2022年高中名校自主招生初升高衔接数学讲义12 高斯函数 含答案

第十二讲  高斯函数

知识要点

不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，称为x的小数部分，记作. 例如，，. 这一规定最早为大数学家高斯所使用，故称为高斯函数.

高斯函数的性质：

（1）的定义域为实数集，值域为整数集；

（2）；

（3）；

（4）当，；

（5）设n为整数，则；

（6）；

（7）对任意正实数有.

特别地，对正数x及正整数n有，；

（8）对正实数x、y有；

（9）设n为正整数，则；

（10）对整数x，有，对非整数x，有；

（11）对正数m和n，不大于m的n的倍数共有个；

（12）①，②，③（n为整数）；

（13）设p为任一素数，在n！中含p的最高乘方次数记为，则

.

例题精讲

1. 计算的值. （2017共出现了2017次）
2. 计算的值.
3. 已知，且满足，求的值.
4. 在中，有多少个不同的整数？
5. 解方程.
6. 解方程.
7. 解方程.
8. 证明：对于任意实数x，有.

习题巩固

9. 设，求.
10. 求的值.
11. 计算的值.
12. 在中，有多少个不同的整数？
13. 解方程.
14. 解方程.
15. 解方程.
16. 解方程.
17. 解方程.
18. 求满足的所有x的和.
19. 解方程.
20. 设表示不超过x的最大整数，求方程的解.
21. （1）从1017到2017的整数中，有多少个数是7的倍数？

（2）如果，求最大的正整数k.

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22. 求不超过的最大整数.
23. 用表示不大于x的最大x的整数，如. 解方程：

.

参考答案

例题精讲

1. 为了方便表述，记（n个2017），则

.

所以

，

即.

所以

，

即.

同理：.  

所以.

2. 由题意，.

事实上，当为整数，而a、b均不是整数时，有为整数，则为整数，又，所以，故. 根据上面结论，将原式首尾配对，共有251对，所以.

3. 因为，故则或1，共有18个1，由性质（4）可知，前面11项均为0，后面18项均为1，即

，

.

所以解得，故.

所以.

4. 设.

当时，必有，此时，解得，所以，从0到503的整数都能取到，当时，必有，此时，所以是不同的整数，从而，共有个不同的整数.

5. （法一）原方程化为，代入得，得，则可能取值为、，对应的x取值为、. 经检验，和均为原方程的解.

（法二）原方程化为，代入，得，得，故或，对应的x取值为、. 经检验，和均为原方程的根.

6. 原方程化为，代入得，解得或. 所以的可能取值为、2、3，对应的x取值分别为、、3. 经检验或或均为原方程的解.
7. 去分母，将原方程化为，当时，只需满足x为非零整数；当时，，将代入得. 当时，，此时无整数解，当时，，解得，此时.
8. 当时，

，

.

所以；

当时，

，

，

所以，.

因此，对于任意实数x，恒成立.

习题巩固

9. 考虑的整数部分.

，

所以

，

整数部分为，故

故.

10. 考虑，其中，因为，故，原式.
11. 首尾配对，原式.
12. 设.

当时，必有，此时，解得，故从0到8的整数都能取到；

当时，必有，此时，所以是不同的整数，从而共有个不同的整数.

13. 将原方程代入得，解得，则，即，所以的可能取值为、，对应的x取值为、，经检验或为原方程的解.
14. 由题意，得，解得：，所以，经检验为原方程的解.
15. 由题意，得. 估算一下x的范围，得到：，所以.
16. 由题意，得，得或，所以，代入检验得.
17. 由于，，所以：，即：，解得：，故. 所以，对应的x为，经检验或为原方程的解.
18. 原方程化为，所以，可得，于是，从而，满足条件的x为：

，

和为：.

19. 代入得，即，由得，故，所以.
20. 将代入得，解得，1，所以.
21. （1）1到2017的整数中有个7的倍数，1到1016的整数中有7的倍数个，故1017到2017的整数中有个7的倍数；

（2）2017！中含有7的次数为，1016！中含有7的次数为，故k的最大值为.

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22. 设，则

，

，

，

因为，所以. 所以求不超过的最大整数是7039.

23. （1）当x是整数，则，所有非零整数都是原方程的解.

（2）当x不是整数，则，由原方程得. 所以

.

当，则. 代入①，得.

当时，，这样的整数不存在；

当时，，只有整数满足，此时.

综上所述，原方程的解为所有非零整数和.