青岛版八年级上册第3章 分式综合与测试单元测试课堂检测

青岛版初中数学八年级上册第三单元《分式》单元测试卷

考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知分式的值为整数，则满足条件的整数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 若把分式中的和都扩大倍，那么分式的值(    )

A. 扩大倍 B. 不变 C. 缩小倍 D. 缩小倍

3. 要使分式的值为整数，则整数的取值的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列约分，结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 计算所得正确结果

A.  B.  C.  D.

6. 下列是最简分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 的运算结果是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 读一读：式子“”表示从开始的个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号通过对以上材料的阅读，计算的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知三个数、、满足，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知点、在的边上，点在边上，且，要使得，还需添加一个条件，这个条件可以是(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，已知点、在的边上，点在边上，且，要使得，还需添加一个条件，这个条件可以是(    )

A.
B.
C.
D.

12. 若关于的分式方程无解，则的值为(    )

A. 或 B. 或
C. 或或 D. 或

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 分式有意义的的取值范围是_______________
14. 计算：______．
15. 若且，则 ______ ．
16. 若关于的方程无解，则的值为_______________．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 阅读理解：请仔细阅读，认真思考，灵活应用
    【例】已知实数满足，求分式的值．
    解：观察所求式子的特征，因为，我们可以先求出的倒数的值，
    因为
    所以
    【活学活用】
    已知实数满足，求分式的值；
    已知实数满足，求分式的值．
18. 通常情况下，不一定等于，观察：，，，，我们把符合的两个数，叫做“和积数对”已知，是一对“和积数对”．

当时，求的值

求的值．

19. 给出下面一列分式：，，，，其中．

从这列分式的第个分式开始，把任意一个分式除以它前一个分式，你发现了什么规律

根据你发现的规律，试写出这列分式中的第个分式．

20. 先化简，再求值：，其中
21. 化简式子，并求出当为何值时，该代数式的值为．
22. 如图，在中，点为边的中点，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点求证：．

23. 甲骑自行车从地出发去距地的地，后乙骑摩托车也从出发，到达地后甲才到达，若乙的速度是甲速度的倍，求甲，乙二人的速度．
24. 一项工程甲队单独完成所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由乙队先做天，剩下的工程再由甲、乙两队合作天可以完成．
    求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？
    已知甲队每天的施工费用为万元，乙队每天的施工费用为万元，工程预算的施工费用为万元，拟安排甲、乙两队同时合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？说明理由．
25. 南浔区某校组织学生乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有千米，队伍乘大巴车：从学校出发．苏老师因有事情，：从学校自驾小汽车以大巴车倍的速度追赶，追上大巴车后继续前行，结果比队伍提前分钟到达基地．问：

设大巴车的平均速度是，利用速度、时间和路程之间的关系填写下表．要求：填上适当的代数式，完成表格温馨提示：请填写在答题卷相对应的表格内

列出方程，并求出大巴车与小汽车的平均速度．

当苏老师追上大巴车时，大巴车离基地还有多远？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了分式的值是整数的条件，把原式化简为的形式是解决本题的关键．首先把分式转化为，则原式的值是整数，即可转化为讨论的整数值有几个的问题． 

【解答】

解：

因为分式的值是整数

所以或或或，满足条件的整数有个．

故选D．

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．
把分式中的与分别换为与，计算得到结果，比较即可．
【解答】
解：根据题意得：，
则分式的值缩小倍，
故选C．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查分式的值，此类题首先要正确化简分式，然后要保证分式的值为整数，则根据分母应是分子的约数，进行分析．
首先化简分式可得，要使它的值为整数，则应是的约数，即或，进而解出的值．
【解答】
解：，
又的值为整数，且为整数，
或，
解得或或或，
满足条件的整数共有个，
故选D．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了约分，正确掌握运算法则是解题关键直接利用约分的定义进而分析得出答案．
【解答】
解：．，故此选项错误；
B.无法化简，故此选项错误；
C.，故此选项正确；
D.无法化简，故此选项错误．
故选C．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的是分式的除法运算，做除法运算时，先把除法转化成乘法，要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分． 
在完成此类化简题时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式．有些需要先提取公因式，而有些则需要运用公式法进行分解因式．通过分解因式，把分子分母中能够分解因式的部分，分解成乘积的形式，然后找到其中的公因式约去．

【解答】

解：原式．

故选 A．
 

6.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式为最简分式，符合题意；
D、原式，不符合题意，
故选C
利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可．
此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分式的加减法掌握同分母分式的加减法法则是解题的关键根据同分母分式的加减法法则即：分母不变，分子相加减计算即可判断．
【解答】
解：．
故选C．  

8.【答案】 

【解析】


．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分式的化简求值，将分式的分子分母颠倒位置后计算是解题的关键．
先将该题中所有分式的分子和分母颠倒位置，化简后求出的值，从而得出代数式的值．
【解答】
解：，，，，
，
整理得，
得，
，
，     
，
．
故选C．  

10.【答案】 

【解析】解：，
，
当时，，
，故C选项符合题意；
而，，选项不能得出，
故选：．
由平行线分线段成比例可以得到，则根据等量代换可以推知，进而得出．
本题考查了平行线分线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例．注意找准对应关系，以防错解．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
当时，，
，故C选项符合题意；
而，，选项不能得出，
故选：．
由平行线分线段成比例可以得到，则根据等量代换可以推知，进而得出．
本题考查了平行线分线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例．注意找准对应关系，以防错解．
 

12.【答案】 

【解析】解：当时，或，
原分式方程可化为：，
去分母，得，
整理得，
分式方程无解，
，
，
把或，分别代入，
得或，
综上所述：的值为或或，
故选：．
首先最简公分母为，求出增根，在把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程，字母系数为，满足这两个条件求出的值．
本题考查分式方程的解和解分式方程，掌握在本题中分式方程无解满足的两个条件：一次项系数为，最简公分母为，是解决此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．根据分母不为零分式有意义，可得答案．
【解答】

解：由题意，得
．
解得，
故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了分式的乘法．利用分式的乘法的计算法则进行计算即可．
【解答】
解：，
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
故答案为：．
根据题意得到，根据完全平方公式求出，根据平方差公式把原式变形，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
 

16.【答案】或或 

【解析】

【分析】

此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．

直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案．

【解答】

解：去分母得：，
可得：，
当时，一元一次方程无解，
此时，
当时，
则，
解得：或，
综上所述：或或，
故答案为：或或．

17.【答案】解：，
；
，
，即，
，
，
． 

【解析】原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值；
原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了分式的值，将所求式子就行适当的变形是解本题的关键．
 

18.【答案】解：当时，，解得．

，

．

【解析】略
 

19.【答案】解：第二个分式除以第一个分式得，
第三个分式除以第二个分式得，
第四个分式除以第三个分式也是，
故规律是任意一个分式除以它前一个分式恒等于．
由可知第个分式应该是． 

【解析】见答案
 

20.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可．
本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

21.【答案】解：原式


令，
解得：
经检验，是方程的根
当时，该代数式的值为 

【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
 

22.【答案】证明：作于，交于，如图，

，
，
而为边的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
； 

【解析】作于，交于，如图，根据平行线分线段成比例定理，由得到，且，则，由于，所以，，则，然后由得到，所以；
本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
 

23.【答案】解：设甲速为，则乙速为分
依题意得分
解之得分
经检验是原方程的根分

答：甲，乙两人速度分别是，分 

【解析】求的是速度，路程明显，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是：后乙骑摩托车也从出发，到达地后甲才到达．等量关系为：甲用的时间乙用的时间．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．涉及公式：路程速度时间．
 

24.【答案】解：设乙队单独完成这项工程需要天，则甲队单独完成这项工程需要天．
根据题意得：．
解得：．
经检验：是所列方程的根．且符合题意，
天．
答：甲、乙两队单独完成这项工程各需要天和天．

设甲、乙两队合作完成这项工程需要天．
可得：．
解得：．
需要施工费用：万元．
，万元
工程预算的施工费用不够用．需追加预算万元． 

【解析】设乙队单独完成这项工程需要天，则甲队单独完成这项工程需要天，工程任务是，工作效率分别是：，；工作量时间工作效率，等量关系为：前天乙的工作量后天甲乙合作工作量，即甲天工作量乙天工作量，据此可列方程求解．
在的基础上，求得甲乙单独完成这项需要的天数，得到甲乙的工作效率，用甲的工作效率乙的工作效率合作天数，得出合作天数，再进一步计算出总费用，回答题目的问题．
本题考查了分式方程的应用，通过第一问可以得出甲、乙两队单独完成这项工程各需要天数，也就知道了甲乙的工作效率，在第二问中甲乙工作效率是没有变的，要充分运用这个结论．找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：

设大巴的平均速度为公里小时，则小车的平均速度为公里小时，
根据题意，得： ，
解得：，
经检验：是原方程的解，
答：大巴的平均速度为公里小时，则小车的平均速度为公里小时；
设苏老师赶上大巴的地点到基地的路程有公里，
根据题意，得： ，
解得：，
答：苏老师追上大巴车的地点到基地的路程有公里． 

【解析】

【分析】
本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并依据相等关系列出方程．
根据路程速度时间，即可解答；
根据“大巴车行驶全程所需时间小车行驶全程所需时间小车晚出发的时间小车早到的时间”列分式方程求解可得；
根据“从学校到相遇点小车行驶所用时间小车晚出发时间大巴车从学校到相遇点所用时间”列方程求解可得．
【解答】
解：大巴车的平均速度是，路程为，
大巴车所需时间为；
又小汽车速度是大巴车的倍，
小巴车速度为，
小巴车所需时间为 ．
故答案为；；；
见答案；
见答案．