2021-2022学年湖北省咸宁市咸安区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年湖北省咸宁市咸安区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4. 下列说法中正确的是(    )

A. 平行四边形的对角线互相平分且相等 B. 矩形的对角线互相垂直且平分
C. 菱形的对角线互相垂直且相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等

5. 某校为了了解学生在校一周体育锻炼时间，随机抽查了名学生，调查结果如表，这名学生在校一周体育锻炼时间的众数和中位数分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6. 对于函数，下列结论正确的是(    )

A. 它的图象必经过点 B. 它的图象经过第一、二、三象限
C. 当时， D. 的值随值的增大而增大

7. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，网格中每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，以为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9. 计算 ______ ．
10. 平行四边形中，，则 ______
11. 一次函数的图象过点，且函数的值随自变量的增大而减小，请写出一个符合条件的函数解析式______．
12. 已知是正整数，是整数，则的最小值为______．
13. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：

根据表中数据，如果要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选______参赛．

14. 如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为______．

15. 如图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形组成的，图中的，按此规律，在线段，，，，中，长度为整数的线段有______条．
16. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，为轴上一点，菱形的边长为，，点是边上一动点不与点，重合，点在边上，且，下列结论：
    ≌；的大小随点的运动而变化；
    直线的解析式为；的最小值为．
    其中正确的有______填写序号

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 已知直线：经过点，．
    求直线的解析式；
    若点在直线上，求的值．
19. 如图，四边形中，已知，，，．
    求的度数；
    于，求之长．

20. 近年来，网约车给人们的出行带来了极大的便利，小明和数学兴趣小组的同学对甲乙两家网约车公司司机的月收入进行了抽样调查，两家公司分别抽取名司机的月收入单位：千元进行统计分析，结果如图所示：
    根据以上信息，整理分析数据如表：

填空：______，______；
求的值；
小明的叔叔计划从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明，你建议他选哪家公司？请说明理由．

21. 如图，点，分别是的边，的中点，点是内一点，连接，，，点，分别是，的中点，顺次连接点，，，．
    求证：四边形是平行四边形；
    当时，求证：四边形是矩形；
    若四边形是正方形，与之间满足的条件是：______．

22. 如图，正方形的对角线，相交于，为边上一动点不与，重合，交于．
    求证：≌；
    求证：；
    如图，若正方形边长为，为中点，点在运动过程中，长的最小值为______．

23. 随着信息技术的飞速发展，“互联网”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已成为我们日常学习的一种常用方式．现有某教学网站策划了，两种上网学习的月收费方式：设每月上网学习时间为小时，方案，的收费金额分别为，．

如图是与之间函数关系的图象，请根据图象填空：______，______；
分别求出，与之间的函数关系式；
选择哪种方式上网学习合算，请说明理由？

24. 如图，，是直线与两坐标轴的交点，直线过点，与轴交于点．
    求，，三点的坐标；
    点是折线上一动点．
    如图，当点是线段的中点时，在轴上找一点，使最小；用直尺和圆规画出点的位置保留作图痕迹，不要求写作法和证明，并求出点的坐标；
    是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意，得
，
解得，
故选：．
根据被开方数是非负数，可得答案．
本题考查了二次根式有意义的条件．
 

2.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，
以、、为边组成的三角形是直角三角形，故本选项正确；
B、，
以、、为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；
C、，
以、、为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；
D、，
以、、为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；
故选：．
求出两小边的平方和、最长边的平方，看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、平行四边形的对角线不一定相等，但是互相平分，此选项错误；
B、矩形的对角线相等，且互相平分，此选项错误；
C、菱形的对角线互相垂直，且互相平分，但是不一定相等，此选项错误；
D、正方形的对角线相等，且互相平分、垂直．
故选：．
利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质解题即可．
本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形对角线的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质、及他们之间的联系和区别．
 

5.【答案】 

【解析】解：锻炼时间为的人数最多，是人，
众数是，
把这些数从小到大排列，中位数是第个数，
则这名学生在校一周体育锻炼时间的中位数是．
故选A．
根据众数和中位数的定义即可得出答案．
本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的概念．
 

6.【答案】 

【解析】解：、当时，，它的图象必经过点，故A错误；
B、，，它的图象经过第一、二、四象限，故B错误；
C、当时，，当时，，故C正确；
D、，的值随值的增大而减小，故D错误．
故选：．
根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系、一次函数的增减性是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现是等腰直角三角形这个突破口，属于中考常考题型．
首先证明是等腰直角三角形，求出，再根据等腰三角形的性质求出即可．
【解答】
解：四边形是矩形，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：连接，

由题意知：，
在中，由勾股定理得：，
，
故选：．
连接，则，在中，利用勾股定理求出即可得出答案．
本题主要考查了勾股定理，求出的长是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用算术平方根化简得出答案．
此题主要考查了算术平方根的化简，正确化简算术平方根是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
又，
，
解得：，
；
故答案为：．
由平行四边形的性质得出，，，由已知条件求出，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对角相等，邻角互补是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象过点，且函数的值随自变量的增大而减小，
解析式为，
故答案为：．
根据已知条件写出一个符合条件的解析式即可．
本题考查了一次函数的性质的应用，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
 

12.【答案】 

【解析】解：为正整数，也是正整数，
则是一个完全平方数，
又，
则是一个完全平方数，
所以的最小值是．
故答案为：．
由为正整数，也是正整数，知是一个完全平方数，再将分解质因数，从而得出结果．
本题主要考查了二次根式的定义，涉及的知识点：如果是正整数，那么是一个完全平方数．
 

13.【答案】甲 

【解析】解：甲、丙两人的平均数相同且高于乙、丁，
应该从甲、丙两人中选择一名参加比赛，
又甲的方差比乙小，
如果要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选甲参赛，
故答案为：甲．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：直线：过点，
，
解得：，
则不等式的解集为，
故答案为：．
根据确定的值，进而可得点坐标，由图象可得在直线的左边，进而可得不等式解集．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是正确确定的值．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
由勾股定理可得，
，
，
，
在线段，，，，中，完全平方数有，，，
故长度为整数的线段有条．
故答案为：．
，根据勾股定理可得，，找到的规律，即可得到结论．
本题考查了勾股定理的灵活运用，本题中找到的规律是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：菱形的边长为，，
，为等边三角形，，
，，
≌，故正确，
，，
，
为等边三角形，
，
的大小随点的运动是不变化的，故不正确，
设直线的解析式为，
过，，
故正确，
根据垂线段最短，
当时有最小值，
的最小值为，故正确．
故答案为：．
根据菱形的边长为，，可得为等边三角形，又，可证≌；由≌，可以证出为等边三角形，所以大小不变；求出，的坐标可以求出直线的解析式为；根据垂线段最短，当时有最小值．
本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

17.【答案】解：

；


． 

【解析】先化简，再算减法即可；
先化简，再算除法即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】解：将点，代入，
，
解得，
；
点在直线上，
，
解得． 

【解析】用待定系数法求函数解析式即可；
将点代入函数解析式即可求的值．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
 

19.【答案】解：连接，

，，
，，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
，
的度数为；
，
的面积，
，
，
，
的长为． 

【解析】连接，根据已知可得，在中，根据勾股定理可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后进行计算即可解答；
利用面积法，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：由题意可得，，，
故答案为：；；
“千元”对应的百分比为，
；
选甲公司，理由如下：
因为平均数一样，中位数、众数甲公司大于乙公司，且甲公司方差小，更稳定．
利用中位数、众数的定义分别计算后即可确定正确的答案；
根据平均数的定义解答即可；
根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可．
本题考查了统计的有关知识，解题的关键是能够了解有关的计算公式，难度不大．
 

21.【答案】且 

【解析】证明：、是、的中点，
且，
、是、的中点，
且，
且，
四边形是平行四边形；
证明：由知，四边形是平行四边形，
如图，连接，

、分别是、的中点，
，
，
，
，
平行四边形是矩形，
所以当时，四边形是矩形；
解：若四边形是正方形，与之间满足的条件是：且，
由可知，当时，四边形是矩形，
、、分别是、、的中点，
，，
，
，
矩形是正方形．
故答案为：且．
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得且，且，从而得到且，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
利用中所求，只要邻边相互垂直的平行四边形即为矩形．
根据可知，当时，四边形是矩形，当矩形的邻边相等时，矩形为正方形，故．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，正方形的判定，熟记定理与判定方法是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】证明：正方形的对角线，相交于点，
，，，
，
，
，
在和中，
，
≌；

证明：由知，≌，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
在中，，
，
；

解：在中，点是的中点，
，
由知，，
，
要最小，则最小，
点在上，
当时，最小，其最小值为，
长的最小值为，
故答案为：．
先判断出，，，再判断出，即可得出结论；
先判断出，再用勾股定理即可得出结论；
先判断出时，最小，即可求出答案．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，判断出是解本题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：当时，，
，
当时，折线拐弯，
．
故答案为：；；
当时，，
当时，．
与之间的函数关系式为；
当时，，
当时，，
与之间的函数关系式为；
令，则有，
解得：．
、，
当时，选择种方式上网学习合算；
当时，选择、两种方式上网学习钱数相同；
当时，选择种方式上网学习合算．
观察函数图象，即可找出、的值；
分和两段来考虑与之间的函数关系式，合并在一起即可得出结论；分和两段来考虑与之间的函数关系式；
令求出值，再结合、，即可得出结论．
本题考查了一次函数的应用，得到两种收费方式的关系式是解决本题的关键．注意较合算的收费的方式应通过具体值的代入得到结果．
 

24.【答案】解：在中，
令，得，
令，得，
，．
把代入，
得，
直线为：．
在中，
令，得，
点的坐标为；

如图，

点是的中点，，．
．
点关于轴的对称点的坐标为．
设直线的解析式为．
把，代入，得．
解得，．
故该直线方程为：．
令，得点的坐标为；

存在，理由：当点在上时，由得到：，
由等腰直角三角形求得点的坐标为；
当点在上时，如图，设交轴于点．

在与中，

≌．
，
点的坐标为，
直线的解析式为，
解方程组，
得．
点的坐标为 

【解析】解方程即可得到结论；
如图，根据中点坐标公式得到点关于轴的对称点的坐标为设直线的解析式为求得于是得到结论；
当点在上时，由得到：，根据等腰直角三角形的性质得到；当点在上时，如图，设交轴于点根据全等三角形的性质得到结论．
本题是一次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称的最短路径问题、直角三角形问题，第题采用了分类讨论的思想，与三角形全等结合，列比例式可解决问题．