高三数学一轮复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第五课时离散型随机变量的分布列和数字特征学案

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1．随机变量的有关概念
(1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．
(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量．
提醒：若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b为常数)也是随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
(2)离散型随机变量分布列的性质
①pi≥0，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝1．
[典例1] (1)(2024·山东青岛模拟)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝m23k(k＝1，2，3)，则m的值为( )
A．1738 B．2738 C．1719 D．2719
(2)(2023·河南联考三模)某随机变量ξ的概率分布如下表，且n－m＝0.1，则P(ξ≤2)＝ ( )
A.0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
(1)B (2)C [(1)由分布列的性质得P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝m×23＋m×232＋m×233＝38m27＝1，∴m＝2738，
故选B.
(2)由题意可得n-m=0.1， 0.1+m+0.2+n=1，
解得n=0.4，m=0.3，
故P(ξ≤2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝0.1＋0.3＋0.2＝0.6，故选C.]
分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
跟进训练1 (1)若随机变量X的分布列为
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[1，2]
C．(1，2] D．(1，2)
(2)随机变量X的分布列如下：
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．
(1)C (2)23 -13，13 [(1)由随机变量X的分布列知，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，故当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2].
(2)因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝13，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝23.又a＝13－d，c＝13＋d，根据分布列的性质，得0≤13－d≤23，0≤13＋d≤23，所以－13≤d≤13.]
考点二 离散型随机变量的分布列及
数字特征
1．离散型随机变量的均值与方差
离散型随机变量X的分布列为
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X )＝(x1－E(X ))2p1＋(x2－E(X ))2p2＋…＋(xn－E(X ))2pn＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，可以用来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，并称DX为随机变量X的标准差，记为σ(X)．
2．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．(a，b为常数)
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)
[常用结论]
均值与方差的关系：D(X )＝E(X 2)－(E(X ))2.
[典例2] (2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10 分，负方得0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望．
[解] (1)设甲学校在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为
P＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)
＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6.
(2)依题可知，X的可能取值为0，10，20，30，
P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，
P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44，
P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，
P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06.
所以X的分布列为
E(X )＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.
【教师备用】
一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．
(1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．
[解] (1)设部件1，2，3需要调整分别为事件A，B，C，
由题知P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3，各部件的状态相互独立，
所以部件1，2都不需要调整的概率P(A B)＝P(A)·P(B)＝0.9×0.8＝0.72，
故部件1，2中至少有1个需要调整的概率为1－P(A B)＝0.28.
(2)X可取0，1，2，3，
P(X＝0)＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝0.9×0.8×0.7＝0.504，
P(X＝1)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.398，
P(X＝3)＝P(ABC)＝0.1×0.2×0.3＝0.006，
P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝0.092，
所以X的分布列为
E(X )＝0×0.504＋1×0.398＋2×0.092＋3×0.006＝0.6.
离散型随机变量分布列的求解步骤
跟进训练2 (2024·四川雅安高三联考)为了促进消费，某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动：每位会员客户可在价值80元、90元、100元的A，B，C三种商品中选择一种使用积分进行兑换，每10积分可兑换1元．已知参加活动的甲、乙两位客户各有1 000积分，且甲兑换A，B，C三种商品的概率分别为12，13，16，乙兑换A，B，C三种商品的概率分别为12，16，13，且他们兑换何种商品相互独立．
(1)求甲、乙两人兑换同一种商品的概率；
(2)记X为两人兑换商品后的积分总余额，求X的分布列与期望．
[解] (1)由题可知，甲、乙两人兑换同一种商品的概率为12×12+13×16+16×13＝1336.
(2)由题意，兑换A，B，C三种商品所需的积分分别为800，900，1 000，
则X的取值可能为0，100，200，300，400，
P(X＝0)＝16×13＝118，
P(X＝100)＝16×16+13×13＝536，
P(X＝200)＝13×16+12×13+16×12＝1136，
P(X＝300)＝12×16+13×12＝14，
P(X＝400)＝12×12＝14，
则X的分布列为
E(X )＝0×118＋100×536＋200×1136＋300×14＋400×14＝250.
考点三 数字特征在决策中的应用
[典例3] (2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
[解] (1)由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列为
(2)由(1)可知当小明先回答A类问题时，E(X )＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.
当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100，
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，
P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，
所以Y的分布列为
则E(Y )＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.
因为E(Y )＞E(X )，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．
利用均值、方差进行决策的方法
均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此，当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，由此可对实际问题作出决策判断；若两个随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两个变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小，进而进行决策．
跟进训练3 某公司计划在2025年年初将200万元用于投资，现有两个项目供选择．项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13，115.
(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
(2)若市场预期不变，该投资公司按照(1)中选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资)，问大约在哪一年的年底总资产(利润＋本金)可以翻两番？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[解] (1)若投资项目一，设获利为ξ1万元，则ξ1的分布列为
∴E(ξ1)＝60×79＋(－30)×29＝40.
若投资项目二，设获利为ξ2万元，则ξ2的分布列为
∴E(ξ2)＝100×35＋0×115＋(－60)×13＝40.
∴E(ξ1)＝E(ξ2)．
D(ξ1)＝(60－40)2×79＋(－30－40)2×29＝1 400，
D(ξ2)＝(100－40)2×35＋(0－40)2×115＋(－60－40)2×13＝5 600，
∴D(ξ1)这说明虽然项目一、项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一进行投资．
(2)假设n年后总资产可以翻两番，依题意，200×1+40200n＝800，即1.2n＝4，
两边取对数，得n·lg 1.2＝lg 4，
n＝2lg22lg2+lg3-1≈7.610 6，2 025＋7＝2 032，
∴大约在2032年年底总资产可以翻两番．
课后习题(五十四) 离散型随机变量的分布列和数字特征
1．(北师大版选择性必修第一册P202习题6－2A组T3改编)某射击运动员射击所得的环数X的分布列如下表：
此运动员“射击一次命中的环数大于6且小于9”的概率为( )
A．0.43 B．0.37 C．0.51 D．0.79
B [由分布列的性质知a＝1－(0.06＋0.06＋0.09＋0.29＋0.22)＝0.28.
∴P(6＝0.09＋0.28＝0.37，故选B.]
2．(多选)(人教A版选择性必修第三册P70练习T1改编)设离散型随机变量X的分布列为
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有( )
A．q＝0.1
B．E(X )＝2，D(X )＝1.4
C．E(X )＝2，D(X )＝1.8
D．E(Y )＝5，D(Y)＝7.2
ACD [由离散型随机变量X的分布列的性质得：
q＝1－0.4－0.1－0.2－0.2＝0.1，
E(X )＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，
D(X )＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，
∵离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，
∴E(Y )＝2E(X )＋1＝5，D(Y)＝4D(X )＝7.2.故选ACD.]
3．(多选)(苏教版选择性必修第二册P115练习T2改编)设随机变量ξ的分布列为Pξ=k5＝ak(k＝1，2，3，4，5)，则( )
A．a＝115 B．P12<ξ<45＝15
C．P110<ξ<12＝215 D．P(ξ＝1)＝310
AB [对于选项A，∵随机变量ξ的分布列为Pξ=k5＝ak(k＝1，2，3，4，5)，∴Pξ=15＋Pξ=25＋Pξ=35＋Pξ=45＋P(ξ＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝115，故A正确；对于选项B，P12<ξ<45＝Pξ=35＝3×115＝15，故B正确；对于选项C，P110<ξ<12＝Pξ=15＋Pξ=25＝115＋2×115＝15，故C错误；对于选项D，P(ξ＝1)＝5×115＝13，故D错误．故选AB.]
4．(人教A版选择性必修第三册P69方差公式简化计算改编)已知离散型随机变量X的取值为有限个，E(X )＝72，D(X )＝3512，则E(X2)＝________．
916 [因为E(X )＝72，D(X )＝3512，
由D(X )＝E(X 2)－(E(X ))2，
得E(X2)＝D(X )＋(E(X ))2＝3512+722＝916.]
5．(2023·浙江宁波二模)已知随机变量X的分布列是
其中a≤2b≤6a，则E(X )的取值范围是( )
A．49，1 B．-29，13
C．13，59 D．-13，49
B [由题意可得a+13+b=1，a≥0， b≥0， a≤2b≤6a，解得29≤b≤12，
所以E(X )＝－a＋0×13＋b＝b－23＋b＝2b－23∈-29，13.故选B.]
6．(2024·河南洛阳一模)已知某离散型随机变量X的分布列如下：
若E(X )＝34，P(X≥1)＝712，则D(X )＝( )
A．1516 B．98 C．1916 D．54
C [由题意，得a＋b＋c＋13＝1，
所以a＋b＋c＝23①.
因为E(X )＝(－1)×a＋0×b＋1×c＋2×13＝34，所以－a＋c＝112②.
由P(X≥1)＝c＋13＝712，得c＝14，
代入①②，解得a＝16，b＝14.
所以D(X )＝-1-342×16 +0-342×14 +1-342×14 +2-342×13＝1916.故选C.]
7．(2024·河北统考模拟)为弘扬航天精神，M大学举办了“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书和奖品．为鼓励学生积极参加，学校后勤部给予一定的奖励：只参加了初赛的学生奖励50元的奖品，参加了复赛的学生再奖励100元的奖品．现有A，B，C三名学生报名参加了这次竞赛，已知A通过初赛、复赛的概率分别为12，13；B通过初赛、复赛的概率分别为23，12；C通过初赛和复赛的概率与B完全相同．记这三人获得后勤部的奖品总额为X元，则X的数学期望为( )
A．300元 B．1 0003元
C．350元 D．2 0003元
B [由题知X的所有可能取值为150，250，350，450，P(X＝150)＝12×13×13＝118，
P(X＝250)＝12×13×13＋2×12×23×13＝518，
P(X＝350)＝2×12×23×13+12×23×23＝49，
P(X＝450)＝12×23×23＝29，所以数学期望E(X )＝150×118＋250×518＋350×49＋450×29＝1 0003(元)．
故选B.]
8．(多选)(2024·济南外国语学校模拟)假定某射手每次射击命中的概率为34，且只有3发子弹．该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直射击到子弹用完．设耗用子弹数为X，则( )
A．目标被击中的概率为3132
B．PX=1＝34
C．EX＝2316
D．DX＝87256
BD [由题意可得，目标没有被击中的概率为143＝164，所以目标被击中的概率为1－164＝6364，A错误；
易知该射手每次射击未命中的概率为14，
X的所有可能取值为1，2，3，PX=1＝34，
PX=2＝14×34＝316，PX=3＝14×14＝116，
所以X的分布列为
EX＝1×34＋2×316＋3×116＝2116，
DX＝1-21162×34 +2-21162×316 +3-21162×116＝87256，BD正确，C错误．
故选BD.]
9．(2024·上海普陀模拟预测)一个盒子里有1个红球和2个绿球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出绿球的个数为X，则E(X )＝__________．
1 [由题意，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝13；P(X＝1)＝23×12＝13；P(X＝2)＝23×12＝13，
所以E(X )＝0×13＋1×13＋2×13＝1，故答案为：1.]
10．(2024·河南联考模拟)已知随机变量X的所有可能取值为1，2，3，其分布列为
若E(X )＝53，则P3－P1＝________．
－13 [因为E(X )＝P1＋2P2＋3P3＝53，①
且P1＋P2＋P3＝1，②
所以①－②×2可得，P1＋2P2＋3P3－2(P1＋P2＋P3)＝P3－P1＝－13，故答案为：－13.]
11．(2023·江西南昌二模)已知随机变量X的分布列为
则随机变量X2的数学期望E(X2)＝________．
0.6 [因为随机变量X的分布列为
所以随机变量X2的数学期望E(X2)＝(－1)2×0.2＋02×0.4＋12×0.4＝0.6，故答案为：0.6.]
12．(2024·山东潍坊高三模拟)某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研．项目A：通信设备．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%、损失20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为712，16，a.项目B：新能源汽车．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，c.经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获利润的均值也相等．
(1)求a，b，c的值；
(2)若将100万元全部投到其中的一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合适的项目．
[解] (1)依题意，得712+16＋a＝1,
所以a＝14.
设投入到项目A，B的资金都为x万元，随机变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获的利润，则X1和X2的分布列分别为
由分布列得E(X1)＝0.4x×712＋(－0.2x)×16＋0×14＝0.2x，
E(X2)＝0.3bx－0.1cx.
因为E(X1)＝E(X2)，所以0.3bx－0.1cx＝0.2x，
即0.3b－0.1c＝0.2.
又b＋c＝1，解得b＝34，c＝14.
所以a＝14，b＝34，c＝14.
(2)当投入100万元资金时，
由(1)知x＝100，
所以E(X1)＝E(X2)＝20，
D(X1)＝(40－20)2×712＋(－20－20)2×16＋(0－20)2×14＝600，
D(X2)＝(30－20)2×34＋(－10－20)2×14＝300.
所以D(X1)>D(X2)，这说明虽然项目A和项目B的平均收益相等，但项目B更稳妥，所以从投资回报稳定性的角度考虑，建议该投资公司选择项目B.
ξ
0
1
2
3
P
0.1
m
0.2
n
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
X
－1
0
1
P
a
b
c
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
X
0
10
20
30
P
0.16
0.44
0.34
0.06
X
0
1
2
3
P
0.504
0.398
0.092
0.006
X
0
100
200
300
400
P
118
536
1136
14
14
X
0
20
100
P
0.2
0.32
0.48
Y
0
80
100
P
0.4
0.12
0.48
ξ1
60
－30
P
79
29
ξ2
100
0
－60
P
35
115
13
X
5
6
7
8
9
10
P
0.06
0.06
0.09
a
0.29
0.22
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
X
－1
0
1
P
a
13
b
X
－1
0
1
2
P
a
b
c
13
X
1
2
3
P
34
316
116
X
1
2
3
P
P1
P2
P3
X
－1
0
1
P
0.2
0.4
0.4
X
－1
0
1
P
0.2
0.4
0.4
X1
0.4x
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