![2022届高考数学一轮复习第六章不等式6.3基本不等式学案理含解析北师大版01](http://img-preview.51jiaoxi.com/3/3/12165655/0/0.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
![2022届高考数学一轮复习第六章不等式6.3基本不等式学案理含解析北师大版02](http://img-preview.51jiaoxi.com/3/3/12165655/0/1.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
![2022届高考数学一轮复习第六章不等式6.3基本不等式学案理含解析北师大版03](http://img-preview.51jiaoxi.com/3/3/12165655/0/2.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
2022届高考数学一轮复习第六章不等式6.3基本不等式学案理含解析北师大版
展开第三节 基本不等式
命题分析预测 | 学科核心素养 |
本节是高考的热点,主要考查利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等,常与函数结合命题,解题时要注意应用基本不等式的三个前提条件. | 本节通过基本不等式及其应用考查考生的数学运算核心素养. |
授课提示:对应学生用书第126页
知识点 基本不等式
1.基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.
(3)其中称为正数a,b的算术平均数,称为正数a,b的几何平均数.
2.利用基本不等式求最值
已知x>0,y>0,则
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2(简记:积定和最小).
(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是(简记:和定积最大).
• 温馨提醒 •
二级结论
1.三个重要的结论
(1)≥.
(2)+≥2(ab>0).
(3)≤≤≤ (a>0,b>0).
2.利用基本不等式求最值的两个常用结论
(1)已知a,b,x,y为正实数,若ax+by=1,则有+=(ax+by)=a+b++≥a+b+2=(+)2.
(2)已知a,b,x,y为正实数,若+=1,则有x+y=(x+y)=a+b++≥a+b+2=(+)2.
必明易错
1.使用基本不等式求最值时,“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.
2.“当且仅当a=b时等号成立”的含义是“a=b”是等号成立的充要条件,这一点至关重要,忽略它往往会导致解题错误.
3.连续使用基本不等式求最值,要求每次等号成立的条件一致.
1.(易错题)下列结论正确的个数为( )
①函数y=x+的最小值是2;
②函数f(x)=cos x+,x∈的最小值等于4;
③“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件;
④若a>0,则a3+的最小值为2;
⑤不等式a2+b2≥2ab与≥有相同的成立条件.
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:①当x<0时,y≤-2,故①错误;②cos x不可能为2,所以等号不可能成立,故②错误;③当x<0且y<0时,不等式+≥2也成立,故③错误;④2不是定值,故④错误;⑤a2+b2≥2ab对于a,b∈R都成立,而≥只有当a≥0,b≥0才成立,故⑤错误.
答案:A
2.设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为( )
A.80 B.77
C.81 D.82
解析:∵x>0,y>0,∴xy≤,∴xy≤81,当且仅当x=y=9时取等号,∴xy的最大值为81.
答案:C
3.(2021·济宁调研)若正数x,y满足+=1,则x+3y的最小值为( )
A.24 B.18
C.12 D.6
解析:由+=1得x+3y=(x+3y)=++6≥2+6=12,当且仅当=,且+=1,即x=6,y=2时等号成立,所以x+3y的最小值为12.
答案:C
4.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是 m2.
解析:设矩形场地的长为x m,宽为y m,则x+y=10,所以矩形场地的面积S=xy≤=25,当且仅当x=y=5时,S取得最大值25 m2.
答案:25
授课提示:对应学生用书第127页
题型一 利用基本不等式求最值
利用基本(均值)不等式求最值,一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值,或已知两个非负数的乘积为定值求其和的最小值,是每年高考的重点内容.常见的命题角度有: (1)通过配凑法求最值;(2)通过常数代换法求最值;(3)通过消元法求最值. |
考法(一) 通过配凑法求最值
[例1] (1)已知0<x<1,则x(4-3x)取得最大值时x的值为 ;
(2)函数y=(x>1)的最小值为________.
[解析] (1)x(4-3x)=·(3x)(4-3x)≤·=,
当且仅当 3x=4-3x,即x=时,取等号.
(2)y=
=
=
=(x-1)++2≥2+2.
当且仅当(x-1)=,即x=+1时,等号成立.
[答案] (1) (2)2+2
代数式最值的求解方法——配凑法
配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项、变系数、凑因子等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质在于代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键.
[注意] 变形的等价性及基本不等式应用的前提条件.
考法(二) 通过常数代换法求最值
[例2] (2021·湖北八校联考)已知x>0,y>0,且+=1,则x+y的最小值为( )
A.12 B.16
C.20 D.24
[解析] 法一:由题意x+y=(x+y)=1+++9≥1+2+9=16,当且仅当时取等号.
法二:由+=1得9x+y-xy=0,即(x-1)(y-9)=9,可知x>1,y>9,所以x+y=(x-1)+(y-9)+10≥2+10=16,当且仅当即时取等号.
[答案] B
常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).
(2)把确定的定值(常数)变形为1.
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式.
(4)利用基本不等式求解最值.
考法(三) 通过消元法求最值
[例3] (1)(2021·上饶联考)已知正数a,b,c满足2a-b+c=0,则的最大值为( )
A.8 B.2
C. D.
(2)已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是________.
[解析] (1)因为a,b,c都是正数,且满足2a-b+c=0,所以b=2a+c,所以===≤=,当且仅当c=2a>0时等号成立.
(2)由x2+2xy-3=0,得y==-x,则2x+y=2x+-x=+≥2=3,当且仅当x=1时,等号成立,所以2x+y的最小值为3.
[答案] (1)C (2)3
消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解.
[题组突破]
1.(2021·正定期中测试)若正实数a,b满足+=,则ab的最小值为( )
A. B.2
C.2 D.4
解析:∵+=≥2,当且仅当b=2a时等号成立,∴ab≥2,ab的最小值为2.
答案:C
2.若a>0,b>0,lg a+lg b=lg(a+b),则a+b的最小值为( )
A.8 B.6
C.4 D.2
解析:由lg a+lg b=lg(a+b),得lg(ab)=lg(a+b),即ab=a+b,则有+=1,所以a+b=(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时等号成立,所以a+b的最小值为4.
答案:C
3.(2021·阜阳模拟)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b+的最小值为________.
解析:因为直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以+=1,所以b=>0,所以a>1,所以a+b+=(a-1)++2≥4+2=6,当且仅当a=3时等号成立,所以a+b+的最小值是6.
答案:6
题型二 基本不等式的实际应用
[例] (2021·泰安调研)某公司生产的商品A,当每件售价为5元时,年销售10万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销量相应减少1万件,要使销售收入不低于原销售收入,该商品的销售价格最多可提高多少元?
(2)为了扩大该商品的影响力,公司决定对该商品的生产进行技术革新,将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元,公司拟投入(x2+x)万元作为技改费用,投入万元作为宣传费用.试问:技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时,才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和?
[解析] (1)设商品的销售价格提高a元,
则(10-a)(5+a)≥50,解得0≤a≤5.
所以商品的价格最多可以提高5元.
(2)由题意知,技术革新后的销售收入为mx万元,
若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和,只需满足mx=(x2+x)++50(x>5)即可,此时m=x++≥2+=,
当且仅当x=,即x=10时,取“=”.
故销售量至少应达到万件时,才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和.
利用基本不等式求解实际问题的两个注意点
(1)利用基本不等式解决实际问题时,应明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用基本不等式求解.
(2)在求所列函数的最值时,若用基本不等式时,等号取不到,可利用函数单调性求解.
[对点训练]
如图,某生态园将一个三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树,已知角A为120°,AB,AC的长度均大于200米,现在边界AP,AQ处建围墙,在PQ处围竹篱笆.
(1)若围墙AP,AQ总长度为200米,如何围可使得三角形地块APQ的面积最大?
(2)已知AP段围墙高1米,AQ段围墙高1.5米,造价均为每平方米100元.若围围墙用了20 000元,问如何围可使竹篱笆用料最省?
解析:设AP=x米,AQ=y米.
(1)x+y=200,△APQ的面积S=xy·sin 120°=xy.
所以S≤=2 500.
当且仅当即x=y=100时取“=”.
即AP与AQ的长度都为100米时,可使得三角形地块APQ的面积最大.
(2)由题意得100×(x+1.5y)=20 000,
即x+1.5y=200.要使竹篱笆用料最省,
只需其长度PQ最短,
所以PQ2=x2+y2-2xycos 120°=x2+y2+xy=(200-1.5y)2+y2+(200-1.5y)y=1.75y2-400y+40 000=1.75+,
当y=时,PQ有最小值,此时x=.
即AP长为米,AQ长为米时,可使竹篱笆用料最省.
基本不等式应用中的核心素养
数学运算——基本不等式的创新交汇问题
基本不等式求最值涉及交汇知识较多,应用广泛,多涉及三角向量、数列、立体几何、解析几何等最值与范围的求法.
[例] 如图,在△ABC中,=2,过点M的直线分别交射线AB,AC于不同的两点P,Q,若=m,=n(m,n∈R),则mn+m的最小值为( )
A.1 B.
C. D.2
[解析] 连接AM(图略),由题知=+=+=+,=m,=n,且Q,P,M三点共线,所以存在实数λ使得=λ+(1-λ)·,即有+=(1-λ)m+λn,所以=(1-λ)m,=λn,解得m=,n=.因为点M在点P,Q之间,所以λ∈(0,1),所以mn+m=·+==≥=2,当且仅当1+3λ=,即λ=时等号成立,mn+m取得最小值2.
[答案] D
[题组突破]
1.(2021·吉安期末测试)已知函数f(x)=,则f(x)的最大值为________.
解析:设t=sin x+2,则t∈[1,3],则sin2x=(t-2)2,则g(t)==t+-4(1≤t≤3),由“对勾函数”的性质可得g(t)在[1,2)上为减函数,在(2,3]上为增函数,又g(1)=1,g(3)=,所以g(t)max=g(1)=1.即f(x)的最大值为1.
答案:1
2.设等差数列{an}的公差是d,其前n项和是Sn,若a1=d=1,则的最小值是________.
解析:an=a1+(n-1)d=n,Sn=,
所以==≥
=,
当且仅当n=4时取等号.
所以的最小值是.
答案:
(新高考)高考数学一轮考点复习1.4《基本不等式》学案 (含详解): 这是一份(新高考)高考数学一轮考点复习1.4《基本不等式》学案 (含详解),共19页。
高考数学(理数)一轮复习学案7.4《基本不等式及其应用》(含详解): 这是一份高考数学(理数)一轮复习学案7.4《基本不等式及其应用》(含详解),共25页。
高考数学(理数)一轮复习学案6.3《等比数列》(含详解): 这是一份高考数学(理数)一轮复习学案6.3《等比数列》(含详解),共8页。