2021-2022学年河北省沧衡八校联盟高二（下）期中数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年河北省沧衡八校联盟高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 从瓶酸牛奶和瓶纯牛奶中任意选取瓶，则恰有瓶是酸牛奶的选取方法共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

2. 已知函数，则在上的平均变化率为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 名男生，名女生站成一排照相，则名女生相邻且都不站在最左端的不同的站法共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

5. 已知是函数的导函数，函数的图象如图所示，则的极大值点为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 甲、乙、丙三人报考，，三所大学，每人限报一所，设事件为“三人报考的大学均不相同“，事件为“甲报考的大学与其他两人均不相同”，则概率(    )

A.  B.  C.  D.

7. 下列结论正确的是(    )

A. 若，，是一组两两相互独立的事件，则
B. 若，事件满足，则，是对立事件
C. 若，是互斥事件，则
D. “，是互斥事件”是“，是对立事件”的充分不必要条件

8. 已知，则(    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 已知随机变量的分布列为

则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 随着美丽乡村创建和乡村振兴战略的实施，乡村发生了翻天覆地的变化．在农产品展销会．上，某村的农产品红茶和绿茶的日销量分别服从正态分布和，它们的正态分布密度曲线如图所示，则下列结论不正确的有(    )
    参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，

A. 红茶日销售量的稳定性低于绿茶日销量的稳定性
B. 红茶日销售量的平均值大于绿茶日销量的平均值
C. 红茶日销量在内的概率约为
D. 绿茶日销量在内的概率约为

11. 在某城市中，，两地之间有如图所示的道路网．甲随机沿路网选择一条最短路径，从地出发去往地．下列结论正确的有(    )

A. 不同的路径共有条
B. 不同的路径共有条
C. 若甲途经地，则不同的路径共有条
D. 若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有条
 

12. 已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 的展开式中，常数项为______．
14. 已知函数，则______．
15. 名防疫志愿者组成行列的方阵，现从中选出人，则不同的选法种数为______；若选出的人既不在同一行又不在同一列，则不同的选法种数为______．
16. 如图所示的是一种类似于高尔顿板的装置示意图．在一块木板上钉着排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后向左或向右落下，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左落下的概率为，则小球最终落入号球槽的概率为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 瓜子是一种深受大家喜爱的零食．某炒货店一个月天内不同口味的瓜子的销售情况如表：

依据的独立性检验，能否认为瓜子的日销售量与口味有关联？
已知某天该店卖出了两种口味的瓜子共公斤，若当天售卖瓜子获得的利润不低于元，求当天焦糖味瓜子的最低销量．
参考公式和数据：，．

18. 已知函数的图象在处的切线方程为．
    求，的值；
    求在上的最值．
19. 某科技公司研发了一项新产品，经过市场调研，对公司月份至月份的推广费用以及销售量进行统计，推广费用万元和销售量万件之间的一组数据如表所示；

试根据月份至月份的数据，建立关于的回归直线方程；
若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差都不超过万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的、试问中所得到的回归直线方程是否理想？
参考公式：回归直线方程，其中．

20. 已知函数．
    求的极值；
    若对于任意不同的，，都有，求实数的取值范围．
21. 已知某工厂的一种机器有两个相同的易损配件，当两个配件都正常工作时两个配件损坏与否互不影响，该机器才能正常运转．该工厂计划购买一批易损配件，现有甲、乙两个品牌的配件供选择，甲、乙两个品牌的配件可以搭配使用，甲品牌配件的价格为元个，乙品牌配件的价格为元个．现需决策如何购买易损配件，为此收集并整理了以往购买的甲、乙两个品牌配件各个的使用时间的数据，得到如下柱状图．分别以甲、乙两种配件使用时间的频率作为概率．
    若从个甲品牌配件和个乙品牌配件中任选个装入机器，求该机器正常运转时间不少于个月的概率．
    现有两种购置方案：
    方案一，购置个甲品牌配件；
    方案二，购置个乙品牌配件．
    试从性价比机器正常运转的时间的数学期望与成本的比值的角度考虑，哪一种方案更实惠？

22. 已知函数，为的导函数．
    讨论的单调性；
    当时，证明：．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：从瓶酸牛奶和瓶纯牛奶中任意选取瓶，则恰有瓶是酸牛奶的选取方法共有种，
故选：．
由排列、组合及简单计数问题求解即可．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，属基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据函数的平均变化率的定义，
可得函数在上的平均变化率为，
故选：．
根据函数的平均变化率的定义化简即可求解．
本题考查了函数的平均变化率的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，
所以．
故选：．
结合二项分布的方差公式，即可求解．
本题主要考查二项分布的方差公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：名男生，名女生站成一排照相，则名女生相邻且都不站在最左端的不同的站法共有种，
故选：．
由排列、组合及简单计数问题求解即可．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了相邻问题，属基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由图可知，当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故的极大值点为．
故选：．
根据函数的图象得到的正负，进而得到的单调性，再求出极大值点即可．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：每人报考大学有种选择，故总的报考方法共有种，
三人所报考的大学均不相同的报考方法有种，
甲报考的大学与其他两人均不相同的报考方法有种，
．
故选：．
直接利用条件概率求解．
本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：对于，，，是一组两两独立的事件，
但是不一定等于，故A不正确．
对于，例如，投掷一枚质地均匀的骰子，
记事件为“点数为，，”，事件为“点数为，，”，
则，但是，不是对立事件，故B不正确．
对于，，是互斥事件，为必然事件，
则，故C正确．
对于，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，
“，是互斥事件”是“，是对立事件”的必要不充分条件，故D不正确．
综上正确选项是．
故选：．
根据互斥事件与对立事件的概念对各个选项一一判断即可得出答案．
本题考查的知识点是互斥事件和对立事件，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：两边求导，得．
令，得，
令，得，
所以．
故选：．
对已知等式两边求导，再分别令，，计算即可求得结果．
本题主要考查二项式定理，导数的应用，以及赋值法的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由分布列的性质可得，，得，
则．
故选：．
根据离散型随机变量分布列的性质，以及期望公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列的性质，以及期望公式，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由正态分布密度曲线可知，两种茶叶日销量的平均值相等，选项B不正确；
越小，图象越瘦、高，数据越稳定，所以绿茶日销量的稳定性高于红茶日销量的稳定性，选项A正确；
红茶日销量在内的概率约为，选项C正确；
绿茶日销量在内的概率约为，选项D不正确．
故选：．
从正态分布密度曲线的对称轴相同得到B正确；从图象的胖瘦，高低判断选项，利用原则求出红茶销量在内的概率和绿茶日销量在内的概率．
本题主要考查正态分布及其应用，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由图可知，从地出发去往地的最短路径共包含步，其中步向上，步向右，且前步中，至少有步向上，则不同的路径共有条；
若甲途经地，分两段与的路径，则不同的路径共有条；
若甲途经地，且不经过地，则途经后只能向上走，所以分两段与上面临点的路径条数共有条．
故选：．
从地出发去往地的最短路径共包含步，其中步向上，步向右，且前步中，至少有步向上，以此分类计算可判断；若甲途经地，分两段与的路径条数相乘即可；若甲途经地，且不经过地，则途经后只能向上走，所以分两段与上面临点的路径条数相乘即可．
本题考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理、组合数公式应用，考查数学运算能力及抽象能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，，
令函数，则．
当时，，在上单调递增，
则，
即，故，B正确．
令函数，则，
当时，，在上单调递增，
则，
故，，C正确，不正确．
故选：．
令函数，则，当时，，在上单调递增，判断；令函数，则，当时，，在上单调递增，判断．
本题考查两个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：的展开式的通项公式，
令，可得，
所以展开式中的常数项为．
故答案为：．
求出二项展开式的通项公式，令的指数为，求出的值，即可求得常数项．
本题主要考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：
，
，，
．
故答案为：．
求导函数，然后可解出和的值，然后即可求出答案．
本题考查了幂函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
 

15.【答案】   

【解析】解：名防疫志愿者组成行列的方阵，现从中选出人，则不同的选法种数为种选法；
若选出的人既不在同一行又不在同一列，则共有种选法，
故答案为：；．
由排列、组合及简单计数问题求解即可．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，属基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：小球最终落入号球槽，共有步，其中步向右，步向左，故所求概率为．
故答案为：．
利用相互独立事件概率乘法公式计算即可．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
 

17.【答案】解：零假设：瓜子的日销售量与口味无关联，
由题可知，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
故认为瓜子的日销售量与口味有关联，此推断犯错误的概率不大于．
由题可知，每公斤原味瓜子的利润为元，每公斤焦糖味瓜子的利润为元，
设当天焦糖味瓜子的销量为公斤，
则，解得，
故当天焦糖味瓜子的最低销量为公斤． 

【解析】根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
设当天焦糖味瓜子的销量为公斤，再结合单价，列出不等式，即可求解．
本题主要考查独立性检验公式，考查转化能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：因为，所以，
又的图象在处的切线方程为，
所以解得
由可知，，
则当时，；当时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
又，，
所以在上的最大值为，最小值为． 

【解析】对求导，结合已知可得不等式解方程组即可求解，的值；
由可得函数解析式，利用导数判断函数的单调性，求出极值与端点值，即可求得最值．
本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：由表中数据可得，，，，
则，
所以，
故关于的回归直线方程为．
当时，，则，满足回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差都不超过万件，
当时，，则，满足回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差都不超过万件，
故可以认为中所得到的回归直线方程是理想的． 

【解析】根据已知条件，结合最小二乘法，即可求解．
将，代入的线性回归方程，并结合回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差都不超过万件，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的求解，掌握最小二乘法是解本题的关键，属于中档题．
 

20.【答案】解：因为，所以
令，解得或舍去．
当变化时，，的变化情况如表所示．

因此，当时，有极小值，且极小值为，无极大值
不妨令，则等价于，
即，
令函数，
可知在上单调递减，
．
若，即，则在上恒成立，
故在上恒成立，
则在上单调递减，符合题意，
若，即，则在上不恒成立，
故在上不恒成立，
则在上不可能单调递减，不符合题意．
综上所述，实数的取值范围为． 

【解析】根据导数的性质，结合函数极值的定义进行求解即可；
对已知不等式进行变形，构造新函数，利用新函数的单调性，结合导数的性质分类讨论求解即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．
 

21.【答案】解：若装入个甲品牌的配件，则该机器正常运转时间不少于个月的概率为，
若装入个乙品牌的配件，则该机器正常运转时间不少于个月的概率为，
若装入个甲品牌和个乙品牌的配件，则该机器正常运转时间不少于个月的概率为，
故该机器正常运转时间不少于个月的概率为
若采用方案一，设机器可正常运转的时间为单位：月，
则的可能取值为，，且，，
所以的分布列为：

，它与购置配件的成本之比为，
若采用方案二，设机器可正常运转的时间为单位：月，
则的可能取值为，，且，，
所以的分布列为：

，它与购置配件的成本之比为，
因为，所以从性价比的角度考虑，方案二更实惠． 

【解析】根据已知条件，分类讨论，并结合互斥事件的概率和公式，即可求解．
根据已知条件，结合期望公式，依次求出两种方案的性价比，通过比较二者的大小，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
 

22.【答案】解：因为，所以，
令函数，则，
若，则在上恒成立，
若，令，解得：，
综上所述：故当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
证明：要证，即证，
当时，，，故，
当时，要证，不等式两边同时除以，
即证，
令函数，则，
令，解得，故在单调递增，单调递减，
所以，故要证，只需证，
令函数，则，
令函数，则，则，即，
所以，所以，即，
综上所述，当时，． 

【解析】先求出导函数，对其导函数求导，再根据的范围决定其导函数的单调性即可；
首先将原不等式转化为，分两种情况，当时恒成立，当时，对其转化为证明，从而转化为两个函数的最值比较即可．
本题主要考查利用导函数研究函数单调性及证明函数不等式，属于较难题目．