数学九年级上册第1章 一元二次方程综合与测试单元测试测试题
展开苏科版初中数学九年级上册第一章《一元二次方程》单元测试卷
考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
- 有一人患了新型冠状病毒肺炎，经过两轮传染后共有人患了新型冠状病毒肺炎，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
- 定义运算：例如：，则方程的根的情况为( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根
- 一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，且的面积为，则的值是( )
A. B. C. D.
- 若实数，满足，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
- 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
- 等腰三角形边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为( )
A. B. 或 C. 或 D.
- 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值是( )
A. B. C. 或 D. 不存在
- 若关于的一元二次方程的两根互为倒数，则的值等于( )
A. 或 B. C. D.
- 小雅存银行元，定期一年后取出元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年的年利率不变，到期后取出元，则年利率为．( )
A. B. C. D.
- 疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用在线上购物，某购物今年二月份用户比一月份增加了，三月份用户比二月份增加了，则二、三两个月用户的平均每月增长率是( )
A. B. C. D.
- 如图，某小区有一块长为米，宽为米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为米，则可以列出关于的方程是( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
- 已知是方程的一个根，则 ．
- 对于任意实数、，定义一种运算：，若，则的值为 ．
- 若关于的方程有两个相等的实数根，则 ______ ．
- 如图，某小区有一块长为，宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
- 在一元二次方程中，若，则称是该方程的中点值．
方程的中点值是
已知的中点值是，其中一个根是，求的值．
- 当方程是一元二次方程时，求的值．
- 化简求值：，其中是方程的根．
- 小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：
小敏： | 小霞： |
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“”；若错误请在框内打“”，并写出你的解答过程．
- 已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
给取一个负整数值，解这个方程． - 已知关于的一元二次方程．
求证：该方程总有两个实数根；
若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． - 第届冬季奥林匹克运动会于年月在北京举行，北京成为历史上第一个既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．某饰品店抓住商机购进了北京冬奥会的吉祥物冰墩墩挂件进行销售，平均每天销售件，每件盈利元．经调研发现：在成本不变的情况下，若每个挂件降价元，则每天可多售出件．
设每个挂件降价元，则每天将销售______件．用含的代数式表示
如果商家每天要盈利元，且让顾客得到更大实惠，每个挂件应降价多少元？ - 年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得某县的一个电子器件厂扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，年该类电脑显卡的成本是元个，年与年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，年该电脑显卡的成本降低到元个．
若这两年此类电脑显卡成本下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
年某商场以高于成本价的价格购进若干个此类电脑显卡，以元个销售时，平均每天可销售个，为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低元，每天可多售出个，如果每天盈利元，单价应降低多少元？ - 为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为元时，每天可售出个；若销售单价每降低元，每天可多售出个．已知每个电子产品的固定成本为元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利元？
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：设剪去小正方形的边长是，
则纸盒底面的长为，宽为，
根据题意得：．
故选D．
2.【答案】
【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，则第一轮传染了人，第二轮传染了人，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
故选：．
设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，则第一轮传染了人，第二轮传染了人，根据经过两轮传染后共有人患了新型冠状病毒肺炎，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3.【答案】
【解析】由题意可知，，，
方程有两个不相等的实数根，故选A．
4.【答案】
【解析】解：在中，令，得，
，
在一次函数的图象上，
，即，
，
的面积为，，
，即，
解得或舍去，
，
故选：．
由已知得，而在一次函数的图象上，可得，即，根据的面积为，可列方程，即可解得．
本题考查反比例函数与一次函数的应用，解题的关键是根据的面积为列方程．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了用换元法解一元二次方程．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
先设，则方程即可变形为，再解方程求出即得到的值．
【解答】
解：设，则原方程可化为：，
，
解得或，
即或．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：且．
故选：．
利用一元二次方程有实数根的条件得到关于的不等式组，解不等式组即可得出结论．
本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，利用已知条件得到关于的不等式组是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：三角形是等腰三角形，
，或；两种情况，
当，或时，
，是关于的一元二次方程的两个根，
，
把代入得，，
解得：，
当，方程的两根是和，而，，不能组成三角形，
故不合题意，
当时，方程有两个相等的实数根，
解得：．
故选：．
由三角形是等腰三角形，得到，或；；当，或时，得到方程的根，把代入即可得到结果；当时，方程有两个相等的实数根，由可得结果．
本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的解，根的判别式，注意分类讨论思想的应用．
8.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键：根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的不等式组；牢记两根之和等于，两根之积等于现根据根的判别式和一元二次方程存在性条件求出的取值范围，再根据根与系数的关系求出值，最后根据范围得到最终答案。
【解答】
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，
解得且．
、是方程的两个实数根．
，．
，
，
或．
，
．
故选A．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．设方程的两根为，，根据根与系数的关系得，解得或，然后利用判别式确定的取值．
【解答】
解：设方程的根为，，
则，
则，
或，
当时，，，无解；
当时，，有解；
故选C．
10.【答案】
【解析】解：设定期一年的利率是，
根据题意得：一年时：，
取出后剩：，
同理两年后是，
即方程为，
解得：，不符合题意，故舍去，即年利率是．
故选D．
设定期一年的利率是，则存入一年后的本息和是元，取元后余元，再存一年则有方程，解这个方程即可求解．
此题考查了列代数式及一元二次方程的应用，是有关利率的问题，关键是掌握公式：本息和本金利率期数，难度一般．
11.【答案】
【解析】解：设一月份用户数为，则二月份用户数，三月份就是．
设二、三两月用户的平均每月的平均增长率是，则
，
解得：或不合题意，舍去．
故二、三两个月用户的平均每月增长率是．
故选：．
要求二、三两个月用户的平均每月增长率如何，就要先设出一个未知数，表示出二月份和三月份的用户数，然后比较计算．
此题考查了一元二次方程的应用，关键是注意利用单位来进行计算，设一月份用户数为可以使计算简便．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用两块相同的矩形绿地面积之和为米得出等式是解题关键．设人行道的宽度为米，根据矩形绿地的面积之和为米，列出一元二次方程．
【解答】
解：设人行道的宽度为米，根据题意得，
，
化简整理得，．
故选C．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的解，完全平方公式的应用，用了整体代入思想，即把当作一个整体来代入．把代入方程求出，根据完全平方公式代入求出即可．
【解答】
解：是方程的一个根，
代入得：，
，
，
故答案为：．
14.【答案】或
【解析】
【分析】
本题主要考查了一元二次方程的解法因式分解法．本题是新定义型题目，正确理解新定义并准确使用是解题的关键．依据新定义得到关于的方程，解方程可得结论．
【解答】
解：由题意得：
．
整理得：
．
即．
解得：，．
故答案为：或．
15.【答案】
【解析】解：关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．
根据根的判别式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：设人行通道的宽度为，
将两个矩形绿地平移，如图所示，
，，，
由题意可列出方程：
解得：或不合题意，舍去
故答案为：
将矩形绿地平移后，根据图中的等量关系列出方程即可求出答案．
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于中等题型．
17.【答案】解：；
，
，
把代入，
得，
解得，
，
．
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的解，属于新定义运算，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
根据方程的中点值的定义计算；
利用方程的中点值的定义得到，再把代入计算出的值，然后计算．
【解答】
解：，
方程的中点值为；
故答案为；
见答案．
18.【答案】解：是一元二次方程，
， 解得，
又，
，
【解析】此题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．本题容易忽视的条件是 根据一元二次方程的定义求解即可．
19.【答案】解：原式
，
是方程的根，
，
原式．
【解析】本题考查的是分式的化简求值，一元二次方程的解等有关知识，首先对该式进行变形，括号外面进行因式分解，括号里面进行通分，将除法变为乘法，再约分化为最简，由是方程的根可得，然后再代入计算即可．
20.【答案】解：小敏：；
小霞：．
正确的解答方法：移项，得，
提取公因式，得．
则或，
解得，．
【解析】小敏：没有考虑的情况；
小霞：提取公因式时出现了错误．
利用因式分解法解方程即可．
本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程时可以采取公式法，因式分解法，配方法以及换元法等，至于选择哪一解题方法，需要根据方程的特点进行选择．
21.【答案】解：根据题意得，
解得；
取，则方程变形为，解得，．
【解析】利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；
在中的的范围内取，方程变形为，然后利用因式分解法解方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
22.【答案】证明：，，，
．
无论取何值时，，即，
原方程总有两个实数根；
解：，即，
，．
，且该方程的两个实数根的差为，
，
．
【解析】根据方程的系数，结合根的判别式可得出，利用偶次方的非负性可得出，即，再利用“当时，方程有两个实数根”即可证出结论；
利用因式分解法求出，由题意得出的方程，解方程则可得出答案．
本题考查了根的判别式、以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有实数根”；利用因式分解法求出方程的解．
23.【答案】
【解析】解：根据题意知，每天将销售件；
故答案是：；
根据题意，得．
整理，得．
解得，．
因为让顾客得到更大实惠，
所以符合题意．
答：每个挂件应降价元．
根据“平均每天销售件，每个挂件降价元，则每天可多售出件”列出代数式即可；
设每件应降价元，根据每件服装的盈利原来的销售量增加的销售量，列出方程，求出的值，计算得到降价多的数量即可得出答案．
此题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据每天盈利得到相应的等量关系，列出方程．得到现在的销售量是解决本题的难点．
24.【答案】解：设平均下降率为，
依题意，得．
解得，不合题意，舍去．
答：平均下降率为．
设单价应降低元，则每个的销售利润为元，每天可售出个，
依题意得：．
整理，得．
解得，．
为了减少库存，
，
答：单价应降低元．
【解析】设平均下降率为，利用年该类电脑显卡的出厂价年该类电脑显卡的出厂价下降率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
设单价应降低元，则每个的销售利润为元，每天可售出个，利用每天销售该电脑显卡获得的利润每个的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25.【答案】解：设降价后的销售单价为元，则降价后每天可售出个，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：．
，符合题意．
答：这种电子产品降价后的销售单价为元时，公司每天可获利元．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设降价后的销售单价为元，则降价后每天可售出个，根据总利润每个产品的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
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