2022年高中名校自主招生初升高衔接数学讲义9 几何不等式 含答案
展开第九讲 几何不等式
知识要点
在自招考试中，求几何最值的问题频频出现，比如求最短距离、求某个角度的取值范围、求面积的最大值等等.所有这些问题都可以归结为几何不等式
有关几何不等式的性质和定理如下：
1.三角形两边之和大干第三边，两边之差小于第三边.
2.三角形的外角大于任一不相邻的内角.
3.同一三角形中，大角对大边，大边对大角.
4.两点之间线段最短.
5.两边对应相等的三角形中，所夹的角越大，则它所对的边越大
6.两边对应相等的三角形中，第三边越大，则它所对的角越大
7.直角三角形的斜边大干任一直角边
可以看到，几何不等式的基础大多源于三角形，所以关于三角形的不等式是占绝大多数的，而很多包括四边形、圆的问题都可以化为三角形中的不等关系，因此三角形中的各种不等式是我们讨论的一个重点.
另外需要注意的是，很多几何不等式实际上是代数不等式，还有相当一部分几何不等武的证明过程用到了经典的代数不等式，其中最常用的就是均值不等式.
例题精讲
- 如图9-1，矩形中，，若在、上各取一点、，使的值最小，求这个最小值.
- 已知正三角形的边长为1，点、、分别在、、上，，求的最大面积.
- 在锐角的边、、上各有一动点、、，求证：的周长达到最小当且仅当、、为的三条高.
- 已知点是四边形的边的中点，且，证明：.
- 如图9-7，设的外心为.在其边和上分别取点和，使得.证明：的周长不小于边之长.
- 如图9-9，在的边上取一点，连结，过点作交于点，过点作交于点.求证：
- 如图9-10所示，在中，、、的对边分别为、、，如果，求证：.
- 求证：在凸四边形，有.
- 证明Ptolemy定理（托勒密定理）：对于一般的四边形，有，当且仅当是圆内接四边形时等号成立.
习题巩固
- 如图所示，设，为上一点，，为上一点，，为上任意一点，是上任意一点，求折线的长度的最小值.
- 已知平面内的任意四点，其中任意三点不共线，试问：是否一定能从这样的四个点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至少有一个内角不大于？试证明你的结论.
- 如图，点、、分别在、、上，若分别记、、为、、，证明：，当且仅当、、共点时等号成立.
- 如图，在的边上依次有点、，边上依次有点、
求证：.
- 如图，在中，、、的平分线分别交外接圆于点、、.
证明：.
- 设四边形四边依次为、、、，则其面积不大于
，
其中.取到最大值时，仅当四边形内接于圆.
- 设点为边长为1的正三角形内一点，则、、中至少有一条其长度不超过.
- 已知点是四边形的边的中点，且，证明：.
- 如图，已知中，，为内一点.求证：
.
- 如图所示，在四边形中，，，求证：
（1）；
（2）.
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- 已知为内一点，点至三边、、的距离分别为、、，求当取最小值时点的位置.
- 中，为三角形的重心，过的直线交边于点，交边于点.若的面积为1，求的面积的最大值与最小值.
参考答案
- 如图9-2，作点关于的对称点，连结，则点关于的对称点在上的点处.
此时
过点作于点，则，即的最小值为.
设和交于点，连结，则的面积等于
.
因为，则.
设，则，.
所以，解得.
所以，故的最小值是..
- 如图9-3，设，，，则，.
，于是问题变为求的最小值，展开后约去，即求的最大值.
由不等式知，当时，
，
此时的面积达到最大值.
- 如图9-4，设点关于、的对称点分别为点、，与交于点，与交于点，则
.
这里为的高，为的外接圆半径.
又由对称性，除了外，、也分别必须垂直于、时方能达到.
- 显然，要证题设的不等式，应当把、、三条线段首尾连结成一条折线，然后再与线段比较要实现这一构想，折线之首端应与点重合，尾端应与点重合，这可由轴对称来实现.
如图9-6，以为对称轴，作点关于的对称点，连接、，则，，即，由此.
再以为对称轴，作点关于的对称点，连结、，则，，即，由此.
而，所以
.
注意到
，
因此
，
而，所以是等边三角形，.
由于两点之间以直线段为最短，所以
，
即.
- 如图9-8，注意到，则在内部可取点和，使得，.
从而，，且
.
连结，则，故.
因此，
.
- 由知，且.
又由得，所以.
从而，即，所以
.
上式表明二次方程有实根，从而其判别式非负，即，故.
另解：对于，可以配方得
，
即得结论.
- 注意到，所以等价于.
如图9-11所示，延长至点，使，延长至点，使，则.
过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，连结，则四边形为平行四边形.
则，.
因为，，，故，则，，即，.
从而，在中，.
而，故，即.
- 如图9-12，取的中点，的中点，连结、、，令，，，则由余弦定理得
，
，
而，，
所以.
同理可得
，
，
于是有
.
因为，所以
.
说明：（1）当时，，且有四边形为平行四边形.因此我们有结论：
平行四边形的四边长平方和等于对角线长的平方和.
反过来，若四边形的四边长平方和等于对角线长的平方和，则此四边形为平行四边形
(2)运用余弦（或正弦）定理得到几何线段的不等式，是其思路之一.
- 如图9-13，作线段，且.
则有，可得，所以，所以
.①
又因为
.
所以，所以.即
.
得到
.
当且仅当在上时
，
此时，即、、、四点共圆.
习题巩固
- 构造点关于的对称点，点关于的对称点，则
.
在中，，，，解得，即折线的长度的最小值为12.
- 一定可以从中选出三点符合题意.根据内角的大小，分凸四边形或凹四边形分类讨论即可.
- 设，，，则
，，，
所以
.
又有，
故，
于是命题得证.当且仅当时取等号，由塞瓦逆定理知，此时必有、、共点.
- 设.而
，
即，
所以.
- 如图，连结、、、、、.
因为，，，所以、、相交于一点，即为的内心，则，，.
在中，因为，所以.
同理可证，.
将这三个式子相加并整理，得
.①
因为，，，所以
.②
式得.
- 如图，连结、，交于点，设，则由四边形的余弦定理，得.
又，两式平方后相加，得
，
即
.
由托勒密不等式，有，故
.
由托勒密定理知，仅当内接于圆时，面积取最大值.
- 设为的重心，则.
分别以、、为圆心，经过点作圆，将分为如图所示的6个区域.
当点在区域Ⅰ时，显然有.
同样地，在区域Ⅱ、Ⅲ时，分别有，.
当点在区域Ⅳ时，，至少有一个成立.同样地，在区域Ⅴ时，，至少有一个成立，在区域Ⅵ时，，至少有一个成立.
综上所述，、、中至少有一条不超过.
- 同例4.
- 将三角形逆时针旋转，通过两点之间线段最短得证.
- （1）以为对称轴将翻折到的位置，则由可知在上，且，.
将平移到的位置，则由可知在的延长线上，且，，因此是一个等腰梯形，所以，于是
.
（2）由（1）可得，即
，
而由及勾股定理可得，故.
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- 显然有，而由柯西不等式
.
即有.
上式右边即为最小值，等号当且仅当时取到，即点是的内心.
- 设，由为三角形重心可得.
.
因为，可得，.
则.
根据的取值范围，可得，所以最小值为，最大值为.
即的面积的最大值为，最小值为.
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