初中沪科版第23章 解直角三角形综合与测试单元测试测试题

这是一份初中沪科版第23章 解直角三角形综合与测试单元测试测试题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=1，AB=5，则tanB的值是( )
A. 12B. 2C. 55D. 5
在Rt△ABC中，∠C=90°，csA=45，则sinA=( )
A. 34B. 43C. 35D. 45
如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则( )
A. c=bsinB
B. b=csinB
C. a=btanB
D. b=ctanB
下列各式中，运算结果是分数的是( )
A. sin30°B. (π2)0C. (12)−1D. 34
如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为( )
A. 355
B. 175
C. 35
D. 45
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，BC=6，则AB长是( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目．项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道BC的坡度(或坡比)为i=1：2，BC=125米，CD=8米，∠D=36°，(其中点A、B、C、D均在同一平面内)则垂直升降电梯AB的高度约为米．(精确到0.1米，参考数据：tan36°≈0.73，cs36°≈0.81，sin36°≈0.59)( )
A. 5.6B. 6.9C. 11.4D. 13.9
如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C.设∠ABC=α，下列关系式正确的是( )
A. sinα=ABBCB. sinα=BCABC. sinα=ABACD. sinα=ACAB
如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC的值为( )
A. 2326260
B. 2326130
C. 2329145
D. 2329290
关于三角函数有如下的公式：sin(α−β)=sinαcsβ−csαsinβ，由该公式可求得sin15°的值是( )
A. 6+24B. 6−24C. 3−24D. 3−12
如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cs∠BAC的值是( )
A. 55
B. 105
C. 255
D. 45
如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为183m的地面上，若测角仪的高度是1.5m.测得教学楼的顶部A处的仰角为30°.则教学楼的高度是( )
A. 55.5m
B. 54m
C. 19.5m
D. 18m
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
计算：(π−3)0+cs60°+2−1=______．
在锐角△ABC中，若|sinA−32|+(csB−22)2=0，则∠C的度数是______度．
如图，在高出海平面100m的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=____m．
如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、O都在这些小正方形的顶点上，那么cs∠AOB的值为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
计算：|−3|−2tan45°+(−1)2022−(3−π)0．
(1)计算：|−5|−(3π−10)0+2cs30°+(13)−1；
(2)解不等式组3(x+1)>x−5x−63>x．
如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为点O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．
(1)求证：四边形AFCE是菱形．
(2)若EF=6，AC=22，则cs∠ACD的值为______．
如图1，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC就是悬挂在墙壁AM上的某块匾额的截面示意图．已知BC=2米，∠MBC=37°.从水平地面点D处看点C，仰角∠ADC=45°，从点E处看点B，仰角∠AEB=53°.且DE=4.4米，求匾额悬挂的高度AB的长．(参考数据：sin37°≈35，cs37°≈45，tan37°≈34)
海钓产业，是风靡世界的休闲渔业，集渔业、休闲游钓、旅游观光为一体的产业．海钓是休闲也是运动，一是既刺激又富有乐趣；二是还能锻炼身体．一名优秀的海钓手，不仅要具备丰富的海钓知识，同时还要熟练攀岩、登山、航海、游泳等技能．如图，一艘海钓船以每小时100海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30方°向上．
(1)求线段BP的长度；
(2)已知在灯塔P的周围80海里内有暗礁，则海钓船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由．(参考数据：3≈1.732)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，AB=2，AD=4，tan∠C=1，点E是CD的中点，联结BE．
(1)求线段BC的长；
(2)求∠EBC的正切值．
如图，某小区的物业楼上悬挂一块高为3m的广告牌，即CD=3m.小奇和小妙要测量广告牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE=BF=1.2m，小奇在E处测得广告牌底部点D的仰角为22°，小妙在F处测得广告牌顶部点C的仰角为45°，AB=9m，请根据相关测量信息，求出广告牌底部点D到地面的距离DH的长．(图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内．参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40)
如图所示，在矩形ABCD中，点E在线段CD上，点F在线段AB的延长线上，连接EF交线段BC于点G，连接BD，若DE=BF=3．
(1)求证：四边形BFED是平行四边形；
(2)若tan∠ABD=34，求线段BG的长度．
小红和小明家分别住在某坡地公园左右两侧同一水平面的A、B两处，步道正好连接了坡地公园顶部C处的平台，周末两人为尽快完成一项共同的工作，决定爬坡到公园坡顶的平台C处(平台间距离忽略不计)商量具体情况，已知两人同时从自己家出门，结果又同时到达了坡地公园顶部C处．经了解，小红家所在水平面与坡面AC的夹角为45°(即∠CAB=45°)，小明家所在水平面与坡面BC的夹角为30°(即∠CBA=30°)，已知小明步行速度是1.5米/秒，求小红的步行速度．(参考数据：2≈1.4，3≈1.7，计算结果保留一位小数)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由勾股定理得BC=AB2−AC2=(5)2−12=2，则tanB=ACBC=12．
2.【答案】C
【解析】解：∵sin2A+cs2A=1，即sin2A+(45)2=1，
∴sin2A=925，
∴sinA=35或−35(舍去)，
∴sinA=35．
故选：C．
根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是1，即可求解．
此题主要考查了同角的三角函数，关键是掌握同一锐角的正弦与余弦之间的关系：对任一锐角α，都有sin2α+cs2α=1．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了锐角三角函数的定义，属于基础题．
根据锐角三角函数的定义，进行判断，就可以解决问题．
【解答】
解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴sinB=bc，即b=csinB，故A选项不成立，B选项成立；
tanB=ba，即b=atanB，故C选项不成立，D选项不成立．
故选：B．
4.【答案】A
【解析】解：A、原式=12，∴符合题意；
B、原式=1，∴不符合题意；
C、原式=2，∴不符合题意；
D、原式=32，∴不符合题意；
故选：A．
A、sin30°=12是分数；
B、底数不为0的0次幂为1，是整数；
C、2是整数；
D、32是无理数．
主要考查了二次根式的性质与化简、实数、负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握这几个性质的综合应用是解题关键．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
如图，过点A作AH⊥BC于H.利用勾股定理求出AC即可解决问题．
【解答】
解：如图，过点A作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵AH=4，CH=3，
∴AC=AH2+CH2=42+32=5，
∴sin∠ACH=AHAC=45，
故选：D．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠C=90°，sinA=BCAB=35，BC=6，
∴AB=53BC=53×6=10；
故选：D．
根据三角函数的定义即可得出结果．
本题主要考查了解直角三角形、正弦函数的定义；熟练掌握正弦函数的定义是解决问题的关键．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用，利用勾股定理得出CE，BE的长是解题关键，又利用了正切函数，线段的和差．
根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案．
【解答】
解：如图
，
由斜坡轨道BC的坡度(或坡比)为i=1：2，得
BE：CE=1：2．
设BE=xm，CE=2xm．
在Rt△BCE中，由勾股定理，得
BE2+CE2=BC2，
即x2+(2x)2=(125)2，
解得x=12，
BE=12m，CE=24m，
DE=DC+CE=8+24=32m，
由tan36°≈0.73，得
AEDE=0.73，
解得AE=0.73×32=23.36m．
由线段的和差，得
AB=AE−BE=23.36−12=11.36≈11.4m，
故选：C．
8.【答案】D
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，由锐角三角函数的定义可知，
sinα=sin∠ABC=ACAB，
故选：D．
根据直角三角形的边角关系进行判断即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确判断的前提．
9.【答案】B
【解析】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，

由图知：AB=42+32=5，
BC=12+52=26，
∵S△ABC=5×5−12×4×3−12×5×1−12×5×2=232，
∴12BC⋅AD=232，
∴AD=232626，
在Rt△ABD中，
sin∠ABC=ADAB=2326265=2326130，
故选：B．
过点A作AD⊥BC，垂足为D.利用格点先求出AB、BC的长，利用△ABC的面积求出AD的长，再计算∠ABC的正弦值．
本题考查了勾股定理和解直角三角形，利用△ABC的面积求出AD的长是解决本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：sin15°=sin(45°−30)
=sin45°cs30°−cs45°sin30°
=22×32−22×12，
=6−24，
故选：B．
根据sin15°=sin(45°−30)=sin45°cs30°−cs45°sin30°，代入特殊三角函数值计算即可．
本题主要考查了解直角三角形，掌握特殊三角函数值计算是解题关键．
11.【答案】C
【解析】解：延长AC到D，连接BD，如图：

∵AD2=20，BD2=5，AB2=25，
∴AD2+BD2=AB2，
∴∠ADB=90°，
∴cs∠BAC=ADAB=2025=255，
故选：C．
延长AC到D，连接BD，由网格可得AD2+BD2=AB2，即得∠ADB=90°，可求出答案．
本题考查网格中的锐角三角函数，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形，仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．根据锐角三角函数和直角三角形的性质解答即可．
【解答】
解：过D作DE⊥AB，则四边形BCDE为矩形，
∵在D处测得教学楼顶端A的仰角为30°，
∴∠ADE=30°，
∵BC=DE=183m，
∴AE=DE⋅tan30°=18m，
∴AB=AE+BE=AE+CD=18+1.5=19.5m，
故选C．
13.【答案】2
【解析】解：原式=1+12+12
=2．
故答案为：2．
直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
14.【答案】75
【解析】解：∵|sinA−32|+(csB−22)2=0，
∴sinA−32=0，csB−22=0，
则sinA=32，csB=22，
∴∠A=60°，∠B=45°，
∴∠C=180°−60°−45°=75°．
故答案为：75．
直接利用非负数的性质以及偶次方的性质，结合特殊角的三角函数值得出∠A，∠B的度数，进而得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
15.【答案】100
【解析】
【分析】
此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出BC=ACtan45°是解决问题的关键．根据解直角三角形的应用，测得它的俯角为45°，得出tan45º=ACBC，整理代入计算即可得出答案．
【解答】
解：∵在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，
∴tan45º=ACBC，
∴船与观测者之间的水平距离BC=ACtan45°=100米．
故答案为100．

16.【答案】55
【解析】解：如图，过点A作AC⊥BO于点C，

由题意得：
AB=32+12=10，OB=22+22=22，AO=32+12=10，
∴AB=AO，
∵AC⊥BO，
∴OC=12OB=2，
在Rt△AOC中，cs∠AOC=OCAO=210=55，
∴cs∠AOB的值为55，
故答案为：55．
要求cs∠AOB的值，想到把∠AOB放在直角三角形中，所以过点A作AC⊥BO于点C，解直角三角形即可解答．
本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：|−3|−2tan45°+(−1)2022−(3−π)0
=3−2×1+1−1
=3−2+1−1
=1．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
18.【答案】解：(1)|−5|−(3π−10)0+2cs30°+(13)−1
=5−1+2×32+3
=5−1+3+3
=5+3+2；
(2)3(x+1)>x−5①x−63>x②，
解不等式①得：x>−4，
解不等式②得：x<−3，
∴原不等式组的解集为：−4【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】31111
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵直线l垂直平分线段AC，垂足为点O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F，
∴AE//CF，OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，AE=CE，CF=AF，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCOOA=CO∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF，
∴AE=CE=CF=AF，
∴四边形AFCE是菱形；
(2)解：∵四边形AFCE是菱形，EF=6，AC=22，
∴AO=OC=12AC=2，EO=OF=12EF=3，
在Rt△AOE中，由勾股定理可得：
AE=AO2+OE2=(2)2+32=11，
∵四边形ABCD为矩形，四边形AFCE是菱形，
∴∠ADC=∠AOE=90°，
∴∠ACD=∠AEO=90°−∠DAC，
∴cs∠ACD=cs∠AEO=OEAE=311=31111，
故答案为：31111．
(1)根据矩形的性质得出AD//BC，求出∠EAO=∠FCO，根据线段垂直平分线得出AE//CF，OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，AE=CE，CF=AF，证明△AOE≌△COF，根据全等三角形的性质得出AE=CF，求出AE=CE=CF=AF即可；
(2)根据菱形的性质得出AO=OC=12AC=2，EO=OF=12EF=3，AC⊥EF，根据勾股定理求出AE，求出∠ACD=∠AEO=90°−∠DAC，解直角三角形即可．
本题考查勾股定理，解直角三角形，菱形的判定和性质，矩形的性质，线段垂直平分线等知识点，解题的关键是熟练掌握菱形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识点并综合运用．
20.【答案】解：过点C作CN⊥AB，CF⊥AD，垂足为N、F，如图所示：
在Rt△BCN中，
CN=BC⋅sin∠MBC=2×35=1.2(米)，
BN=BC×cs37°=2×45=1.6(米)
在Rt△ABE中，
AE=AB⋅tan∠BEA=AB×tan53°=AB×tan37°=0.75AB，
∵∠ADC=45°，
∴CF=DF，
∴BN+AB=AD−AF
即：1.6+AB=0.75AB+4.4−1.2，
解得，AB=6.4(米)
答：匾额悬挂的高度AB的长约为6.4米．
【解析】通过作垂线构造直角三角形，在Rt△BCN中，求出CN、BN，在Rt△ABE中用AB的代数式表示AE，再根据∠ADC=45°得出CF=DF，列方程求解即可．
考查直角三角形的边角关系，通过作垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数表示边，再利用各条边之间的关系，列方程求解是解决问题的常用方法．
21.【答案】解：(1)过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C．

则∠PAC=30°，∠BPC=30°，AB=1×100=100(海里)，
设BC=x海里，
∴AC=(100+x)海里，
在Rt△PBC中，tan30°=BCPC=xPC=33，
解得PC=3x，
在Rt△PAC中，tan30°=PCAC=3x100+x=33，
解得x=50，
∴BC=50海里，
∴BP=2BC=2×50=100(海里)．
∴线段BP的长度为100海里．
(2)由(1)可知，PC=503≈86.6(海里)，
∵86.6>80，
∴海钓船继续向正东方向航行是安全的．
【解析】(1)过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C.设BC=x海里，在Rt△PBC中，tan∠BPC=tan30°=BCPC=xPC=33，解得PC=3x，在Rt△PAC中，tan30°=PCAC=3x100+x=33，解得x=50，则BP=2BC=100海里．
(2)求出PC的长，与80比较，即可得出结论．
本题考查解直角三角形的应用−方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)过点D作DF⊥BC于F，
则AB//DF，
∵AD//BC，∠ABC=90°，
∴四边形ABFD为矩形，
∴BF=AD=4，DF=AB=2，
在Rt△DFC中，tanC=1，
则FC=DF=2，
∴BC=BF+FC=4+2=6；
(2)过点E作EG⊥BC于G，
则EG//DF，
∵点E是CD的中点，
∴EG=12DF=1，FG=12FC=1，
∴BG=BF+FG=5，
∴tan∠EBC=EGBG=15．
【解析】(1)过点D作DF⊥BC于F，根据矩形的性质得到BF=AD=4，DF=AB=2，根据正切的定义求出FC，计算即可；
(2)过点E作EG⊥BC于G，根据三角形中位线定理求出EG、FG，进而求出BG，根据正切的定义计算，得到答案．
本题考查的是直角梯形、解直角三角形、三角形中位线定理，掌握正切的定义是解题的关键．
23.【答案】解：过点F作FG⊥CH．

则点E，F，G在同一条直线上，∠DEG=22°，∠CFG=45°，EF=AB=9m，GH=AE=BF=1.2m，
设FG=x m，则CG=FG=x m，
∴DG=CG−CD=(x−3)m，EG=EF+FG=(x+9)m，
在Rt△DEG中，tan22°=DGEG=x−3x+9≈0.40，
解得x=11，
∴CG=11m，DG=8m，
∴DH=DG+GH=8+1.2=9.2(m)．
∴广告牌底部点D到地面的距离DH的长约为9.2m．
【解析】过点F作FG⊥CH.设FG=x m，则CG=FG=xm，DG=CG−CD=(x−3)m，EG=EF+FG=(x+9)m，在Rt△DEG中，tan22°=DGEG=x−3x+9≈0.40，解得x=11，再根据DH=DG+GH可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
24.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴DC//AB，
又∵DE=BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
(2)∵四边形DEFB是平行四边形，
∴DB//EF，
∴∠ABD=∠F，
∴tan∠ABD=tanF=34，
∴BGBF=34，
又∵BF=3，
∴BG=94．
【解析】(1)由矩形的性质可得DC//AB，可得结论；
(2)由平行四边形的性质可得DB//EF，可证∠ABD=∠F，由锐角三角函数可求解．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，锐角三角函数等知识，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
25.【答案】解：过点C作CD⊥AB于D，
设小红的步行速度为x米/秒，
在Rt△CDB中，∠CBD=30°，
则BC=2CD，
在Rt△CDA中，∠CAD=45°，
则AC=2CD，
由题意得：ACx=BC1.5，即2CDx=2CD1.5，
解得：x≈1.1，
答：小红的步行速度约为1.1米/秒．
【解析】过点C作CD⊥AB于D，根据直角三角形的性质分别用CD表示出AC、BC，根据题意列式计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握直角三角形的性质是解题的关键．