新教材高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第3节随机事件的概率学案含解析

第三节　随机事件的概率

一、教材概念·结论·性质重现

1．样本点和样本空间

随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间．一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．

2．概率与频率

一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．

3．事件的关系与运算

4.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率P(Ω)＝1.

(3)不可能事件的概率P(∅)＝0.

(4)①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

②如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．

③如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)．

④设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．

5．事件的相关概念

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)事件发生的频率与概率是相同的． (×)

(2)随机事件和随机试验是一回事． (×)

(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值． (√)

(4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生． (√)

(5)若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1.(×)

(6)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件． (√)

2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是(　　)

A．至多有一次中靶

B．两次都中靶

C．只有一次中靶

D．两次都不中靶

D　解析：“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．

3．将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是(　　)

A．必然事件  B．随机事件  C．不可能事件  D．无法确定

B　解析：抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0～10，都有可能发生，所以正面向上5次是随机事件．

4．把语文、数学、英语三本书随机分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，记事件A为“甲分得语文书”，事件B为“乙分得数学书”，事件C为“丙分得英语书”，则下列说法正确的是(　　)

A．A与B是不可能事件 

B．A＋B＋C是必然事件

C．A与B不是互斥事件 

D．B与C既是互斥事件也是对立事件

C　解析：事件A，事件B，事件C都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A，B两项错误；事件A，事件B可能同时发生，故事件A与事件B不是互斥事件，C项正确；事件B与事件C既不互斥，也不对立，D项错误．故选C．

5．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：

则样本数据落在区间[10,40)的频率为0.45.

6．一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是________．

　解析：先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率．因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此所求概率为.

考点1　随机事件的关系——基础性

(1)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”(　　)

A．是对立事件   B．是不可能事件

C．是互斥但不对立事件   D．不是互斥事件

C　解析：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件．

(2)设条件甲：事件A与事件B是对立事件，结论乙：概率满足P(A)＋P(B)＝1，则甲是乙的(　　)

A．充分不必要条件 

B．必要不充分条件

C．充要条件 

D．既不充分也不必要条件

A　解析：若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件．再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.投掷一枚硬币3次，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不一定是对立事件．如事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”，则P(A)＝，P(B)＝，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件．

1．(2020·菏泽一中高三月考)同时投掷两枚硬币一次，互斥而不对立的两个事件是(　　)

A．“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”

B．“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”

C．“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”

D．“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”

C　解析：在A中，“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1枚正面朝上”不发生时，“2枚都是反面朝上”一定发生，故A中的两个事件是对立事件；在B中，当两枚硬币恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上时，“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”能同时发生，故B中的两个事件不是互斥事件；在C中，“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C中的两个事件是互斥而不对立事件；在D中，当2枚硬币同时反面朝上时，“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”能同时发生，故D中的两个事件不是互斥事件．故选C．

2．口袋里装有6个形状相同的小球，其中红球1个，白球2个，黄球3个．从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球中至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”．下列判断中正确的序号为________．

①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．

①④　解析：显然A与D是对立事件，①正确；当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，②不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，③不正确；C∪E为必然事件，P(C∪E)＝1，④正确；P(B)＝，P(C)＝，⑤不正确．

考点2　随机事件的频率与概率——基础性

如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：

(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；

(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；

(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．

解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，

所以用频率估计相应的概率p＝＝0.44.

(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，

故由调查结果得频率为

(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，

P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5.

因为P(A1)＞P(A2)，所以甲应选择L1.

同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，

P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9.

因为P(B1)＜P(B2)，所以乙应选择L2.

1．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，正面朝上的频数为51次，则正面朝上的频率为(　　)

A．49  B．0.5  C．0.51  D．0.49

C　解析：由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为＝0.51.

2．(2020·潍坊高三模拟)某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：

现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是(　　)

A．该校教职工具有本科学历的概率低于60%

B．该校教职工具有研究生学历的概率超过50%

C．该校教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%

D．该校教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%

D　解析：对于选项A，该校教职工具有本科学历的概率p＝＝＝62.5%>60%，故A错误；对于选项B，该校教职工具有研究生学历的概率p＝＝＝37.5%<50%，故B错误；对于选项C，该校教职工的年龄在50岁以上的概率p＝＝≈8.3%<10%，故C错误；对于选项D，该校教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率p＝＝＝12.5%>10%，故D正确．故选D．

考点3　互斥事件与对立事件的概率——综合性

经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：

求：(1)至多2人排队等候的概率；

(2)至少3人排队等候的概率．

解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．

(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.

(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.

(方法二)记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.

1．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋发生的概率为(　　)

A．  B．  C．  D．

C　解析：抛掷一个骰子的试验有6种等可能结果．依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，

所以P()＝1－P(B)＝1－＝.

因为表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A与互斥，从而P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.

2．(2020·重庆八中高三模拟)某高校数学学院安排4名研究生在开学日当天随机到三个不同的车站迎接新生，要求每个车站至少有一人，则其中小李和小明不在同一车站的概率为(　　)

A．  B．  C．  D．

C　解析：4人到3个车站的方法总数为CA＝36，其中小李和小明在同一车站的方法数为A＝6.因此小李和小明在同一车站的概率是p′＝＝，小李和小明不在同一车站的概率为p＝1－p′＝.故选C．