青岛版初中数学八年级上册期末测试卷（困难）（含答案解析）

青岛版初中数学八年级上册期末测试卷

考试范围：全册；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，在中，，，，垂足分别为、，、交于点，且下列四个结论：；；；是等腰直角三角形你认为正确的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接下列结论：；；平分；平分其中正确的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. 等腰三角形的一个角是，则它的底角是(    )

A.  B. 或 C. 或 D.

4. 如图，在中，，，，在上，将沿直线翻折后，点落在点处，如果，那么的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图，在菱形中，，的两顶点，分别落在边，上，从给出的四个条件中任选一个：；；；能够推出为等边三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 设有理数、、都不为零，且，则的值是(    )

A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 不能确定

7. 把分式中的，都扩大倍，那么分式的值(    )

A. 扩大为原来的倍 B. 缩小为原来的
C. 扩大为原来的倍 D. 不变

8. 为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续天的最高气温，结果如下单位：：，，，下列结论错误的是(    )

A. 平均数是 B. 中位数是 C. 众数是 D. 方差是

9. 已知样本，，的方差是，那么样本，，的方差是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 用三个不等式中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，，为上方一点，、分别为、上的点，、的角平分线交于点，的角平分线与的延长线交于点，下列结论：
    ；
    ；
    ；
    若，则．
    其中正确的结论有个．(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在边长为的等边三角形中，为边上一点，且点，分别在边，上，且，为边的中点，连接交于点若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图所示，，，，结论：其中正确的有          ．

14. 如图，等腰三角形的底边为，面积为，腰的垂直平分线分别交边，于点，，若为边的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为____．
15. 已知，则的值是______．
16. 若一组数据，，，的平均数是，则这组数据的方差是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，小明家有一个玻璃容器，他想测量一下它的内径是多少？但是他无法将刻度尺伸进去直接测量，于是他把两根长度相等的小木条，的中点连在一起，木条可以绕中点自由转动，这样只要测量，的距离，就可以知道玻璃容器的内径，你知道其中的道理吗？请说明理由．

18. 如图，在中，为锐角，点为直线上一动点，以为直角边且在的右侧作等腰直角三角形，，．
     

如果，．

当点在线段上时，如图，线段，的位置关系为________，数量关系为________．

当点在线段的延长线上时，如图，中的结论是否仍然成立，请说明理由．

如图，如果，，点在线段上运动．探究：当多少度时，？请说明理由．

19. 如图，和都是等边三角形．
    探究发现
    与是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．
    拓展运用
    若、、三点不在一条直线上，，，，求的长．
    若、、三点在一条直线上如图，且和的边长分别为和，求的面积及的长．
     

20. 如图，在和中，，，，连接，，与交于点，与交于点．

求证：．

若，求的度数．

若为上一点，，，且，求证：．

21. 先化简，再求值：，其中．
22. 某汽车装配厂计划在规定的时限内组装汽车辆，组装了辆汽车后，又追加了组装辆汽车的订单，要求交货时间不超过原来规定的期限，通过挖潜改革，提高工效，平均每天比原计划多组装辆汽车，结果提前天交货．问追加订单后，平均每天组装多少辆汽车？
23. 要从甲、乙两名射击运动员中挑选一人参加全国比赛，在最近的次选拔赛中、他们的成绩如下单位：环：
    甲：、、、、
    乙：、、、、
    甲运动员这次选拔赛成绩的中位数和众数分别是多少？
    求乙运动员这次选拔赛成绩的平均数和方差；
    若已知甲运动员的选拔赛成绩的方差为，为了保证稳定发挥，应该选哪位运动员参加比赛？
24. 甲、乙两同学的五次数学测验成绩如下：

如果这个班数学成绩的平均数为分，试根据以上数据，对甲、乙两名学生的数学学习状况作出分析．

25. 如图，在五边形中，，．
    猜想与之间的位置关系，并说明理由；
    如图，延长至，连接，若，，，求的度数．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定；证明≌是解题的关键根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的判定对各选项进行判断即可得出答案．
【解答】
解：，
，
，，
，
，故是等腰直角三角形正确；
在和中，

≌，
，故正确；
，，
，
即，故正确；
，，
是等腰直角三角形，
，
又，
，故不正确．
故选C．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．由证明≌得出，，正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，正确；作于，于，如图所示：则，由证明≌，得出，证明≌，得出平分，正确；由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出≌，得，而，所以，而，故错误；即可得出结论．
【解答】
解：，
，
即，
在和中，

≌，
，，正确；
，
由三角形的外角性质得：，
，正确；
作于，于，如图所示：

则，
在和中，

≌，
，
，
，
≌，
，
平分，正确；
，
当时，才平分，
假设
，
，
平分，
，
在和中，

≌，
，


与矛盾，
错误；
正确的个数有个．
故选B．  

3.【答案】 

【解析】解：当底角为时，则底角为，
当顶角为时，由三角形内角和定理可求得底角为：，
所以底角为或，
故选：．
分这个角为底角和顶角两种情况讨论即可．
本题主要考查等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了勾股定理和含度的直角三角形三边的关系．先根据勾股定理计算出，根据含度的直角三角形三边的关系得到，在根据折叠的性质得，，，由于得，所以，在中可计算出，，则，在中计算出，，然后利用计算即可．

【解答】

解：，，，
，
，
沿直线翻折后，点落在点处，
，，，
，
，
，
在中，，，
，
在中，，，




．
故选A．

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查等边三角形的判定与性质．
根据等边三角形的判定方法分别对四个条件一一推理判断即可．
【解答】
解：能够推出为等边三角形
理由如下：
如图

四边形是菱形，
，

和都是等边三角形，


，
，

在和中，

，

，
为等边三角形．
能够推出为等边三角形
理由如下：
如图

四边形是菱形，
．
．
是等边三角形，
在上截取，则是等边三角形，
，
，又因为，
．
在与中，
．
，
．
，
是等边三角形
不能推出为等边三角形
理由如下：
如图

四边形是菱形，
，

和都是等边三角形，
，，
因为，，，边边角不能判定与全等，
故不能推出为等边三角形；
 不能推出为等边三角形
理由如下：
如图

在上截取，
四边形是菱形，
，

、和都是等边三角形，
，
，
因为，，，边边角不能判定与全等，
故不能推出为等边三角形．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查分式的化简求值和整体代入求值，关键是由，则，，，然后代入化简即可得出答案．
【解答】
解：由，得，，，
代入，得．
故选C．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查分式及其性质，根据分式的基本性质进行化简计算即可．
【解答】
解：分式中的，都扩大倍，
，
分式的值扩大为原来的倍．
故选A  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了方差、平均数、中位数及众数的知识，属于基础题，掌握各部分的定义及计算方法是解题关键．
根据平均数的计算公式、中位数、众数的定义以及方差公式分别对每一项进行分析即可．
【解答】
解：平均数，
把这些数从小到大排列为：，，，，
则中位数是；
数据出现两次最多，
众数为，
方差．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查方差的定义．可以推广到一般的情况即样本中如果每个数据都加上一个数，则平均值为 ，方差不变．如果样本中每个数据都乘以一个数，这平均值为，方差为．
显然本题样本中的每个数据都乘以，则平均值为，代入方差公式可以求得本题的方差．
【解答】
解：由题意可知：
、、的方差．
样本、、平均值为，
则方差


．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．由题意得出个命题，由不等式的性质再判断真假即可．
【解答】
解：若，，则；假命题：
理由：，，
，
；
若，，则，假命题；
理由：，
、同号，
，
，或；
若，，则，假命题；
理由：，，
当、异号，
．
组成真命题的个数为个；
故选A．  

11.【答案】 

【解析】解：平分，平分，
，，
，
即，故正确；
设与交于，于交于，

，
，
，
，故正确；
平分，平分，
，，
，
，，
，
，，
，故正确；
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，故正确．
综上，正确答案有个，
故选：．
由角平分线的定义及平行线的性质可求解，即可判定；设与交于，于交于，由平行线的性质可得，结合三角形外角的性质可性质；由角平分线的定义可得，，结合平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质可证明；由三角形外角的性质可得，根据直角三角形的性质及的结论可求解的度数，即可判定．
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，灵活运用性质解决问题是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：等边三角形边长为，，
，，
等边三角形中，，
，
，
，
，
，，
如图，连接，则中，，
，
是等边三角形，
，
垂直平分，
，，
中，，，
为的中点，
，
，
故选：．
根据等边三角形边长为，在中求得的长，再根据垂直平分，在中求得，最后根据线段和可得的长．
本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了全等三角形的性质与判别，考查了学生根据图形分析问题，解决问题的能力．其中全等三角形的判别方法有：，，，及学生应根据图形及已知的条件选择合适的证明全等的方法．
由，，，利用“”得到与全等，根据全等三角形的对应边相等且对应角相等即可得到与相等，与相等，与相等，然后在等式两边都减去，得到与相等，然后再由，，，利用“”得到与全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到选项和正确；然后再，，，利用“”得到与全等，故选项正确；若选项正确，得到与相等，且都为，而不一定为，故错误．
【解答】

解：在和中，
，，，
≌，
，，，
，即，
在和中，
，，，
≌，
，，故选项和正确；
在和中，
，，公共角，
≌，故选项正确；
若，，而不一定为，故错误，
则正确的选项有：．
故答案为．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故AD，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，，推出，故AD的长为的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
【解答】
解：连接，．
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，，
，
的长为的最小值，
的周长最短  

15.【答案】 

【解析】解：，
设，
，，，





，
故答案为：．
利用设法进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设法进行计算是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：数据 ，，，的平均数是，
，
，
这组数据的方差是：；
故答案为：．
先根据平均数的定义确定出的值，再根据方差的计算公式，代值计算即可．
此题考查了平均数和方差的定义，平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．
 

17.【答案】解：如图所示：连接，，
在和中，
，
≌，
．
故只要测量，的距离，就可以知道玻璃容器的内径． 

【解析】连接，，利用全等三角形的判定方法得出≌，进而求出即可．
此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
 

18.【答案】解：垂直；相等；
成立，理由如下：
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
；
当时，，
理由：过点作交的延长线于点，则，

，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
即． 

【解析】

【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质．
根据等腰直角三角形的性质得到，，推出≌，根据全等三角形的性质即可得到结论；
由等腰直角三角形的性质，同方法，可推出≌，根据全等三角形的性质得到，，根据余角的性质即可得到结论；
过点作交的延长线于点，于是得到，可推出，证得，再证明≌，根据全等三角形的性质即可得到结果．
【解答】

解：等腰直角三角形中，，
，
，
，
在与中，

≌，
，，
，即；
见答案；
见答案．

19.【答案】解：全等，理由是：
和都是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
≌；
如图，由得：≌，

，
都是等边三角形，
，，
，
，
在中，，，
，
；
如图，过作于，

、、三点在一条直线上，
，
和都是等边三角形，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
． 

【解析】依据等式的性质可证明，然后依据可证明≌；
由知：，利用勾股定理计算的长，可得的长；
如图，过作于，先根据平角的定义得，利用特殊角的三角函数可得的长，由三角形面积公式可得的面积，最后根据勾股定理可得的长．
本题是三角形的综合题，主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，
，
即，
在与中，
，
≌，
；
解：≌，
，
，
，
，
答：的度数为；
证明：如图，连接，

≌，
，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
由知：，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据，，，从而得出，即可得出≌，进而可以解决问题；
结合证明，进而可以解决问题；
连接，证明≌，可得，，然后证明，根据，可得，再根据等腰三角形的性质即可解决问题．
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质；
 

21.【答案】解：原式


，
当时，
原式

． 

【解析】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握运算法则是解题关键，直接利用分式的混合运算法则将原式变形进而得出答案．
 

22.【答案】解：设原计划平均每天组装辆汽车，则追加订单后，平均每天组装辆汽车．
由题意，得，
整理，得，
解得：或负值舍去．
经检验：是原方程的解．
当时，．
答：追加订单后，平均每天组装辆汽车． 

【解析】如果设原计划平均每天组装辆汽车，那么根据“平均每天比原计划多组装辆汽车”，可知追加订单后，平均每天组装辆汽车．再根据“追加订单后，结果提前天交货”得到等量关系：按原计划
组装辆汽车所需时间按原计划组装辆汽车所需时间追加订单后组装辆汽车所需时间．
本题考查了分式方程在工程问题中的应用．工程问题基本关系式为：工作总量工作效率工作时间．本题等量关系实质是按原计划组装辆汽车所需时间比提高工效后组装辆汽车所需时间少天．
 

23.【答案】解：甲运动员的成绩按照从小到大排列是：、、、、，
甲运动员这次选拔赛成绩的中位数和众数分别是，；
由题意可得，
，
；
甲的方差是，乙的方差是，，
应该选择甲运动员参加比赛． 

【解析】根据中位数和众数的定义可以解答本题；
根据平均数和方差的计算方法可以解答本题；
根据方差越小越稳定可以解答本题．
本题考查平均数、方差、中位数、众数，解答本题的关键是明确平均数和方差的计算方法、知道什么是中位数和众数．
 

24.【答案】解：；；
，
这个班数学成绩的平均数为分，
，
甲、乙两名学生的数学学习状况都非常好，
，
，
，
乙的成绩比较稳定． 

【解析】分别计算出甲、乙两名学生的数学五次的数学成绩平均分，在和班级平均分相比较即可得到他们的数学学习状况．再求出方差比较稳定性．
本题考查了方差，算术平均数，算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
 

25.【答案】解：猜想：，
理由：，
，
，
，
；
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：． 

【解析】与平行，理由为：由，根据两直线平行同旁内角互补，可得：，然后由，根据等量代换可得：，然后根据同旁内角互补两直线平行，即可证明与平行；
由，根据两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，可得：，，由，根据等量代换可得：，，由，根据等量代换可得：，然后根据平角的定义可得：，进而可得，由，可得：，结合计算可求解的度数．
此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．