FG= 5 ，
∴OH′＜OC，
∴点H′在矩形ABCD的内部，
∴可以在矩形ABCD中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH′部件，
这个部件的面积= 12 EG•FH′= 12 × 10 ×（ 10 + 5 ）=5+ 522 ，
∴当所裁得的四边形部件为四边形EFGH′时，裁得了符合条件的最大部件，这个部件的面积为（5+ 522 ）m2．
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，轴对称的性质，存在性问题，掌握的作出辅助线利用对称的性质解决问题是解题的关键．（1）作B关于AC 的对称点D，连接AD，CD，△ACD即为所求；（2）作E关于CD的对称点E′，作F关于BC的对称点F′，连接E′F′，得到此时四边形EFGH的周长最小，根据轴对称的性质得到BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，于是得到AF′=6，AE′=8，求出E′F′=10，EF=2 5 即可得到结论；（3）根据余角的性质得到1=∠2，推出△AEF≌△BGF，根据全等三角形的性质得到AF=BG，AE=BF，设AF=x，则AE=BF=3﹣x根据勾股定理列方程得到AF=BG=1，BF=AE=2，作△EFG关于EG的对称△EOG，则四边形EFGO是正方形，∠EOG=90°，以O为圆心，以EG为半径作⊙O，则∠EHG=45°的点在⊙O上，连接FO，并延长交⊙O于H′，则H′在EG的垂直平分线上，连接EH′GH′，则∠EH′G=45°，于是得到四边形EFGH′是符合条件的最大部件，根据矩形的面积公式即可得到结论．
22．问题提出：
（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；
问题探究：
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；
问题解决：
（3）如图3，有一座草根塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的草根景区BCDE。根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由。（塔A的占地面积忽略不计）
【答案】（1）解：如图所示，有三个符合条件的平行四边形；
（2）解：如图，
∵AB=4，BC=10，
∴取BC的中点O，则OB＞AB，
∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于 P1,P2 两点，
连接 P1B,P1O,P1C ，
∵∠BPC=90°，点P不能在矩形外；
∴△BPC的顶点P在 P1 或 P2 位置时，△BPC的面积最大，
作 P1E ⊥BC，垂足为E，则OE=3，∴AP1=BE=OB−OE=5−3=2 ，
由对称性得 AP2=8 ，
综上可知AP的长为2或8
（3）解：可以，如图所示，连接BD，
∵A为平行四边形BCDE的对称中心，BA=50，∠CBE=120°，
∴BD=100，∠BED=60°，
作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧 BD 上，取 BED 的中点 E′ ，连接 E′B,E′D ，
则 E′B=E′D ，且∠ BE′D =60°，∴△ BE′D 为正三角形，
连接 E′O 并延长，经过点A至 C′ ，使 E′A=AC′ ，连接 BC′,C′D ，
∵E′A ⊥BD，
∴四边形 E′BC′D 为菱形，且∠ C′BE′=120 °，
作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则 EF≤EO+OA=E′O+OA=E′A ，
∴SΔBDE=12BD⋅EF≤12BD⋅E′A=SΔBE′D ，
∴S▱BCDE≤S菱形BC′DE′=2SΔBDE′=1002⋅sin60°=50003(m2) ，
所以符合要求的□BCDE的最大面积为 50003m2
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）分别以AB,AC,BC为对角线，利用平行四边形的判定方法画出图形即可；
（2） △BPC的底边是BC固定，要使其面积最大，故高要在AD上，还要满足 ∠BPC＝90° ，根据直径所对的圆周角是直角即可得出：以BC的中点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定与AD相交于P1，P2两点，点P1，P2即为所求．
（3）可以，如图所示，连接BD，作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧 BD 上，取 BED 的中点 E′ ，连接 E′B,E′D ，则 E′B=E′D ，且∠ BE′D =60°，故 △ BE′D 为正三角形， 连接 E′O 并延长，经过点A至 C′ ，使 E′A=AC′ ，连接 BC′,C′D ，故 四边形 E′BC′D 为菱形，且∠ C′BE′=120 °， 作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则 EF≤EO+OA=E′O+OA=E′A ，根据各个图形的面积计算方法即可判断得出 结论。