2023年新教材高考数学一轮复习课时规范练54二项分布超几何分布正态分布含解析新人教B版

课时规范练54　二项分布、超几何分布、正态分布

基础巩固组

1.袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是(　　)

A. B. C. D.

2.已知随机变量X服从正态分布N(1,σ2),若P(X≤0)=0.2,则P(X≤2)=(　　)

A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8

3.(2021河南驻马店模拟)已知X~B(20,p),且E(X)=6,则D(X)=(　　)

A.1.8 B.6 C.2.1 D.4.2

4.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数,则P(ξ≤1)=(　　)

A. B. C. D.

5.(2021重庆三模)已知随机变量X服从正态分布N(6,σ2)(σ>0),若P(X≥3)=0.8,则P(3≤X≤9)=(　　)

A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8

6.一袋中装有5个红球和3个黑球(除颜色外无区别),任取3球,记其中黑球数为X,则E(X)=(　　)

A. B. C. D.

7.(多选)某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高,得出株高X(单位:cm)服从正态分布,其密度曲线函数为f(x)=,x∈(-∞,+∞),则下列说法正确的是(　　)

A.该地水稻的平均株高为100 cm

B.该地水稻株高的方差为10

C.随机测量一株水稻,其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大

D.随机测量一株水稻,其株高在[80,90]和在[100,110](单位:cm)的概率一样大

8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠,若该电梯在底层载有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯是等可能的,用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,则E(X)=　　　　　. 

9.(2021山东烟台一模)某企业加工了一批新零件,其综合质量指标值X服从正态分布N(80,σ2),且P(X≤60)=0.2,现从中随机抽取该零件500个,估计综合质量指标值位于[60,100]的零件个数为　　　　　. 

10.(2021广东普宁二中月考)某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果,某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个,利用水果的等级分类标准得到的数据如下:

(1)若将频率视为概率,从这100个水果中有放回地随机抽取3个,求恰好有2个水果是礼品果的概率;(结果用分数表示)

(2)用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个,再从抽取的10个水果中随机抽取2个,若X表示抽到的精品果的数量,求X的分布列和期望.

综合提升组

11.某射手每次射击击中目标的概率固定,他准备进行n(n∈N*)次射击,设击中目标的次数记为X,已知P(X=1)=P(X=n-1),且E(X)=4,则D(X)=(　　)

A. B. C.1 D.2

12.(多选)掷一个质地不均匀的硬币6次,每次掷出正面的概率均为,恰好出现k次正面的概率记为Pk,则下列说法正确的是(　　)

A.P1=P5

B.P1<P5

C.Pk=1

D.P0,P1,P2,…,P6中最大值为P4

13.(2021河北衡水第一中学高三月考)在某次大型联考中,所有学生的数学成绩X~N(100,225).若成绩不高于m+10的同学人数和不低于2m-20的同学人数相同,则整数m的值为　　　　　. 

14.(2021天津河北一模)袋子中有5个大小质地完全相同的小球,其中有3个红球,2个黄球,从袋中一次性随机取出3个小球后,再将小球放回.则“取出的3个小球中有2个红球,1个黄球”的概率为　　　　　,记“取出的3个小球中有2个红球,1个黄球”发生的次数为X,若重复5次这样的实验,则X的数学期望为　　　　　. 

15.(2021湖北恩施模拟)目前某市居民使用天然气实行阶梯价格制度,从该市随机抽取10户调查同一年的天然气使用情况,得到统计表如下:

(1)现要在这10户家庭中任意抽取3户,求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望;

(2)若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况,现从全市居民中抽取10户,其中恰有k户年用气量不超过228立方米的概率为P(k),求使P(k)取到最大值时,k的值.

创新应用组

16.《山东省高考改革试点方案》规定:从2017年秋季高中入学的新生开始,不分文理科;2020年开始,高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级.参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时,将A至E等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间,得到考生的等级成绩.某校高一年级共2 000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六个选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60,169).

(1)估计物理原始成绩在区间[47,86]的人数;

(2)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,记X表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数,求X的分布列和数学期望.

(附:若随机变量ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997)

课时规范练54　二项分布、超几何分布、正态分布

1.D　解析:∵每次取到黄球的概率为,

∴3次中恰有2次抽到黄球的概率为.

2.D　解析:因为P(X≤0)=0.2,所以P(X≤2)=1-P(X≤0)=1-0.2=0.8.故选D.

3.D　解析:因为X服从二项分布X~B(20,p),所以E(X)=20p=6,得p=0.3,故D(X)=np(1-p)=20×0.3×0.7=4.2.故选D.

4.D　解析:P(ξ≤1)=1-P(ξ=2)=1-.

5.C　解析:因为X服从正态分布N(6,σ2)(σ>0),P(X≥3)=0.8,

所以P(X≥9)=P(X≤3)=1-P(X≥3)=0.2,

所以P(3≤X≤9)=1-P(X≤3)-P(X≥9)=0.6.

故选C.

6.A　解析:由题意可知,随机变量X的可能取值有0,1,2,3,

则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.

故随机变量X的数学期望为E(X)=0×+1×+2×+3×.

故选A.

7.AC　解析:f(x)=,故μ=100,σ2=100,故A正确,B错误;P(X≥120)=P(X≤80)>P(X≤70),故C正确;根据正态分布的对称性知P(100≤X≤110)=P(90≤X≤100)>P(80≤X≤90),故D错误.故选AC.

8.　解析:由题意可知X~B,故E(X)=5×.

9.300　解析:由题意,这种产品的综合质量指标值X服从正态分布N(80,σ2),则正态分布的对称轴为x=80,根据正态分布的对称性,得

P(60≤X≤100)=2(P(X≤80)-P(X≤60))=2×(0.5-0.2)=0.6.

所以从中随机抽取该零件500个,估计综合质量指标值位于[60,100]的零件个数为500×0.6=300.

10.解(1)设从这100个水果中随机抽取1个是礼品果为事件A,则P(A)=,

现有放回地随机抽取3个,设抽到礼品果的个数为X,则X~B,故恰好有2个水果是礼品果的概率为P(X=2)=.

(2)用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个,其中精品果有4个,非精品果有6个,再从中随机抽取2个,则精品果的数量X服从超几何分布,

所有可能的取值为0,1,2,

则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.

故X的分布列为

所以E(X)=1×+2×.

11.D　解析:设某射手每次射击击中目标的概率为p(0<p<1),

由题意可得击中目标的次数记为X~B(n,p),

因为P(X=1)=P(X=n-1),

所以p(1-p)n-1=pn-1(1-p),

整理可得(1-p)n-2=pn-2,

即1-p=p,解得p=.

因为E(X)=np=n=4,解得n=8,

所以D(X)=np(1-p)=8×=2.

故选D.

12.BD　解析:P1=,P5=5×,

P1<P5,故A错误,B正确;Pk=1,故C错误;

由二项分布概率公式可得P0=,P1=,P2=,P3=,P4=,P5=,P6=,

最大值为P4,D正确.故选BD.

13.70　解析:由题意P(X≤m+10)=P(X≥2m-20).

又X~N(100,225),所以m+10+2m-20=200,

所以m=70.

14.　3　解析:设事件A为“取出3个球中有2个红球,1个黄球”,则P(A)=.

由题意可得,重复5次这样的实验,事件A发生的次数X服从二项分布,即X~B,

则E(X)=5×=3.

15.解(1)由题知,10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户,

设抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为ξ,则ξ服从超几何分布,且ξ的可能取值为0,1,2,3,

则P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,

故随机变量ξ的分布列为

所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×.

(2)由题意知,设从全市住户抽到的年用气量不超过228立方米的用户数为η,则η服从二项分布η~B,且P(η=k)=(k=0,1,2,3,…,10),

由解得≤k≤,k∈N*,

所以k=6.故当P(k)取到最大值时,k=6.

16.解(1)因为物理原始成绩ξ~N(60,132),

所以P(47≤ξ≤86)=P(47≤ξ≤60)+P(60≤ξ≤86)=P(60-13≤ξ≤60+13)+P(60-2×13≤ξ≤60+2×13)≈=0.8185.所以物理原始成绩在[47,86]的人数约为2000×0.8185=1637(人).

(2)由题意得,随机抽取1人,其成绩在区间[61,80]内的概率为.

所以随机抽取三人,则X的所有可能取值为0,1,2,3,且X~B,所以P(X=0)=,

P(X=1)=,

P(X=2)=,

P(X=3)=.

所以X的分布列为

所以数学期望E(X)=3×.