2021-2022学年四川省甘孜州高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

2021-2022学年四川省甘孜州高二（下）期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 已知集合，集合，则(    )

A.  B.
C.  D.

2. 已知为虚数单位，复数，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知条件：，条件：，则是的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 双曲线的方程为，则该双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 等差数列的前项和为，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若变量、满足约束条件，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 要得到函数的图象，只需将函数的图象(    )

A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位

9. 函数的大致图象为(    )

A.  B.
C.  D.

10. 若直线与圆相交于，两点，且其中为原点，则的值为(    )

A. 或 B.  C. 或 D.

11. 一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为，则该几何体的外接球的表面积为(    )

A.
B.
C.
D.

12. 已知函数，若关于的方程有四个不相等实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 设函数，则______．
14. 已知向量，则与夹角的余弦值为______．
15. 在中，，，且的面积为，则边长为______．
16. 抛物线的焦点为，直线：与抛物线分别交于，两点点在第一象限，则的值等于______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知各项都为正数的等比数列前项和为，且满足．
    求数列的通项公式；
    设，求数列的前项和．
18. 为了迎接年成都第届世界大学生夏季运动会，普及大运知识，某校开展了“大运”知识答题活动，现从参加活动的学生中随机抽取了名学生，将他们的比赛成绩满分为分分为四组：，，，，得到的频率分布直方图如图所示，将成绩在内定义为“优秀”，成绩低于分为“非优秀”
    求的值：并根据答题成绩是否优秀，利用分层抽样的方法从这名学生中抽取名，再从这名学生中随机抽取名，求抽取的名学生的成绩中恰有一名优秀的概率；
    请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为答题成绩是否优秀与性别有关？

参考公式及数据：，．

19. 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上．
    若为的中点，证明：平面；
    若，，三棱锥的体积为，试求：的值．

20. 已知椭圆：与轴的正半轴交于点，且离心率．
    求椭圆的方程；
    若直线过点与椭圆交于，两点，求面积的最大值并求此时的直线方程．
21. 已知函数
    求函数在点处的切线方程；
    是否存在实数，都有恒成立，若存在求出实数的最小值，若不存在说明理由．
22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，在以为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为
    求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
    若直线与轴的交点为，直线与曲线的交点为，，求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，集合，
则．
故选：．
利用交集定义直接求解．
本题考查集合的运算，交集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：若条件：成立，则条件：不成立，
反之若条件：成立，则条件：成立，是的必要不充分条件，
故选：．
运用充要条件的概念直接判断．
本题考查了充要条件的概念，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：双曲线方程为，可得，，
所以双曲线的离心率为：．
故选：．
直接利用双曲线的标准方程，转化求解离心率即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：数列为等差数列，
，
，
故选：．
利用等差数列的性质得到，再利用等差数列的前项和公式，求解即可．
本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前项和公式，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由，
 得，，即，
得．
故选：．
由已知可得，两边平方即可求得．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与倍角公式的应用，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

由图可知，，由，得，由图可知，当直线过时，
直线在轴上的截距最大，有最小值为．
故选：．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

由条件根据函数的图象变换规律，可得结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．

【解答】

解：由于函数，
将函数的图象向左平移个单位长度，可得函数的图象，
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：要使函数有意义，则，得，
是偶函数，则关于轴对称，则关于对称，排除，，
当，，排除，
故选：．
判断函数的对称性，利用当，，进行判断排除即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数对称性，函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键．难度不大．
 

10.【答案】 

【解析】解：与圆相交于点，设，
又，圆心到直线的距离，
解得，，
故选：．
由已知可得，圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式列式求解．
本题考查直线和圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用．是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，
如图所示：

所以，解得．
设四棱锥的外接球的半径为，
所以，
所以，
故选：．
首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出四棱锥体的外接球的半径，最后求出球的表面积．
本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，四棱锥的外接球的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
 

12.【答案】 

【解析】解：当时，，，
令，解得；令，解得；
所以在上递增，在递减，，
且当时，，
作出函数的图象如下：

关于的方程有四个不相等实数根，
令，则有两个不等的实根，，
且，，
又，
所以，
解得，
所以关于的方程有四个不相等实数根时，
故选：．
先作出的图象，由图象可得关于的方程有四个不相等实数根，令，则有两个不等的实根，，且，，进而有，求解即可．
本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想，作出图象是解答本题的关键，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，函数，则，
则；
故答案为：．
根据题意，由函数的解析式计算可得答案．
本题考查函数值的计算，涉及分段函数的性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由，知，，，
所以，，
所以与夹角的余弦值为．
故答案为：．
由，，结合平面向量数量积的坐标运算，得解．
本题考查平面向量的夹角的求法，熟练掌握平面向量数量积的定义及其坐标运算是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为，
由正弦定理得，
因为且的面积，
所以，，
由由余弦定理得．
故答案为：．
由已知结合正弦定理及三角形面积公式先求出，，然后结合余弦定理可求．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：直线：的方程可化为：，
联立方程组，消元可得：，
设，两点坐标分别为，，
解得：，，
，，
．
故答案为：．
联立方程组，求出，的横坐标，得出，，从而可求得的值．
本题考查了抛物线的定义与性质，属中档题．
 

17.【答案】解：设等比数列的公比为，
等比数列，，
或，
，，
又，
，
，
；
，
，
． 

【解析】设等比数列的公比为，由题意可得，从而求出与即可得到的通项公式；
易知，从而利用裂项相消求和法即可求出．
本题考查等比数列的通项公式与裂项相消求和法，考查学生逻辑推理和数学运算的能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：由题意可知，，解得 ，
这  名学生中成绩非优秀的有 名，
所以抽取的  名学生中成绩非优秀的有 名，成绩优秀的有名，
记成绩优秀的  名学生为，，，成绩非优秀的  名学生为，，
从这  名学生中随机抽取  名，有 ，，，，，，，，，，共  种情况，
其中这  名学生的成绩恰有一名优秀共有  种情况，
所以这  名学生的成绩恰有一名优秀的概率为 ．
补充完整的 列联表如下表所示：

因为的观测值，
所以没有 的把握认为答题成绩是否优秀与性别有关． 

【解析】根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，求出，再结合列举法，以及古典概型的概率公式，即可求解．
根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
本题主要考查独立性检验公式，考查计算能力，属于基础题．
 

19.【答案】证明：连接 交于，连接，为矩形，
为的中点，
又 为的中点，
，平面，平面，
平面．

解：由题设 ，的面积为．
棱锥的体积为，
到平面的距离满足，即．
平面，平面平面，
过在平面内作，垂足为，
则平面，而平面，于是．
，：：．
则 ：：． 

【解析】连接交于，连接，可得，再由线面平行的判定可得平面；
由题设，求出的面积，结合棱锥的体积为，求得到平面的距离，再证明平面平面，过在平面内作，垂足为，则平面，可得，结合的长度可得：的值．
本题考查空间中点、线、面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，属中档题．
 

20.【答案】解：椭圆：与轴的正半轴交于点，
可得，
又离心率，可得，
所以，
椭圆的方程为：；
当直线 的斜率为  时，，，三点共线，显然不满足题意，
当直线 的斜率不为  时，
设直线 的方程为：，设，，
联立，
整理可得：，
显然成立，且，，
所以，
所以，
令，
则，
令，单调递增，所以时，最小，且，
所以，且这时，即直线的方程为：，
即面积的最大值为，此时的直线方程． 

【解析】由题意可得的值，再由离心率可得的值，进而求出的值，求出椭圆的方程；
设直线的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，进而求出，的纵坐标之差的绝对值，代入三角形的面积公式，换元，由函数的单调性可得面积的最大值，并求出此时的直线的方程．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，换元法求函数的最值问题，属于坐地铁．
 

21.【答案】解：，，切点为，
又，
，
切线方程为 ．

，
，
令 ，
，
令 ，
在单调递减，
，
，
，
使得 ，
即 ，
当 ，，，单调递增，
当 ，，，单调递减，


，
，
，
的最小值为． 

【解析】根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程；
分离变量可得，结合零点存在定理可确定的正负，由此可得单调性，确定，根据的范围可得，由此可得的最小值．
本题考查理由导数求函数的最值，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：直线的参数方程为，转换为普通方程为；
曲线的极坐标方程为，

，
．
将直线的参数方程为，
代入，得到，
故，；
故． 

【解析】直接利用转换关系，在直线的参数方程和普通方程之间进行转换；进一步把曲线的极坐标方程为转换为直角坐标方程；
利用直线和曲线的位置关系整理得，进一步利用根和系数的关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．