2022年高中名校自主招生初升高衔接数学讲义7 几何定理 含答案
展开第七讲 几何定理
知识要点
在几何证明中有很多定理十分的有趣，在介绍这些定理之前，先介绍一下正弦定理与余弦定理.
正弦定理与余弦定理是揭示三角形中边角之间的数量关系的两个重要定理，而三角形是最基本、最重要的几何图形，所以它们是联系三角与几何的纽带.因此，正弦定理和余弦定理有着极广泛的应用，它们在代数方面主要用于解斜三角形、判定三角形形状等等；在几何方面主要用于计算、证明以及求解几何定值与几何最值等等.
正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等.这个表述等价于：在三角形中，各边之比等于它所对的角的正弦之比.
有，此式变形得.
余弦定理：在三角形中，任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍.这个表述等价于：任何一角的余弦等于它的两条夹边的平方和减去对边的平方的差除以夹边乘积的两倍所得的商.
有，，.
变形得，，.
以上的证明过程可以使用勾股定理来证明.
例题精讲
- （梅氏定理）如图7-1，E、M分别为AB、AC上的任意一点，D为EM与BC延长线的交点，求证：.
- （塞瓦定理）如图7-3，在中，、与相交于点O.试证明：.
- 若钝角三角形的三边分别为、2、x，试求x的取值范围.
- 证明：三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边距离的两倍.
- 证明：（斯德瓦尔特定理）如图7-5，中，D是BC上任意一点，则有.
- 证明斯坦纳（Steiner）定理：若P为内任意一点，作，交BC于点D，作于点E，作于点F.则.
- 证明笛沙格定理：如图7-7，平面上有两个三角形、，设它们的对应顶点（A和、B和、C和）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线.
- 证明阿波罗尼斯圆：如图7-8，到两定点A、B的距离之比为定比（值不为1）的点E，位于将线段AB分成的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上.
- 证明西姆松定理：
（1）如图7-11，从外接圆上任一点P向三边AB、BC、CA所在直线引垂线，设垂足分别为点D、E、F，则点D、E、F共线.
（2）由外一点P向其三边AB、BC、CA所在直线引垂线，垂足为点D、E、F.若点D、E、F共线，则点P必在的外接圆上.
习题巩固
- 证明海伦公式：，，a、b、c为三边长.
- 如图，AM是的BC边上的中线，求证：.
- 证明：若G为的重心，P为所在平面上任意一点.则
.
- 证明：平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
- 求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍.
- 如图，四边形ABCD的对边AB与CD、AD与BC分别相交于点L、K，对角线AC与BD交于点M，直线KL与BD、AC分别交于点F、G.求证：.
- 在中，已知，求证：.
- 若a、b、x、y是实数，且，.求证：.（请用几何方法）
- 如图，已知AD、BE、CF是的三条高，点D在直线AB、BE、CF、CA上的射影分别是点M、N、P、Q.求证：M、N、P、Q四点共线.
- 已知四边形ABCD是圆内接四边形，且是直角，若从B作直线AC、AD的垂线，垂足分别为点E、F，则直线EF平分线段BD.
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- （托勒密定理）已知，四边形ABCD内接于圆，求证：.
- 某人在学习了三角形面积的海伦公式（若一个三角形的三边长分别是a、b、c，则它的面积，其中）以后，（1）他试图用例子说明，存在着两个不全等，并且边长是正整数的等腰三角形，它们的周长相等，而且面积相等.为了方便，他设定两个等腰三角形的底边边长之比为2.请你按上述思路给出一组满足要求的例子.（2）两个等边三角形面积相等，它们一定全等；两个等腰直角三角形也是如此.除此之外，请你考虑，能否以两个三角形周长相等，面积相等为前提，再附加一个有关三角形形状特征的条件，从而推导出此时这两个三角形必定全等？
参考答案
- 以下提供的是面积法证明梅氏定理（爱因斯坦称为优雅的证明，利用平行线的是丑陋的证明）.
如图7-2，连结AD、BM.
，，.
故.
- 由和有公共底边OA，而这两个三角形OA上的高之比为.
所以.同理，，.
三式相乘，化简得：.
- 若x为最大边，设钝角为，，又，解得.
又，所以.
若2为最大边，，又，解得.
又因为，得.
综上，或.
- 事实上，如图7-4，AD、BE、CF分别为的三条高，D、E、F分别为垂足，H是垂心.O是的外心，M、N、L分别是BC、CA、AB的中点，则OM、ON、OL即为外心O到三边的距离.
取BH的中点P，连结PL、PM，则，，，.
而，，则，，即四边形PMOL为平行四边形.（或连结PO，有）有
，
.
同理，.
- 如图7-6所示，过点A作BC的垂线，垂足为点E，则有，，.
故
.
即.
点评：由斯德瓦尔特定理可以得出很多有用的结论，比如上例，令本例中，则很快得出上例的结论以及中线长的公式，一般地，只要的三条边已知，BC上一点D的位置已知，则AD的长度便可直接求出来.另外，此结论用余弦定理证明也是很快的：
在中，由余弦定理可知，.
在中，由余弦定理可知，.
故
.
.
- 运用梅涅劳斯定理是证明三个没有直接联系的点共线的常用方法；
假设：，，.
因为直线AC割三角形，所以
，
即
.
所以 .
同理，可得到：.
同理可得到： .
所以
.
所以G、E、D共线.
证明逆定理可以使用同一法.
- 首先证明阿波罗尼斯定理的逆定理：将线段AB分成（值不为1）的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上任意一点到两定点A、B的距离之比为定比.
如图7-9，连结OE.
不妨设，设，则，，，.
所以圆的直径为.
圆的半径，
，
，
可得到.
所以，对于上任意一点E有，，所以，所以.
阿波罗尼斯定理的逆定理证明成立后，反过来再证明原来的定理可以使用反证法.
设E不在圆上并且.
如图7-10，连结EC，则EC为三角形AEB的角平分线，如果EC或其延长线与圆有另一个交点，则根据已证明的逆定理，所以是三角形的角平分线，于是很容易证明，该结论与值不为1矛盾.
如果EC或其延长线与圆只有一个交点，则EC与圆相切，于是容易证明，同样能得出矛盾.所以假设不成立.即满足的点只能在CD为直径的圆上.
另解：运用余弦定理可以直接得到原命题.
已知：A、B、C、D共线，，O为CD中点，求证：.
，
其中.
又因为，，所以.
所以 .
所以 .
所以 .
- （1）如图7-12，连结DE、EF、PB、PC.由，可知，D、B、P、E四点共圆，故.
由，可知，P、E、C、F四点共圆，故.
又，，可知，，故，从而可知，点D、E、F三点共线.
（2）由，可知，D、B、P、E四点共圆，故.
由，可知，P、E、C、F四点共圆，故.又，故.
又，，故，从而可知，A、B、P、C四点共圆，即点P在的外接圆上.
习题巩固
- .
在中，由余弦定理可得，代入上式可得
.
又，故，，，故.
- 过点A作BC的垂线，垂足为点D.
在中，由勾股定理可知，.
同理，，.
又，，，故
.
备注：本题就是三角形的中线长公式，设a、b、c为三角形的三边长，、、分别为对应边上的中线，则有，，.
本题只给出了一种情况，当中或者为直角或钝角时，同理可证.
另外，可用余弦定理证明该结论：
在中，由余弦定理可知，；
在中，由余弦定理可知，.
两式相加即可得到结论.
- 设BC的中点为M，连结AM、PM.设AM的三等分点分别为点N、G.则点G为的重心.由中线公式有
， ①
， ②
. ③
①+②并代入③得：
.
又，，所以
.
又，
同理，.
将以上三式代入即得.
点评：该结论前一个等式称为卡诺定理，后一等式称为莱布尼兹公式.
- 要证明的结论是：.
如图，过点A、D分别作BC的垂线，垂足分别为点E、F，易证，故，.
由勾股定理可知，，.
故
.
另解：在中，由余弦定理可知，.
在中，由余弦定理可知，.
两式相加可得，.
点评：如果设两对角线的交点为点O，我们发现：
在中，；
在中，.
故，即.
也就是说，用中线长公式（或者斯德瓦尔特定理）也可很快证明.
- 根据题意作图，ABCD为任意四边形，点E、F分别为BD、AC的中点.该图与我们前面讲过的中线长公式的图形是一致的，于是可得，，同理.
两式相加可得，
.
在中，，于是有
.
故.
从而可知，，得证.
点评：本结论也称为欧拉定理.
- 对与点B，由塞瓦定理，得.
对与截线AGC，由梅涅劳斯定理，得.
由两式可得.
- 将结论变形为，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形.
如图，作的外接圆，作弦，连结AD、CD.
在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理，有.
易证，，所以.
两端同除以，得.
- 如图，作直径的圆，在AB两边任作和，使，，，.
由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的.据托勒密定理，有
.
因为，所以.
- 运用西姆松定理解题最重要的是找对哪个点对于哪个三角形的西姆松线.点D对于的西姆松线是MNQ，点D对于的西姆松线是MNP，而M、N即可确定一条直线，故M、N、P、Q四点共线.
- 作交DC的延长线于点G，由西姆松定理有：F、E、G共线，又因为，所以四边形BFDG为矩形，所以对角线FG平分另一条对角线BD.
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- 由于待证结论实质上是一种比例线段的组合形式，一般是通过（或构造）相似三角形.为此，不妨把原式左端也化成线段两两乘积之和.
证法1：几何方法.
如图1，在BD上取一点P，使其满足.
因为，所以，从而有，即
. ①
又，，
所以，从面有，即
. ②
①+②，有 .
即，故
.
证法2：代数证法.
如图2，设，，，，，.
即证.
在中，由余弦定理，有；
在中，同理，有.
因为，所以，即
.
整理，得；同理可得.
于是，，故.即.
- （1）一组三角形边长为8、8、12；11、11、6.
令两个三角形边长分别为、，则有.
由海伦公式及两个三角形面积相等，有
，
整理得.
不妨令联立，解得
令，则
（2）附加条件：两三角形为直角三角形.
不妨设两三角形边长分别为、，其中、为直角边，设内切圆半径为、.
由周长相等、面积相等可得，可以推出，两三角形内切圆半径相等.
由内切圆半径相等可得，又由，可得
又由面积相等，可得，联立可得.可以解得或综上，两三角形全等.
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