沪科版初中数学九年级上册期中测试卷（较易）（含答案解析）

沪科版初中数学九年级上册期中测试卷

考试范围：第21.22章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 一件工艺品进价为元，标价元售出，每天可售出件．根据销售统计，一件工艺品每降价元出售，则每天可多售出件，要使每天获得的利润最大，每件需降价(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

2. 如果反比例函数图象经过点，那么此反比例函数解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 反比例函数为常数的图象经过点，则它的图象还经过点(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，点、在反比例函数的图象上，延长交轴于点，若的面积是，且点是的中点，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是(    )

A.  B.
C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而减小

6. 下列关于二次函数为常数的结论错误的是(    )

A. 当时，随的增大而减小
B. 该函数的图象一定经过点
C. 该函数图象的顶点在函数的图象上
D. 该函数图象与函数的图象形状相同

7. 如图，在中，点为边上的一点，且，，过点作，交于点，若，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 若，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知∽，点是的中点，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为，旗杆底部与平面镜的水平距离为，若小明的眼晴与地面的距离为，则旗杆的高度为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，与位似，点是位似中心，若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，的两个锐角顶点，在函数的图象上，轴，，若点的坐标为，则点的坐标为______．

14. 已知是的反比例函数，当时，随的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式____．
15. 如图，中，已知点、、分别为、、的中点，设的面积为，的面积为，则：______．

16. 如图，四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，若：：，则四边形与四边形的面积比为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，已知一次函数为常数的图象与反比例函数为常数，且的图象相交于点．
    
    求这两个函数的表达式及其图象的另一交点的坐标
    观察图象，写出使函数值的自变量的取值范围．
18. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
    例题：求代数式的最小值．
    解：
    
    
    代数式的最小值为．
    求代数式的最小值；
    若，则______．
    某居民小区要在一块一边靠墙墙长米的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为米的栅栏围成．如图，设米，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？

19. 如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，过作轴，交过点的一次函数的图象于点，交反比例函数的图象于点，．
    求反比例比数和一次函数的表达式；
    求的长．

20. 为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
    求这一函数的表达式；
    当气体体积为时，求气体压强的值．
    若注射器内气体的压强不能超过，则其体积要控制在什么范围？
     

21. 如图，在平面直角坐标系中，▱的顶点、、的坐标分别为、、，顶点在第--象限，反比例函数的图象经过点．
    求反比例函数的解析式．
    连结，若点是反比例函数的图象上的一点，且以点、、为顶点的三角形面积与的面积相等，求点的坐标．

22. 如图，▱的对角线、相交于点，的平分线分别交、于点、，连接，．
    求证：∽；
    若，，求与面积的比值．

23. 如图，为的角平分线，的垂直平分线交的延长线于，交于，连接求证：∽．

24. 如图，中，、分别是、上的点，且，．
    求证：∽；
    若，求的长度

25. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标是，，．
     

请画出与关于轴对称的．

以点为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在轴左侧画出．

在轴上存在点，使得的面积为，请直接写出满足条件的点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
设每件降价元，每天获得的利润记为元，依据：每天获得的总利润每件工艺品的利润每天的销售量，列出函数关系式，配方成顶点式即可得其最值情况．
本题考查了二次函数的应用，主要利用了二次函数的最值问题，表示出降价后的每一件工艺品的利润和销售数量是解题的关键．
【解答】
解：设每件需降价元，每天获利元，
则
即：
，开口向下，
当元时，每天获得的利润最大．
故选A．  

2.【答案】 

【解析】解：把这点，代入解析式，
解得，
则反比例函数的解析式是．
故选：．
根据反比例函数图象经过点，把这点代入解析式，进而求出反比例函数的解析式．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．
 

3.【答案】 

【解析】解：由于反比例函数为常数的图象经过点，
所以，
由于只有选项点的纵横坐标的积为，
故选：．
求出的值，再验证各个点的纵横坐标的积等于即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，求出的值是正确判断的前提．
 

4.【答案】 

【解析】解：连接，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：

是的中点，
，
根据的几何意义，
，
，
，
，
，
∽，
是的中点，
相似比为：，
面积的比为：，
即：：，
：：，
解得．
故选：．
先根据是的中点，表示出的面积，再利用的几何意义表示出和的面积，即可得出和的面积，易证∽，根据面积的比等于相似比的平方，列方程即可求出的值．
本题考查了反比例函数的几何意义，运用三角形中线的性质以及相似三角形的性质是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：图象开口向上，
，故A不正确；
图象与轴交于负半轴，
，故B不正确；
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，
故C正确，不正确；
故选：．
根据图象得出，的符号即可判断、，利用二次函数的性质即可判断、．
此题主要考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，对称轴为直线，
时，随增大而减小，故A错误，符合题意；
当时，，
该函数的图象一定经过点，故B正确，不合题意；
，
抛物线顶点坐标为，
抛物线顶点在抛物线上，故C正确，不合题意；
与的二次项系数都为，
两函数图象形状相同，故D正确，不合题意．
故选：．
由抛物线开口方向及对称轴可判断；由抛物线上点的坐标特征可判断；由二次函数解析式可得抛物线顶点坐标，从而判断；由二次函数解析式中二次项系数为可判断．
本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角形面积的计算，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．由题意得到三角形与三角形相似，由相似三角形面积之比等于相似比的平方可求出两三角形面积之比，进而求出四边形与三角形面积之比．利用已知条件求出四边形面积，即可确定出三角形面积．
【解答】
解：，，
，
，
，
，
∽，
，，即：：，
：：，
：：，
，
，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了相似三角形的判定：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【解答】
解：，
，
，，都可判定∽，
选项中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值根据比例的性质设，，，代入代数式化简后即可得到答案．
【解答】

解：，设，，，

，，．
故选A．

10.【答案】 

【解析】解：，是的中点，
，
∽，
，
即：，
解得：，
故选：．
根据相似三角形列出比例式，代入有关数据求解即可．
考查了相似三角形的性质，解题的关键是根据相似三角形列出比例式，难度较小．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高长作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
如图，，，，利用题意得，则可判断∽，然后利用相似比计算出的长．
【解答】
解：如图，，，，

由题意得，
，
∽，
，即，
，
即旗杆的高度为．
故选：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．
利用位似的性质得到∽，，，所以，然后根据相似三角形的性质求解．
【解答】
解：与位似，点为位似中心，，
∽，，，
，
∽，
，
．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．根据点的坐标可以求得反比例函数的解析式和点的横坐标，进而求得点的坐标，本题得以解决．
【解答】
解：点在函数的图象上，
，得，
在中，轴，，
点的横坐标是，
，
点的坐标为，
故答案为：．  

14.【答案】，答案不唯一 

【解析】

【分析】
本题主要考查了反比例函数的性质：
时，函数图象在第一，三象限．在每个象限内随的增大而减小；
时，函数图象在第二，四象限．在每个象限内随的增大而增大．
【解答】
解：只要使反比例中即可．如，答案不唯一．
故答案为：，答案不唯一．  

15.【答案】： 

【解析】解：点、分别为、的中点，
，
，
，
，
是的中点，
，
：：，
：：
故答案为：：．
根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形用表示出、、，的面积，然后表示出的面积，再表示出的面积，即可得解．
本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，是此类题目常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．
 

16.【答案】： 

【解析】解：四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，：：，
四边形与四边形的面积比为：：：．
故答案为：：．
直接利用位似图形的性质结合相似图形的性质得出面积比．
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似比与面积比的关系是解题关键．
 

17.【答案】解：由题意得，，解得，
所以一次函数的表达式为．
由点在上，得，解得，
所以反比例函数的表达式为．
联立两个函数的表达式，得
解得
所以交点的坐标为．
由图象可知，当或时，函数值． 

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
把点坐标分别代入为常数和可求出和的值，从而得到这两个函数的解析式分别为，；然后解由它们所组的方程组，即可得到点坐标；
观察图象得到当或时，一次函数值大于等于反比例函数值．
 

18.【答案】 

【解析】解：，
，
，
代数式的最小值为；
，
，
，，
，，
，
故答案为：；
设花园的面积为，由题意可得，
，
，
当时，最大，最大值为，
此时的长是，
当时，花园的面积最大，最大面积是．
根据阅读材料将所求的式子配方为，再根据非负数的性质得出最小值；
根据阅读材料将所求的式子配方成，再根据非负数的性质求出、，代入计算即可；
先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据函数的性质求最值．
本题考查了配方法的应用，非负数的性质，二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 

19.【答案】解：点在反比例函数的图象上，轴，
，
，
反比例函数为，
一次函数的图象过点，
，解得，
一次函数为；
过作轴，交过点的一次函数的图象于点，
当时；，
，，
． 

【解析】利用反比例函数系数的几何意义即可求得的值，把的坐标代入即可求得的值，从而求得反比例和一次函数的解析式；
利用两个函数的解析式求得、的坐标，进一步即可求得的长度．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数系数的几何意义，反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，求得函数的解析式是解题的关键．
 

20.【答案】解：设，
由题意知，
，即；
当时，，
气球内气体的气压是；
当时，．
为了安全起见，气体的体积应不少于． 

【解析】设出反比例函数解析式，把点坐标代入可得函数解析式；
把代入得到的函数解析式，可得；
把代入得到即可．
本题考查反比例函数的应用；应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义．
 

21.【答案】解：，、，四边形是平行四边形，
，
，
把点代入得：，
解得，
反比例函数的解析式为；
设点，
，，
，，
，
，
，
或． 

【解析】求出点的坐标，即可求出反比例函数的解析式；
先求出的面积，根据与的面积相等，先求出点的横坐标，再代入反比例函数解析式即可求出纵坐标．
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、平行四边形性质、三角形面积的计算方法、勾股定理的应用，熟知待定系数法是解题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
平分，
，
，
，
∽；
解：四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
，
，
，
与面积的比为． 

【解析】由平行四边形的性质可得，从而得出是的垂直平分线，则，从而证明，即可得出结论；
由∽，可得，求出的长，根据高相等的两个三角形面积比等于底之比可得答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】证明：是的平分线，
，
是的垂直平分线，
，
，
，，
，
∽． 

【解析】根据角平分线的定义得到，根据线段垂直平分线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角的即可得到结论
本题考查了三角形的判定，三角形的外角性质，角平分线定义，线段垂直平分线性质等知识点的运用，关键是推出，培养了学生综合运用性质进行推理的能力．
 

24.【答案】证明：，．
，
，
∽；
解：∽，
，，
，
，，
∽，
，
，
，
． 

【解析】由，得出，，即可证明∽；
由∽，得出，，进而得出，得出，，证明∽，再利用相似三角形的性质，即可求出的长度．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：如图所示：，即为所求；

如图所示：，即为所求；

如图所示：当的面积为时，点的坐标为：，
． 

【解析】直接利用关于轴对称点的性质得出对应点坐标进而得出答案；
直接利用关于位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案；
直接利用三角形面积求法得出答案．
此题主要考查了轴对称变换以及位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．