人教版高考数学一轮复习第7章不等式第3节基本不等式学案理含解析

第三节　基本不等式

‖知识梳理‖

1．基本不等式≤

(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0．

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

2．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．

(2)＋≥2(a，b同号)．

(3)ab≤(a，b∈R)．

(4)≥(a，b∈R)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

3．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

►常用结论

基本不等式的变形公式：

①a＋b≥2，ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立)(a>0，b>0)．

②a＋≥2(a>0)(当且仅当a＝1时，等号成立)；a＋≤－2(a<0)(当且仅当a＝－1时，等号成立)．

③＋≥2(a，b同号，当且仅当a＝b时，等号成立)；＋≤－2(a，b异号，当且仅当a＝－b时，等号成立)．

④2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立)．

⑤ ≥≥≥(a>0，b>0，当且仅当a＝b时，等号成立)．

⑥ab≤≤(a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立)．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)

(2)ab≤成立的条件是ab>0.(　　)

(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件. (　　)

(4)若a>0，则a3＋的最小值是2.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

二、走进教材

2．(必修5P99例1(2)改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)

A．80 B．77

C．81 D．82

答案：C

3．(必修5P100A组T2改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.

答案：25

三、易错自纠

4．(2019届阜阳模拟)下列结论正确的是(　　)

A．若a，b∈R，则＋≥2

B．若x<0，则x＋≥－2 ＝－4

C．若ab≠0，则＋≥a＋b

D．若x<0，则2x＋2－x>2

解析：选D　对于A，当ab<0时不成立，因此A选项不成立；对于B，若x<0，则x＋＝－≤－2＝－4，当且仅当x＝－2时，等号成立，因此B选项不成立；对于C，取a＝－1，b＝－2，＋＝－<a＋b＝－3，因此C选项不成立；对于D，若x<0，则2x>0，2－x>0，∴2x＋2－x>2＝2成立．故选D．

5．已知a>0，b>0，且＋＝1，则a＋2b的最小值是(　　)

A．3－2 B．3＋2

C．2 D．4

解析：选B　∵a>0，b>0，且＋＝1，则a＋2b＝(a＋2b)·＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当a＝＋1，b＝1＋时取等号．故选B．

6．(2019届沈阳模拟)已知实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则x＋y的最大值为________．

解析：因为x2＋y2－xy＝1，

所以x2＋y2＝1＋xy.

所以(x＋y)2＝1＋3xy≤1＋3×，当且仅当x＝y时等号成立，即(x＋y)2≤4，解得－2≤x＋y≤2.

所以x＋y的最大值为2.

答案：2

——多维探究

利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定值求其和的最小值，是每年高考的重点内容．

常见的命题角度有：(1)通过配凑法利用基本不等式求最值；(2)通过常数代换法利用基本不等式求最值；(3)通过消元法利用基本不等式求最值；(4)利用两次基本不等式求最值．

●命题角度一　通过配凑法利用基本不等式求最值

【例1】　(1)(2020届惠州调研)已知x＞，则函数y＝4x＋的最小值为________．

(2)函数y＝(x>1)的最小值为________．

[解析]　(1)当x＞时，y＝4x＋＝4x－5＋＋5≥2＋5＝7，当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号，即y＝4x＋的最小值为7.

(2)y＝

＝

＝

＝(x－1)＋＋2≥2＋2.

当且仅当(x－1)＝，即x＝＋1时，等号成立．

[答案]　(1)7　(2)2＋2

►名师点津

通过配凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点

配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．

●命题角度二　通过常数代换法利用基本不等式求最值

【例2】　(1)已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是(　　)

A．2 B．2

C．4 D．2

(2)已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________．

[解析]　(1)因为lg 2x＋lg 8y＝lg 2，所以lg(2x·8y)＝lg 2，所以2x＋3y＝2，所以x＋3y＝1.

因为x>0，y>0，所以＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝3y，即x＝，y＝时取等号．所以＋的最小值为4.故选C．

(2)由a＋2b＝3得a＋b＝1，

所以＋＝＝＋＋≥＋2 ＝.当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时取等号．

[答案]　(1)C　(2)

►名师点津

通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤

(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)．

(2)把确定的定值(常数)变形为1.

(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式．

(4)利用基本不等式求解最值．

●命题角度三　通过消元法利用基本不等式求最值

【例3】　已知正数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，则s＝的最小值为________．

[解析]　由条件得，x2＋y2＝1－z2＝(1－z)(1＋z)，0<z<1，0<1－z<1，则1＋z＝，于是s＝＝≥＝≥＝4，当且仅当x＝y，且z＝1－z，即z＝，x＝y＝时取等号．

[答案]　4

►名师点津

消元法求最值多适用于三元变量问题，即通过条件消去其中一元，保留其他二元后通过变形、构造、创设使用基本不等式求最值．

●命题角度四　利用两次基本不等式求最值

【例4】　(2019年天津卷)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________．

[解析]　＝＝＝2＋.由x＋2y＝5得5≥2，即≤，即xy≤，当且仅当x＝2y＝时等号成立．所以2＋≥2＝4，当且仅当2＝，即xy＝3时取等号，结合xy≤可知，xy可以取到3，故的最小值为4.

[答案]　4

►名师点津

利用两次基本不等式求最值的注意点

当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．

|跟踪训练|

1．(2019届常州调研)若实数x满足x>－4，则函数f(x)＝x＋的最小值为________．

解析：∵x>－4，∴x＋4>0，

∴f(x)＝x＋＝x＋4＋－4≥2－4＝2，当且仅当x＋4＝，即x＝－1时取等号．

故函数f(x)＝x＋的最小值为2.

答案：2

2．若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是________．

解析：因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，

所以y＝.

由即解得0<x<1.

所以x＋2y＝x＋＝＋≥2 ＝，

当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．

故x＋2y的最小值为.

答案：

【例5】　(2019届孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶的过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝

(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？

(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？

[解]　(1)当x∈[50，80)时，y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，∴当x＝65时，y有最小值，为×675＝9；当x∈[80，120]时，函数y＝12－单调递减，故当x＝120时，y有最小值，为10.因为9<10，所以该型号汽车的速度为65 km/h时，每小时耗油量最低．

(2)设总耗油量为l，由题意可知l＝y·，当x∈[50，80)时，l＝y·＝≥＝16，当且仅当x＝，即x＝70时，l取得最小值，最小值为16；当x∈[80，120]时，l＝y·＝－2为减函数，故当x＝120时，l取得最小值，最小值为10，因为10<16，所以当速度为120 km/h时，总耗油量最少．

►名师点津

利用基本不等式解决实际问题的3个注意点

(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．

(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．

(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．

|跟踪训练|

3．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)

A．60件 B．80件

C．100件 D．120件

解析：选B　若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是 元，仓储费用是 元，故总的费用是＋≥2 ＝20，当且仅当＝，即x＝80时取等号．故选B．

【例】　(2019届广东惠州三调)在△ABC中，点D是AC上一点，且＝4，P为BD上一点，向量＝λ＋μ(λ>0，μ>0)，则＋的最小值为(　　)

A．16 B．8

C．4 D．2

[解析]　由题意可知，＝λ＋4μ，又B，P，D三点共线，由三点共线的充分必要条件可得λ＋4μ＝1，又因为λ>0，μ>0，所以＋＝×(λ＋4μ)＝8＋＋≥8＋2＝16，当且仅当＝，即λ＝，μ＝时等号成立，故＋的最小值为16.故选A．

[答案]　A

►名师点津

利用基本不等式求最值常与向量、三角、直线与圆、数列等知识交汇考查，求解时注意交汇知识运用及等号成立条件的确定．

|跟踪训练|

(2019届广东汕尾3月联考)若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为(　　)

A．4 B．

C． D．6

解析：选B　把圆的一般方程化成标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆心为(－1，2)．∵圆心(－1，2)在直线ax－by＋2＝0上，∴a＋2b＝2(a>0，b>0)，∴＋＝(a＋2b)·＝×≥×5＋2＝.故选B．