2021-2022学年广东省惠州市惠阳区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年广东省惠州市惠阳区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各曲线中不能表示是的函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 在今年新型冠状病毒肺炎疫情防疫工作中，庆阳某中学为了了解八班学生某天的体温情况，班长把所有同学当天上报的体温单位：绘制成了如下统计表：

这组体温数据的众数是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列计算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列条件中，使不是直角三角形的是(    )

A. ，， B.
C.  D. ：：：：

7. 如图，在平行四边形中，，若，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在函数其中，为常数，且的图象上有，两个点，则下列各式中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，正方形的边长为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，正方形的边长为，为正方形边上一动点，运动路线是，设点经过的路程为，以点、、为顶点的三角形的面积是，则下列图象能大致反映与的函数关系的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11. 若为正整数，则满足条件的的最小正整数值为______ ．
12. 已知样本数据为，，，，，则这个数的方差是______．
13. 菱形的两条对角线的长分别是和，则该菱形的面积为______．
14. 点在函数的图象上，则代数式的值等于______．
15. 如图，中，，，，是边上的高，则______．

16. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．

17. 如图，正方形中，点是上一点，点在的延长线上，且，连接，，，，其中交于点，下列结论：
    ；
    ≌；
    若，，则；
    若为的中点，则．
    其中正确的结论是______填写所有正确结论的序号．

三、解答题（本大题共8小题，共62分）

18. 计算：．
19. 如图，已知▱中，、分别是、边上的点，．
    求证：．

20. 如图，在中，，，．
    尺规作图：作的垂直平分线交于点，交于点不写作法，保留作图痕迹；
    在的基础上，连接，求的长度．

21. 已知：四边形中，，，，，；
    求的长；
    求四边形的面积．

22. 甲乙两校参加我县教育局举办的年学生汉字听写大赛，且两校参赛人数相等．比赛结束后，学生成绩分别为分、分、分、分满分为分，依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表：

在图中，“分所在扇形的圆心角等于______；请你将甲校成绩统计表和图的乙校成绩条形统计图补充完整；
经计算，乙校的平均分是分，中位数是分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好；
如果县教育局要组织一个人的代表队参加洛阳市汉字听写大赛，为了便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？

23. 年被称为“元年”，带领人类步入万物互联时代，而我们的华为在核心专利上排世界第一，引来美国对华为的打压．国家从上而下都在支持华为，某手机店准备进一批华为手机，经调查，用元采购型华为手机的台数和用元采购型华为手机的台数一样，一台型华为手机的进价比一台型华为手机的进价多元．
    求一台，型华为手机的进价分别为多少元？
    若手机店购进，型华为手机共台进行销售，其中型华为手机的台数不大于型华为手机的台数，且不小于台，已知型华为手机的售价为元台，型华为手机的售价为元台，且全部售出，设购进型华为手机台，手机店怎样安排进货，才能在销售这批华为手机时获最大利润，求出最大利润．
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，且与直线交于．
    分别求出，，的坐标；
    若是线段上的点，且的面积为，求直线的函数解析式；
    在的条件下，设是射线上的点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

25. 如图，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点始终重合，连，取的中点，的中点，连接、．
    若直角三角板和正方形如图摆放，点、分别在正方形的边、上，请判断与之间的数量关系，并加以证明；
    若直角三角板和正方形如图摆放，点、分别在、的延长线．其他条件不变，则中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
    若，，连接，在摆放的过程中，的面积存在最大值和最小值，请直接写出和的值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得，
解得，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：显然、、三选项中，对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，是的函数；
B、对于的任何值，都有二个值与之相对应，则不是的函数；
故选：．
在坐标系中，对于的取值范围内的任意一点，通过这点作轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点．根据定义即可判断．
本题主要考查了函数的定义，在定义中特别要注意，对于的每一个值，都有唯一的值与其对应．
 

3.【答案】 

【解析】解：这组体温数据中出现次数最多，有次，
所以这组体温数据的众数是，
故选：．
根据众数的概念求解即可．
本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了二次根式的加减和乘除运算，此题需要注意的是：二次根式的加减运算实质是合并同类二次根式的过程，不是同类二次根式的不能合并．
按照二次根式的运算法则进行计算即可．
【解答】
解：、和不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得，，
少走的路长为，
故选：．
利用勾股定理求出的长，再根据少走的路长为，计算即可．
本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、由，，得，符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
B、由：：：：，符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
C、符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
D、由：：：：，及得，故不是直角三角形．
故选：．
依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．
本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：▱的对角线与相交于点，
，，
，，
，
，
故选：．
利用平行四边形的性质和勾股定理易求的长，进而可求出的长．
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
函数其中，为常数，且随的增大而减小，
又，
．
故选：．
由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，再结合，即可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：正方形的边长为，是等边三角形，
，
连接，交于，

四边形是正方形，
垂直平分，
即、关于对称，
则交于点，此时的和最小，
、关于对称，
，
，
即的最小值是．
故选：．
连接，交于，根据正方形的性质得出、关于对称，求出点的位置在和的交点上时，的和最小，根据等边三角形的性质和正方形的性质求出即可．
本题考查了等边三角形的性质，正方形的性质，轴对称最短路线问题等知识点，能找出点的位置是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
根据动点从点出发，首先向点运动，此时不随的增加而增大，当点在上运动时，随着的增大而增大，当点在上运动时，不变，据此作出选择即可．
本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现随的变化而变化的趋势．
【解答】
解：当点由点向点运动，即时，的值为；
当点在上运动，即时，随着的增大而增大；
当点在上运动，即时，不变；
当点在上运动，即时，随的增大而减小．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：，且结果为正整数，
是某数的平方，
又，是根号内满足条件的最小被开方数，
当时满足题意．
故答案为：．
先将已知二次根式化简，然后根据题意找出最小被开方数即可得到结果．
本题考查二次根式的定义，首先知道被开方数为平方数的时候开方的结果才是正整数．将本题先化简再探讨是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：数据，，，，的平均数为：，
方差为：．
故答案为：．
先求出个数的平均数，再根据方差公式计算即可．
本题考查方差：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．熟记公式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：菱形的两条对角线的长分别是和，
菱形的面积：，
故答案为：．
根据菱形的面积公式：菱形面积、是两条对角线的长度可得到答案．
此题主要考查了菱形的面积公式，关键是熟练掌握面积公式．
 

14.【答案】 

【解析】解：点在函数的图象上，
，
，
．
故答案为：．
将点坐标代入一次函数解析式中，得到，的关系，整体代入所求的式子中即可．
本题考查一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是求出和的关系，属于中考必考题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：在中，由勾股定理得，
，
由得，
，
故答案为：．
首先利用勾股定理得，再利用面积法可得答案．
本题主要考查了勾股定理，三角形的面积等知识，利用面积法求垂线段的长是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：两个条直线的交点坐标为，且当时，直线在直线的上方，故不等式的解集为．
故本题答案为：．
由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式解集．
本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
 

17.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
又，
≌，
，，
，
，
，
，故正确；
，
≌，故错误；
，，
，
，
，，
，故正确；
设，则，
为的中点，
，
，
，，
，
，故错误；
故答案为：．
由“”可证≌，可得，，由余角的性质可得，则，故正确；由，则≌，故错误；由勾股定理可求的长，即可求，故正确；设，则，由勾股定理可求，可求，故错误；即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式

． 

【解析】先算乘方，化为最简二次根式，算除法，最后合并同类二次根式．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】证得四边形是平行四边形，利用平行四边形的对边互相平行即可证得答案．
考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键是了解平行四边形的判定方法与性质，难度不大．
 

20.【答案】解：如图所示：直线是的垂直平分线；

直线是的垂直平分线，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
． 

【解析】分别以，为圆心，任意长为半径画弧，交于和两点，作直线交于，交于，直线即为所求；
先根据垂直平分线的性质得：，设，借助勾股定理列出关于的方程，通过解方程即可求得的值，从而得到的长．
本题考查作图线段的垂直平分线、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：，
，
，，
，
的长为；
，，，
，，
，
是直角三角形，
，
四边形的面积的面积的面积



，
四边形的面积为． 

【解析】根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形，从而可得，然后利用四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

22.【答案】 
如图所示：

甲校的平均分为分，
分数从低到高，第人与第人的成绩都是分，
故中位数分；
由于两校平均分相等，乙校成绩的中位数大于甲校的中位数，
所以从平均分和中位数角度上判断，乙校的成绩较好．

因为要选名学生参加洛阳市汉字听写大赛，甲校得分的有人，而乙校得分的只有人，所以应选甲校． 

【解析】解：被调查的人数为人
图中，“分所在扇形的圆心角等于，甲校得分人数为人，乙校得分人数为人

故答案为：  ；
见答案
见答案

由得分的人数除以占的百分比求出乙校参赛的总人数，即可得出分的人数；由于两校参赛人数相等，根据总人数减去其他人数求出甲校得分的人数；
根据平均数求法得出甲的平均；把分数从小到大排列，利用中位数的定义解答．
根据得分的人数解答即可．
此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及平均数与中位数等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

23.【答案】解：设一台型华为手机的进价是元，则一一台型华为手机的进价是元，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
元，
答：一台，型华为手机的进价分别为元，元；
设购进型华为手机台，则购进型华为手机台，由题意可得，
，
型华为手机的台数不大于型华为手机的台数，且不小于台，
，
解得，，
即利润元与台的函数关系式是，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，此时元，
答：当购进型、型分别为台、台时，利润最大，最大利润是元． 

【解析】根据用元采购型华为手机的台数和用元采购型华为手机的台数一样，一台型华为手机的进价比一台型华为手机的进价多元，可以列出相应的分式方程，本题得以解决；
根据题意可以写出销售这批华为手机的利润元与台的函数关系式以及的取值范围，利用一次函数的性质即可解答本题．
本题考查一次函数的性质、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答．
 

24.【答案】解：令，，
，
令，，
，
联立方程组，
解得，
；
由 ，
，
当时，，
，
设直线的函数解析式为，
，
解得，
直线的函数解析式为；
存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设，，
当为菱形对角线时，，
，
解得，
；
当为菱形对角线时，，
，
解得舍，
；
当为菱形对角线时，，
，
解得舍或，
；
综上所述：满足条件的点的坐标是或或． 

【解析】由函数图象上点的坐标特征直接求解即可；
求出点坐标，再由待定系数法求解即可；
设，，根据对角线的情况，再分三种情况讨论即可．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的判定及性质，分类讨论是解题的关键．
 

25.【答案】解：，证明如下：
四边形是正方形，
，，
，
，
≌，
，
为的中位线，
，
；

仍然成立，证明如下：
如图，连接，

四边形是正方形，
，
，
，
，
即，
≌，
，
，分别为，的中点，
，，
，
；

如图，连接，，设交于，交于，

，
，
，，
，
，
，
，
四边形是正方形，，
，
，
，
由题意可知，，
即，
当时，最小值，
当时，最大值，
，． 

【解析】连接，利用证明≌，得，再根据直角三角形斜边上中线的性质和三角形中位线定理可得答案；
连接，由同理可证明结论；
连接，设交于，交于，首先证明是等腰直角三角形，可得，再根据三角形三边关系知，从而解决问题．
本题四边形综合题，主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形三边关系等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键．