2022年高中名校自主招生初升高衔接数学讲义1 代数式 含答案

第一讲 代数式

知识要点

代数式包括在整个初中我们学习的整式、分式、根式等相关内容.在自招中所占的比例较大，无论在填空还是在解答晚上再中都可以找到代数式的身影.

首先我们来看一下代数式章节几个重要的公式（以下列举课本中未涉及的公式）：

，

，

，

，

，

.

例题精讲

1. 若，，，求的值得．
2. 已知，求、的值．
3. 若，则的值是______．
4. 计算．
5. 已知、、是实数.若、、之和恰等于1，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为－1.
6. 设，其中、、、为常数.若，，.试计算.
7. 对于所有的正整数，定义.若正整数满足

，

则的最大值为______．

8. 求所有的三元有序整数组使得为正整数.

习题巩固

9. 因式分解.
10. 因式分解.
11. 已知是方程的一根，求的值.
12. 若为正整数，且是的约数，求的所有可能值总和.
13. 若，求的值.
14. 计算.
15. （1）若实数使得，求的值；

（2）若实数满足，设，求证：一定是无理数.

16. 已知实数、、满足，求的值.
17. 已知，求证.
18. 已知.

求.

自招链接

19. 求的最小值.
20. 我们学过等差数列的求各公式，请利用，推导的公式.

参考答案

例题精讲

1. 对于这样的题目，第一次就直接代入是很不应该的，我们先书写公式：

，

然后把，，代入，得

.

2. 这样的题目在自招的试卷中出现的次数也是非常的多，应熟练选用合适的公式.熟用完全平方公式（注意符号）：

，

所以.

熟用立方差公式（注意符号）：

.

3. 在自招试卷中下面这个公式非常重要：

设，，，则

.

又，故.

从而可知，

.

故      .

4. 在自招试卷中，算式中出现省略号的话，我们一般把通项写出来，然后进行变形，从而找出规律.

.

所以，原式

.

5. 由题设，且，即

则，

，

，

，

.

所以或者或者中，必有一个成立.

不妨设，则将，，分别代入三个分式，可得三个分式的值分别为1、1、－1.

6. 对于数字规律明显的试题，可以考虑使用因式定理来进行化简.

因式定理：如果多项式能被整除，即是的一个因式，那么.

反之，如果，那么是的一个因式.

通过因式定理的推导，可判断

.

所以

.

7. 将具体的数字代入原不等式得：

，

通项.

原不等式化简得：

.

当你做到这一步的时候，可以尝试对每一项进行计算：

，

发现左右有相同的数字，那是因为

，

所以，不等式或以化简为，得：最大值为44.

8. 先证明引理（此引理曾单独在自招试卷中出现）：

若、、、均为有理数，则、、为有理数.

证明如下：

设，所以，，则，，为有理数，同理、均为有理数.

由引理得、、为有理数.

设，，（分子分母互质且为正整数）.

因为，所以，同理，从而

，

.

分情况讨论，不妨设.

（1），（，，）=（3，3，3），（2，3，6），（2，4，4）逐个代入，通过奇偶分析，可得当（，，）=（2，4，4）时，有整数解：

解得

（2），（，，）=（1，2，2），通过奇偶分析无整数解.

（3），（，，）=（1，1，1），通过奇偶分析无整数解.

所以，满足题目条件的为（4030，4030，28210），（4030，28210，4030），（28210，4030，4030）三组.

习题巩固

9. .

.

11. 由于，则，又，所以，.
12. 为整数，则为整数，，2，4，8，16，取值总和为46.
13. 若，则，，

故.

若，则（等比性质），故有，从而可知.

原式.

15. （1）

（2）将平方：，又故，因此为无理数（无理数的证明请参考七年级第二学期课本阅读材料）.

16. .，

显然，可得.

17. ,

即，

故，

则，

故.

等式两边同时除以，可得，

进而，

则，

故，

从而.

故，

展开并化简，可得，即，从而.故.

18.                            ，

，

所以    

自招链接

19. 根据绝对值的几何意义，我们知道的最小值在时取得.，，分别求出最小值的取值范围，可得时取的最小值，最小值为8.
20. 虽然有很多同学知道这个公式最后的答案为，我们先把可以利用的公式写出来看看：.

上面的式子中我们发现了需要推导的，那么下面就是寻找，我们可以把公式变为

.

然后依次类推：.

我们把所有的式子相加：

左边，

右边，

化简得

，

所以

.