2022-2023学年四川省乐山市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年四川省乐山市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.关于简单随机抽样，下列说法错误的是( )
A. 它是从总体中逐个随机抽取
B. 被抽取样本的总体可以是无限的
C. 它是等可能抽取的
D. 样本抽取可以是放回抽样也可以是不放回抽样
2.已知a=(6,3)，b=(m,2)，且a//b，则m=( )
A. 4B. 2C. 1D. −1
3.若z=2i1−i，则z−=( )
A. i−1B. i+1C. 1−iD. −1−i
4.两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验最可能是( )
A. 抛一枚硬币，正面朝上的概率
B. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
C. 从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是红球的概率
D. 从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率
5.已知α是第二象限角，那么α2是( )
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第二或第四象限角D. 第一或第三象限角
6.下列说法正确的是( )
A. 若a=b，则3a>2bB. 若a和b都是单位向量，则a=b
C. 若a//b，b//c，则a//cD. 若|a−b|=|a|−|b|，则a//b
7.已知α∈(π2,π)，且sin(α+π3)=1213，则sin(π6−α)+sin(2π3−α)=( )
A. 713B. −1713C. −713D. 1713
8.将函数y=2sin(x+π2)的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，得到函数y=f(x)的图象，若f(x)在区间[t,t+π4]上的最大值为M，最小值为N，则M−N的最小值为( )
A. 1B. 2− 2C. 2−12D. 2− 22
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法中正确的是( )
A. 数据1，1，2，3，4，4的众数是1，4
B. 数据2，3，4，5，6，7的中位数是4，5
C. 一组数据的中位数、众数、平均数可能是同一数
D. 3个数据的平均数是5，另外4个数据的平均数是4，则这7个数据的平均数是3×5+4×47
10.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则( )
A. 乙发生的概率为12B. 丙发生的概率为12
C. 甲与丁相互独立D. 丙与丁互为对立事件
11.已知平面向量a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)
B. (a+b)⋅(a−b)=|a|2−|b|2
C. 若a⋅c=a⋅b，a≠0，则b=c
D. |a+b|=|a−b|，则a⊥b
12.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学函数为y=Asinωx，其中A影响音的响度和音长，ω影响音的频率，响度与振幅有关，振幅越大，响度越大；音调与声波的振动频率有关，频率低的声音低沉.平时我们听到的音乐都是由许多音构成的复合音，假设我们听到的声音函数是f(x)=sinx+12sin2x+13sin3x+⋅⋅⋅+1nsinnx(n>3).则下列说法正确的有( )
A. f(x)是偶函数
B. f(x)的最小正周期可能为π
C. 若声音甲的函数近似为f(x)=sinx+13sin3x，则声音甲的响度一定比纯音h(x)=12sin2x的响度大
D. 若声音乙的函数近似为g(x)=sinx+12sin2x，则声音乙一定比纯音m(x)=13sin3x低沉
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.计算：|(3−4i)2|=______.
14.若sinα=45,α∈(π2,π)，则cs(α−π4)=______.
15.王老师为了了解本班学生每周购买零食的支出情况，利用分层抽样抽取了一个10人的样本，统计结果如表：
则该班学生每周购买零食的支出的总方差为______.
16.在△ABC中，AC=BC=1，AB= 3，且CE=xCA，CF=yCB，其中x，y∈(0,1)，且x+4y=1，若M，N分别为线段EF，AB的中点，则线段MN的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知tanα=2，计算下列各式的值：
(1)2sinα+csαsinα−3csα；
(2)sinα(sinα+csα).
18.(本小题12分)
已知向量a，b，若|a|=1，|b|=2，a⋅b=1.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a−2b|的值.
19.(本小题12分)
某社区就该社区居民的月收入(单位：千元)情况调查了1000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[2.5,3)内.
(1)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，按月收入再从这1000人中用分层随机抽样的方法抽出100人进行下一步分析，则月收入在[3,3.5)内的应抽取多少人？
(2)估计该社区居民的月收入的中位数；
(3)假设同组中的数据用该组的中点值代替，估计该社区居民月收入的平均数.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=3sinxcsx− 3cs2x+ 32.
(1)求y=f(x)的单调增区间；
(2)当x∈[π6,3π4]时，求y=f(x)的值域.
21.(本小题12分)
为了庆祝“五四”青年节，某班组织了一次学生爱国主义知识竞赛，由甲乙两队参与竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答问题正确的概率均为13，乙队每人回答问题正确的概率分别为12，13，14，且两队各人回答正确与否相互之间没有影响.
(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率；
(2)求甲队总得分2分且乙队总得分1分的概率.
22.(本小题12分)
已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c= 3，且_____.
(1)求角C；
(2)求△ABC面积的取值范围.
在①a2+b2−ab=3，②2ccsC=acsB+bcsA，这两个条件中任选一个，补充在横线上，并解答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：简单随机抽样中被抽取样本的总体的个数有限，
它是从总体中逐个随机抽取，样本抽取可以是放回抽样也可以是不放回抽样，
简单随机抽样是一种等可能抽样，即每个个体被抽取的可能性相等，
故A、C、D正确，B错误．
故选：B.
根据简单随机抽样的特点判断即可．
本题主要考查了简单随机抽样的特点，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由题意得6×2−3m=0，解得m=4.
故选：A.
根据向量平行列出方程，求出m=4.
本题主要考查平面向量共线的性质，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因为z=2i1−i=2i(1+i)(1−i)(1+i)=2i−22=−1+i，
则z−=−1−i.
故选：D.
先利用复数的四则运算进行化简，然后结合共轭复数的概念可求．
本题主要考查了复数的运算及共轭复数的概念，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，
对于A，抛一枚硬币，正面朝上的概率为12，故此选项不符合题意；
对于B，掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为16，故此选项不符合题意；
对于C，从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是红球的概率为23，故此选项不符合题意；
对于D，从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为13，故此选项符合题意，
故选：D.
根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者为正确答案．
本题主要考查了利用频率估算概率，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：∵α是第二象限角，∴2kπ+π2<α<2kπ+π，k∈z，
∴kπ+π4<α2当k取偶数(如0)时，α2是第一象限角，当k取奇数(如1)时，α2是第三象限角，
故选：D.
用不等式表示α是第二象限角，将不等式两边同时除以2，即得α2的取值范围(用不等式表示的)，分别讨论当k取偶数、奇数时，α2所在的象限．
本题考查象限角的表示方式，利用了不等式的性质，体现了分类讨论的数学思想．
6.【答案】D
【解析】解：因为向量不能比较大小(除非相等)，故A错误，
单位向量模都为1，方向任意，故B错误，
当b=0时，a和c可能不平行，故C错误，
因为|a−b|=|a|−|b|，所以|a−b|2=(|a|−|b|)2，即a2−2a⋅b+b2=|a|2−2|a||b|+|b|2，
所以a⋅b=|a||b|，又a⋅b=|a||b|cs⟨a,b⟩，则cs⟨a,b⟩=1，
因为0≤⟨a,b⟩≤π，所以⟨a,b⟩=0，则a//b，故D正确．
故选：D.
由向量不能比较大小判断A；举反例判断B；由b=0时判断C；利用数量积的运算与定义求得⟨a,b⟩=0，从而判断D.
本题考查的知识要点：向量的定义，向量的模，向量的共线，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：因为α∈(π2,π)，且sin(α+π3)=1213，则(α+π3)∈(56π,43π)，则cs(α+π3)=− 1−sin2(α+π3)=−513，
所以sin(π6−α)=sin[π2−(α+π3)]=cs(α+π3)=−513，
且sin(2π3−α)=sin[π−(α+π3)]=sin(α+π3)=1213，
所以sin(π6−α)+sin(2π3−α)=−513+1213=713.
故选：A.
根据题意，根据同角的平方关系结合分别求得sin(π6−α)与sin(2π3−α)，即可得到结果．
本题主要考查运用诱导公式化简求值，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：因为y=2sin(x+π2)=2csx，
将y=2csx的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，得到函数y=f(x)=2cs2x，
则f(x)的最小正周期T=2π2=π，令2x=kπ，k∈Z，解得x=kπ2，k∈Z，
所以f(x)的对称轴方程为x=kπ2，k∈Z，
又区间[t,t+π4]的长度为π4，是最小正周期的14，
由余弦曲线的形状可知，当x=t与x=t+π4关于直线x=kπ2，(k∈Z)对称时，M−N最小，
取对称轴x=0，则t=−π8，
此时f(x)在[−π8,0]上单调递增，在[0,π8]上单调递减，
此时f(x)在区间[−π8,π8]上的最大值为f(0)=2，
最小值为f(−π8)=f(π8)=2csπ4= 2，
故M−N的最小值为2− 2.
故选：B.
根据题意，可得函数f(x)的解析式，求出f(x)的最小正周期与对称轴，结合条件可得当x=t与x=t+π4关于直线x=kπ2,k∈Z对称时，M−N最小，取对称轴x=0，求出t的值，再结合余弦函数的性质求出f(x)的最值，即可得解．
本题考查三角函数的性质的应用及其最值的求法，属于基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：对于A，数据1，1，2，3，4，4的众数是1，4，故A正确；
对于B，数据2，3，4，5，6，7的中位数是4+52=4.5，故B错误；
对于C，一组数据的中位数、众数、平均数可能是同一数，故C正确；
对于D，这7个数据的平均数是3×5+4×47，故D正确．
故选：ACD.
根据众数、中位数和平均数的定义，逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了众数、中位数和平均数的计算，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：对于A，基本事件总数为6×5=30，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”包含的基本事件数为5×3=15，
∵P(乙)=1530=12，∴正确，
对于B，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”包含的基本事件数为2×3×3=18，
∴P(丙)=1830=35，∴错误，
对于C，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”包含的基本事件数为2×3×2=12，
∴P(丁)=1230=25，∵P(甲丁)=3×230=15，∴P(甲)=12，
∴P(甲丁)−P(甲)P(丁)，∴正确，
对于D，∵丙与丁两个事件不会同时发生，是互斥事件，且并事件为必然事件，∴丙与丁互为对立事件，∴D正确．
故选：ACD.
根据相互独立事件，互斥事件的定义判断可得答案．
本题考查相互独立事件，对立事件的判断，属于中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：对于A：(a⋅b)⋅c=|a|⋅|b|cs⟨a,b⟩⋅c表示与c共线的一个向量，
a⋅(b⋅c)=a⋅|b|⋅|c|cs⟨b,c⟩表示与a共线的一个向量，但a,b不一定共线，故A错误；
对于B：(a+b)⋅(a−b)=a2−b2=|a|2−|b|2，故B正确；
对于C：因为a⋅c=a⋅b，即|a|⋅|c|cs⟨a,c⟩=|a|⋅|b|cs⟨a,b⟩，
又a≠0，所以|c|cs⟨a,c⟩=|b|cs⟨a,b⟩，
由平面向量的投影的概念知，向量c与b在向量a方向上的投影相同，
因此b=c不是一定成立，故C错误；
对于D：若|a+b|=|a−b|，则(a+b)2=(a−b)2，
即a2+2a⋅b+b2=a2−2a⋅b+b2，
所以a⋅b=0，则a⊥b，故D正确；
故选：BD.
根据数量积的运算律及定义逐一判断各选项即可．
本题考查平面向量的数量积的定义及运算律，属于基础题．
12.【答案】CD
【解析】解：对于A，因为f(−x)=sin(−x)+12sin(−2x)+13sin(−3x)+14sin(−4x)+⋯+1nsin(−nx)
=−(sinx+12sin2x+13sin3x+14sin4x+⋯+1nsinnx)=−f(x)，
所以函数f(x)=sinx+12sin2x+13sin3x+14sin4x+⋯+1nsinnx是奇函数，故A错误．
对于B，因为f(x+π)=sin(x+π)+12sin2(x+π)+13sin3(x+π)+⋯+1nsinn(x+π)
=−sinx+12sin2x−13sin3x+⋯+1nsinnx≠f(x)，故B错误．
对于C，因为f(π4)= 22+13× 22>12，即声音甲的振幅大于12，而纯音h(x)=12sin2x的振幅等于12，
故声音甲的响度一定比纯音h(x)=12sin2x的响度大，故C正确；
对于D，因为y=sinx的最小正周期为2π，y=12sin2x的最小正周期为π，
所以 g(x)=sinx+12sin2x的最小正周期为π，频率为1π，h(x)=12sin3x的频率为32π，1π<32π，
所以声音甲一定比纯音h(x)=12sin3x更低沉．故D正确．
故选：CD.
对于A，根据奇函数的定义判断，可知A错误；对于B，根据函数周期性的定义，可知B错误；对于C，比较振幅的大小，可知C正确；对于D，求出频率，比较大小，可知D正确．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图像和性质，真假命题的判断，属于中档题．
13.【答案】25
【解析】解：因为(3−4i)2=32−24i+(4i)2=−7−24i，
所以|(3−4i)2|= (−7)2+(−24)2=25.
故答案为：25.
根据复数代数形式的乘法运算化简(3−4i)2，再计算其模．
本题主要考查了复数的模长公式的应用，属于基础题．
14.【答案】 210
【解析】解：∵sinα=45,α∈(π2,π)，∴csα=− 1−sin2α=−35.
故cs(α−π4)=csαcsπ4+sinαsinπ4=−35× 22+45× 22= 210，
故答案为 210.
利用同角三角函数的基本关系求出csα的值，再利用两角差的余弦公式求出cs(α−π4)=csαcsπ4+sinαsinπ4 的值
本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于中档题．
15.【答案】11.2
【解析】解：根据题意，该班学生每周购买零食的支出的总均值为x−=66+4×35+46+4×40=37，
则其购买零食的支出的总方差为s2=66+4×[6+(35−x−)2]+46+4×[4+(40−x−)2]=610×[6+(35−37)2]+410×[4+(40−37)2]=11.2.
故答案为：11.2.
根据题意，利用分层抽样的方差计算公式即可求解．
本题考查分层抽样中总体的方差计算，注意方差的计算公式，属于基础题．
16.【答案】 77
【解析】解：连接CM、CN，如图所示：
因为等腰三角形ABC中，AC=BC=1，AB= 3，
由余弦定理得，csC=CA2+CB2−AB22CA⋅CB=1+1−32×1×1=−12，所以∠ACB=120∘，
所以CA⋅CB=|CA||CB|cs120∘=−12；
又因为CM是△CEF的中线，所以CM=12(CE+CF)=12(xCA+yCB)
同理，CN=12(CA+CB)，
由此可得MN=CN−CM=12(1−x)CA+12(1−y)CB，
所以MN2=14(1−x)2+12(1−x)(1−y)×(−1)+14(1−y)2；
又x+4y=1，∴1−x=4y，
代入上式得MN2=4y2−y(1−y)+14(1−y)2=214y2−32y+14；
又x，y∈(0,1)，
所以当y=−−322×214=17时，MN2取得最小值为17，所以线段MN取最小值 77，此时x=1−4y=37.
故答案为： 77.
根据平面向量的数量积运算求得CA⋅CB，利用中线的性质表示出CM、CN，由此求得MN，计算|MN|的最小值即可．
本题考查了平面向量数量积公式及其运算性质应用问题，也考查了二次函数求最值的应用问题，是中档题．
17.【答案】解：(1)2sinα+csαsinα−3csα=2tanα+1tanα−3=−5；
(2)sinα(sinα+csα)=sinα(sinα+csα)sin2α+cs2α=tan2α+tanαtan2α+1=65.
【解析】(1)同除以csα，化弦为切，进行计算；
(2)先添加分母sin2α+cs2α，同除以cs2α，化弦为切，进行计算．
本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵a⋅b=|a||b|csθ，|a|=1，|b|=2，a⋅b=1，
∴csθ=a⋅b|a||b|=12，又θ∈[0,π]，∴θ=π3.
(2)∵|a−2b|2=(a−2b)2=a2−4a⋅b+4b2，
∴|a−2b|= a2−4a⋅b+4b2= |a|2−4a⋅b+4|b|2= 13.
【解析】(1)根据夹角公式计算，即可得出答案；
(2)由|a−2b|= (a−2b)2，根据数量积的运算律计算，即可得出答案．
本题考查平面向量的数量积，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵(0.2+a+0.5+0.5+0.3+0.1)×0.5=1，
解得a=0.4，
∴月收入在[3,3.5)内的应抽取的人数为0.4×0.5×100=20人；
(2)∵0.2×0.5=0.1，0.4×0.5=0.2，0.5×0.5=0.25，
0.1+0.2=0.3<0.5，0.1+0.2+0.25=0.55>0.5，
∴样本数据的中位数落在[3.5,4)；
设中位数为x，则0.1+0.2+0.5×(x−3.5)=0.5，
解得x=3.9，
即该社区居民的月收入的中位数为3.9千元；
(3)样本平均数为(2.75×0.2+3.25×0.4+3.75×0.5+4.25×0.5+4.75×0.3+5.25×0.1)×0.5=3.9，
∴估计该社区居民月收入的平均数为3.9千元．
【解析】(1)根据直方图的性质先算出a的值后，然后用100乘以[3,3.5)上的频率即可；
(2)先估计中位数的范围，然后根据中位数的定义列方程求解；
(3)根据题干中平均数的定义计算．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了中位数和平均数的计算，属于基础题．
20.【答案】解：(1)根据f(x)=3sinxcsx− 3cs2x+ 32=32sin2x− 32cs2x= 3sin(2x−π6)，
令−π2+2kπ≤2x−π6≤2kπ+π2(k∈Z)，
整理得：−π6+kπ≤x≤π3+kπ(k∈Z)，
函数的单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ](k∈Z).
(2)由于x∈[π6,3π4]，故2x−π6∈[π6,4π3]，
所以sin(2x−π6)∈[− 32,1].
则 3sin(2x−π6)∈[−32, 3]，
所以f(x)∈[−32, 3].
【解析】(1)根据题意，先由三角恒等变换将函数f(x)化简，然后结合正弦型函数的单调区间即可得到结果；
(2)根据题意，由x的范围即可得到2x−π6的范围，再得到sin(2x−π6)的范围，即可得到结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)记“甲队总得分为3分”为事件A，“甲队总得分为1分”为事件B，
甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为P(A)=13×13×13=127.
甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人回答错误，
其概率为P(B)=13×(1−13)×(1−13)+(1−13)×13×(1−13)+(1−13)×(1−13)×13=49.
故甲队总得分为3分与1分的概率分别为127，49.
(2)记“甲队总得分为2分”为事件C，“乙队总得分为1分”为事件D，
事件C即甲队有2人答对，其余1人答错，
则P(C)=13×13×(1−13)+13×(1−13)×13+(1−13)×13×13=29.
事件D即乙队只有1人答对，其余2人答错，
则P(D)=12×(1−13)×(1−14)+(1−12)×13×(1−14)+(1−12)×(1−13)×14=1124.
由题得事件C与事件D相互独立，
所以甲队总得分2分且乙队总得分1分的概率为：P(CD)=P(C)P(D)=29×1124=11108.
【解析】(1)根据独立事件的概率乘法公式及互斥事件的概率公式计算可得；
(2)记“甲队总得分为2分”为事件C，“乙队总得分为1分”为事件D，根据独立事件与互斥事件的概率公式求出P(C)、P(D)，再根据独立事件的概率公式计算可得．
本题考查独立事件的概率乘法公式及互斥事件的概率公式，属于中档题．
22.【答案】解：(1)若选①：∵a2+b2−ab=3，c= 3，
∴a2+b2−ab=c2，∴csC=a2+b2−c22db=12，
∵C∈(0,π)，∴C=π3.
若选②：∵2ccsC=acsB+bcsA，
∴2sinCcsC=sinAcsB+sinBcsA，
∴2sinCcsC=sin(A+B)=sinC，
∴csC=12，∵C∈(0,π)，∴C=π3；
(2)由正弦定理知：asinA=bsinB=csinC=2，
∵a=2sinA，b=2sinB，
S=12absinC= 3sinAsinB，
∵A+B+C=π，
∴sinB=sin(A+C)=sin(A+π3)，
S= 3sinAsin(A+π3)= 3sinA(12sinA+ 32csA)
= 32sin2A+32sinAcsA=34sin2A− 34cs2A+ 34= 32sin(2A−π6)+ 34，
∴π6<2A−π6<5π6，∴sin(2A−π6)∈(12,1],
∴S∈( 32,3 34].
【解析】(1)若选①利用余弦定理计算可得；若选②利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；
(2)由正弦定理可得a=2sinA，b=2sinB，由面积公式转化为角A的三角函数，利用三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得．
本题考查正余弦定理的综合应用，属于中档题．人数
平均支出(元)
方差
男生
6
35
6
女生
4
40
4