广东省惠州市2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷（含解析）

广东省惠州市2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列图形中，是轴对称图形的是

A.  B.
C.  D.

2. 下列各数用科学记数可记为的是

A.  B.  C.  D.

3. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

4. 计算：等于

A.  B.  C.  D.

5. 下列分式是最简分式的是

A.  B.  C.  D.

6. 把分式方程转化成整式方程时，方程两边同乘

A.  B.  C.  D.

7. 已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是

A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形

8. 如图，，，要使≌，添加条件正确的是

A.  B.
C.  D.

9. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是

A.  B.
C. ：：：： D.

10. 如图，在中，且，且，是边上的高，的平分线交于，交于，则图中等腰三角形的个数为

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共24分）

11. 使分式有意义的的取值范围是______．
12. 因式分解：______．

13. 已知等腰三角形中两边长分别为和，则其周长为______．
14. 如图中，：：，于，且，则 ______ ．
    
    
     

15. 如图，是的高，，，，则______．
    
     

16. 如图，两个正方形的边长分别为，，若，，则阴影部分的面积为______．
    
    
    
     

三．计算题（本题共2小题，共10分）

17. 计算：．

18. ．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在中，，的平分线交于点，沿将折叠后，与边的中点重合，若，求的长．

20. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点与点关于轴对称．
    在题图中画出并求的面积；
    在轴上存在一点，使的值最小，则点的坐标为______．

21. 若的展开式中不含，项其中，均为常数．
    求，的值；
    先化简，然后在的条件下，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，是等边三角形，为边的中点，交的延长线于点，点在上，且，连接、．
    求证：；
    是等边三角形．
     

23. 某超市第一次用元购进某种商品，由于畅销，这批商品很快售完，第二次去进货时发现进货价每件上涨了元，购买与第一次相同数量的这种商品需要元．
    求第一次购买这种商品的进货价是多少元件？
    若这两批商品的售价均为元件，问：这两次购进的商品全部售完能赚多少元？
    
    
    
    
    
    
     
24. 结合图，观察下列式子：
    
    
    于是有：．
    填空：因式分解____________；
    化简：；
    化简：．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，在和中，，，，连接、，与相交于点、交于，与相交于点．
    求证：；
    求证：；
    连接，，有以下三个结论：
    平分；平分；．
    其中正确的有______，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.是轴对称图形，故本选项符合题意；
D.不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】

【解析】

解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】

解：，
故选：．
根据幂的乘方运算性质，运算后直接选取答案．
本题主要考查幂的乘方，底数不变，指数相乘的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】

解：．
故选：．
根据单项式除以单项式的法则计算即可．
本题主要考查了单项式除以单项式，熟记法则是解答本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：．无法化简是最简分式，故此选项符合题意；
B.，不是最简分式，不合题意；
C.，不是最简分式，不合题意；
D.，不是最简分式，不合题意；
故选：．
直接利用分式的基本性质分别化简，进而判断得出答案．
此题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题关键．一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
 

6.【答案】

【解析】

解：把分式方程转化成整式方程时，方程两边同乘．
故选：．
找出与的最简公分母，去分母即可．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

7.【答案】

【解析】

解：设所求多边形边数为，
则，
解得．
故选：．
多边形的内角和可以表示成，列方程可求解．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
 

8.【答案】

【解析】

解：，
，
即，
，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出≌，故本选项不符合题意；
B.，，，符合全等三角形的判定定理，能推出≌，故本选项符合题意；
C.，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出≌，故本选项不符合题意；
D.，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出≌，故本选项不符合题意；
故选：．
根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．
 

9.【答案】

【解析】

解：中，即，，为直角三角形，
同理，，均为直角三角形，
选项中，即，三个角没有角，故不是直角三角形，
故选：．
由直角三角形内角和为求得三角形的每一个角，再判断形状．
注意直角三角形中有一个内角为．
 

10.【答案】

【解析】

解：是边上的高线，
，
，，
，
，
是等腰三角形，
是的平分线，
，
，
是等腰三角形，
则，
而，
故为等腰三角形，
故选：．
根据三角形高线的性质及直角三角形的性质推出，，，从而利用等腰三角形的判定定理得到是等腰三角形，再根据角平分线的性质得到，从而由推出是等腰三角形，而，，进而求解．
本题考查等腰三角形的判定及直角三角形的性质，应充分运用数形结合的思想方法，结合图形从中寻找角之间的关系，结合相关定理及性质进行求解．
 

11.【答案】

【解析】

解：分式有意义，则，
解得．
故答案为：．
根据分式有意义，分母不为零列式进行计算即可得解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为．
 

12.【答案】

【解析】

解：

，
故答案为：．
先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

【解析】

根据单项式乘多项式的运算法则即可求解．
本题考查了单项式乘多项式的运算法则，熟记单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．单项式乘多项式的运算法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，转化为单项式与单项式的乘法，然后再把所得的积相加．
 

13.【答案】

【解析】

解：
当腰长为时，则三角形的三边长分别为、、，此时，不符合三角形三边关系，所以该种情况不存在；
当腰长为时，则三角形的三边长分别为、、，满足三角形三边关系，此时三角形的周长为；
故答案为：．
分腰和为和腰长为两种情况分别求得三边长，再利用三角形三边关系进行验证，可求得答案．
本题主要考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用三角形三边关系进行验证．
 

14.【答案】

【解析】

解：，
，
：：，
，
于，
，
，
，
．
故答案为：
先根据及三角形内角与外角的性质及：：可求出的度数，再由及三角形内角和定理解答可求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出答案．
本题考查了直角三角形的性质，垂直定义，三角形内角和定理，三角形外角性质的应用，关键是求出的度数．
 

15.【答案】

【解析】

解：是的高，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质求出，计算即可．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】

解：由完全平方公式，
可得，
阴影部分的面积为：


，
故答案为：．
阴影部分的面积可利用正方形面积的一半减去空白小三角形的面积进行计算．
此题考查了完全平方公式的几何背景应用能力，关键是能根据图形准确列式，并灵活运用完全平方公式进行计算．

17.【答案】

解：原式
．

 

18.【答案】

解：原式．
 

【解析】

原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
此题考查了分式的加减法，分式加减运算的关键是通分，通分的关键是找最简公分母．
 

19.【答案】

解：连接则≌，
，，，
是边的中点，
，
，
，
，
，
．
所以的长为．
 

【解析】

连接则≌所以，，，推出，则．
本题考查了翻折变换的性质以及勾股定理；由勾股定理得出方程是解题的关键．
 

20.【答案】

【解析】

解：如图所示，即为所求，面积为；

如图所示，点即为所求，其坐标为，
故答案为：．
作出点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可，利用三角形的面积公式求解即可得出答案；
根据轴对称的性质可确定的位置．
本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．
 

21.【答案】

解：原式


由题意可知：，，
，，
原式

，
当，时，
原式

．
 

【解析】

将原式展开合并后，令含，项的系数之和为即可求出与的值．
根据整式的加减运算法则进行化简，然后将与的值代入原式即可求出答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．
 

22.【答案】

证明：是等边三角形，
，
为的中点，
，
又，
，
，
；
是等边三角形，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等边三角形．
 

【解析】

由等边三角形的性质得出，得出，则可得出结论；
证明≌，由全等三角形的性质得出，，根据等边三角形的判定可得出结论．
本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

23.【答案】

解：设第一次购买这种商品的进货价为元，
依题意，得．
解得．
经检验是原方程的解．
答：第一次购买这种商品的进货价为元；

每次购买的商品数量是件．
所以，元．
答：这两次购进的商品全部售完能赚元．
 

【解析】

设第一次购买这种商品的进货价为元，根据“用元购进某种商品与第二次用元购进某种商品数量相同”列出方程并解答．
首先求出进货量进而分别得出销售情况．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

24.【答案】

【解析】

解：，
故答案为：，；
原式


；
原式


．
利用十字相乘法分解因式即可；
先对分式的分子、分母进行因式分解，把除法化为乘法，再利用乘法对加法的分配律计算即可；
先对分式的分子、分母进行因式分解，再利用进行解答即可．
此题考查的是分式的混合运算和因式分解，掌握其运算法则是解决此题关键．
 

25.【答案】

【解析】

证明：，
，
在和中，
，
≌，
；
证明：≌，
，
，
，
；
正确，理由如下：
如图，过点作于，于，

≌，
，，
，
，
又，，
平分，故正确；
与不一定相等，
与不一定相等，
与不一定全等，
不一定等于，与不一定相等，故错误，
与不一定相等，
不一定平分，故错误，
故答案为．
由“”可证≌，可得；
由全等三角形的性质可得，由外角的性质可得，可证；
由全等三角形的性质可得，，由三角形的面积公式可证，由角平分线的性质可得平分，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，外角的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．