2021-2022学年湖北省黄石市四区联考八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年湖北省黄石市四区联考八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 要使有意义，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各式中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 如图，在▱中，已知，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 信息技术课上，在老师的指导下，小好同学训练打字速度字，数据整理如下：，，，，，，，，，，对于这组数据，下列说法正确的是(    )

A. 众数是 B. 众数是 C. 中位数是 D. 中位数是

5. 点在函数的图象上，则代数式的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图，在▱中，对角线的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为，则▱的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图所示，直线：与直线：交于点，不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，相交于点和点，直线交于点，交于点，连接，若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接，现在有如下个结论：
    ；；；．
    其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 计算的结果是______．
12. 一组数据，，，，的平均数是，则它的方差是______．
13. 九章算术是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程为______．

14. 若、为实数，且，则的值为______
15. 如图，在平行四边形中，平分，，连接，是的中点，连接，若，则          ．
     

16. 如图，在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为若，则的长为______．

17. 已知点是直线上一点，其横坐标为，若点与点关于轴对称，则点的坐标为______．
18. 如图，将直线沿轴向下平移后的直线恰好经过点，且与轴交于点，在轴上存在一点使得的值最小，则点的坐标为______．

三、解答题（本大题共7小题，共56分）

19. 计算：
    ；
    ．
20. 已知：如图，矩形的对角线与相交于点，，．
    求证：；
    求的长．

21. 如图，直线过点，，．
    求直线的函数解析式和的值；
    求的面积．

22. 为了解某校学生的睡眠情况，该校数学小组随机调查了部分学生一周的平均每天睡眠时间设每名学生的平均每天睡眠时间为时，共分为四组：，，，，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
    注：学生的平均每天睡眠时间不低于时且不高于时．
    请回答下列问题：
    本次共调查了______名学生；
    请补全频数分布直方图；
    求扇形统计图中组所对应的圆心角度数；
    若该校有名学生，根据抽样调查结果，请估计该校有多少名学生平均每天睡眠时间低于时．
23. 为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共吨，乙厂的生产量是甲厂的倍少吨．这批防疫物资将运往地吨，地吨，运费如下表单位：元吨．

求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？
设这批物资从乙厂运往地吨，全部运往，两地的总运费为元．求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；
当每吨运费均降低元且为整数时，按中设计的调运方案运输，总运费不超过元．求的最小值．

24. 四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．
    如图，求证：矩形是正方形；
    若，，求的长度；
    当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．
     

25. 在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于点、两点，，直线：经过点，与轴、轴和线段分别交于点、、三点．
    求直线的解析式；
    如图：若，求点的坐标和的面积；
    如图：在坐标轴上是否存在点，使是以为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件以及一元一次不等式的解法，根据二次根式有意义的条件得到，解之即可得到答案．
【解答】
解：根据题意得，，
解得，
故选B．  

2.【答案】 

【解析】解：．，因此选项A不符合题意；
B.，因此选项B不符合题意；
C.无意义，因此选项C不符合题意；
D.，因此选项D符合题意；
故选：．
根据算术平方根的定义逐项进行判断即可．
本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，，
，，
，
．
故选：．
根据平行四边形的性质可知，，据此求出、的长，利用勾股定理求出的长即可．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用．
 

4.【答案】 

【解析】解：以上数据重新排列为：，，，，，，，，，，
众数为、中位数为，
故选：．
根据中位数、众数的概念求解可得．
本题考查的是众数和中位数的概念；熟练掌握中位数、众数的概念是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：点在一次函数的图象上，
，
，
即代数式的值等于．
故选：．
把点的坐标代入一次函数解析式可以求得、间的数量关系，所以易求代数式的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，函数图象上的点的坐标满足图象的解析式．
 

6.【答案】 

【解析】解：一次函数中，令，则；令，则，
一次函数的图象经过点和，
一次函数的图象经过一二三象限，
故选：．
依据一次函数的图象经过点和，即可得到一次函数的图象经过一二三象限．
本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．
 

7.【答案】 

【解析】【解析】
本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由平行四边形的性质得出，，由线段垂直平分线的性质得出，得出的周长，即可得出结果．
【答案】
解：四边形是平行四边形，
，，
的垂直平分线交于点，
，
的周长，
▱的周长；
故选：．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图象可知：当时，直线：在直线：的上方，即，
所以不等式的解集是．
故选：．
利用函数图象写出直线：与在直线：上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

9.【答案】 

【解析】解：由作法得垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
故选：．
利用线段垂直平分线的性质得到，，再证明，利用勾股定理即可解决问题．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接．

四边形都是正方形，
，，
由翻折可知：，，，，
，，，
≌，
，，设，
，故正确，
在中，，
，
，
，
，
，
易知不是等边三角形，显然，故错误，
，
，
，
，，
，
，故正确，
，：：：，
：：，
，故错误，
故选：．
正确．证明，即可．
错误．可以证明，显然不是等边三角形，可得结论．
正确．证明，即可．
错误．证明：：，求出的面积即可．

本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
原式各项化为最简后，合并同类二次根式即可得到结果．
此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了平均数和方差的计算，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的计算公式．
由于数据、、、、的平均数是，由此利用平均数的计算公式可以求出，然后利用方差的计算公式即可求解．
【解答】
解：数据、、、、的平均数是，
，
，
．
故答案为．  

13.【答案】 

【解析】解：设，
，
．
在中，，
，即．
故答案为：．
设，可知，再根据勾股定理列方程即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
当时，，．
，．
．
故答案为：．
根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性解决此题．
本题主要考查绝对值的非负性、算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值的非负性、算术平方根的非负性是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：在平行四边形中，，
．
平分，
，
，
．
，
．
是的中点，
是的中位线，
，
，
．
故答案为．

根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解，即可得，利用等腰三角形的性质可得，进而可得是的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解．
本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，证明是的中位线是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，则，．
在中，利用勾股定理可得．
根据折叠的性质可知，所以．
在中，利用勾股定理可得，
在中，利用勾股定理可得，
所以，
解得．
则．
故答案为
设，则，，在中，利用勾股定理可得，在中，利用勾股定理可得，从而得到关于的方程，求解，最后用即可．
本题主要考查了折叠的性质、勾股定理．折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：由题意，
、关于轴对称，
，
故答案为
利用待定系数法求出点坐标，再利用轴对称的性质求出点坐标即可；
本题考查一次函数的应用、轴对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

18.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数解析式及最短路线问题，解决问题的关键是掌握：在直线上的同侧有两个点、，在直线上有到、的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点．
先作点关于轴对称的点，连接，交轴于，则点即为所求，根据待定系数法求得平移后的直线为，进而得到点的坐标以及点的坐标，再根据待定系数法求得直线的解析式，即可得到点的坐标．
【解答】
解：如图所示，作点关于轴对称的点，连接，交轴于，则点即为所求，

设直线沿轴向下平移后的直线解析式为，
把代入可得，，
平移后的直线为，
令，则，即
，
设直线的解析式为，
把，代入可得，
，解得，
直线的解析式为，
令，则，
，
故答案为：．  

19.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】先分别化简二次根式，然后合并同类二次根式；
利用完全平方公式去括号，运用二次根式除法公式，然后合并同类项．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式是解题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
四边形是矩形，
，
，
，即，
，，
解得，
． 

【解析】由四边形是矩形知，据此得，再由知，结合得，继而得证；
由四边形是矩形知，结合得，根据，可求得，从而得出答案．
本题主要考查矩形的性质，矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有；角：矩形的四个角都是直角；边：邻边垂直；对角线：矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
 

21.【答案】解：设直线的解析式为，
将，代入，得：，
解得：，
直线的解析式为．
当时，，
点的坐标为，
即的值为．
设直线与轴交于点，连接，，如图所示．
当时，，
点的坐标为．
． 

【解析】根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出的值；
设直线与轴交于点，连接，，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，根据三角形的面积公式及可求出的面积．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式；利用分割图形求面积法，求出的面积．
 

22.【答案】 

【解析】解：本次共调查了名学生，
故答案为：；
组学生有人，
补全的频数分布直方图如右图所示；
扇形统计图中组所对应的圆心角度数是：，
即扇形统计图中组所对应的圆心角度数是；
人，
答：该校有名学生平均每天睡眠时间低于时．
根据组的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；
根据频数分布直方图中的数据和中的结果，可以得到组的人数，从而可以将频数分布直方图补充完整；
根据频数分布直方图中的数据，可以计算出扇形统计图中组所对应的圆心角度数；
根据频数分布直方图中的数据，可以计算该校有多少名学生平均每天睡眠时间低于时．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】解：设这批防疫物资甲厂生产了吨，乙厂生产了吨，则：
，解得，
即这批防疫物资甲厂生产了吨，乙厂生产了吨；

由题意得：，
，解得：，
又，
随的增大而减小，
当时，可以使总运费最少，
与之间的函数关系式为；使总运费最少的调运方案为：甲厂的吨物资全部运往地，乙厂运往地吨，运往地吨；
由题意和的解答得：，
当时，，
，解得：，
而且为整数，
的最小值为． 

【解析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一次函数的最值问题，
设这批防疫物资甲厂生产了吨，乙厂生产了吨，根据题意列方程组解答即可；
根据题意得出与之间的函数关系式以及的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可；
根据题意以及的结论可得，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可．
 

24.【答案】解：证明：作于，于，

，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
矩形是正方形；

如图中，

在中．，
，
，
点与重合，此时是等腰直角三角形，易知．
当与的夹角为时，，
当与的夹角为时，
综上所述，或． 

【解析】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
作于，于，证明≌，得到，根据正方形的判定定理证明即可；
通过计算发现是中点，点与重合，是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
分两种情形考虑问题即可．
【解答】
解：见答案；
见答案；
如图，当与的夹角为时，过点作，交于点，

，，
，
，
，
；
如图，当与的夹角为时，设与交于点，

在与中，，，
，
即，
综上，当与的夹角为时，；
当与的夹角为时，．
故答案为：当与的夹角为时，；
当与的夹角为时，．
 

25.【答案】解：直线与轴交于点，
，
，
，
，
把代入得到，，
直线的解析式为．
如图中，作于，于．

，，，
≌，

，
，
当时，，
解得，
，
把，代入，得到，
解得，
直线的解析式为，
，
．
如图中，当，时，作于，轴于设．

，
，，
，
，
≌，
，，
，
把点坐标代入，得到：，
解得，
．
如图中，当，时，作于，于设．

同法可证：≌，
，，
，
把点坐标代入，得到：，
解得，
．
综上所述，满足条件的点坐标为或． 

【解析】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
求出点的坐标，利用待定系数法即可解决问题；
如图中，作于，于由≌，推出由，可得，再利用待定系数法即可解决问题；
分点在轴或轴两种情形分别求解即可解决问题；