2022版新教材高考数学一轮复习61二项分布超几何分布与正态分布训练含解析新人教B版

这是一份2022版新教材高考数学一轮复习61二项分布超几何分布与正态分布训练含解析新人教B版，共7页。试卷主要包含了下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

A组 全考点巩固练
1．已知某批零件的长度误差T(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6]内的概率为
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈68.3%，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈95.4%)( )
A．4.56%B．13.55%
C．27.1%D．31.74%
B 解析：依题意可得，X～N(0,32)，其中μ＝0，σ＝3，
所以P(－3≤X≤3)≈0.683，P(－6≤X≤6)≈0.954.
因此P(32．(2020·青岛市高三一模)某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”“升级题型”“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为eq \f(4,5)，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率为( )
A.eq \f(112,125) B.eq \f(80,125)
C.eq \f(113,125) D.eq \f(124,125)
A 解析：该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率p＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))3＋Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2
×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))＝eq \f(112,125).故选A.
3．一个学生通过某种英语听力测试的概率是eq \f(1,2)，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为( )
A．6B．5
C．4D．3
C 解析：由1－Ceq \\al(0,n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n＞0.9，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n＜0.1，所以n≥4.
4．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于eq \f(C\\al(4,7)C\\al(6,8),C\\al(10,15))的是( )
A．P(X＝2)B．P(X≤2)
C．P(X＝4)D．P(X≤4)
C 解析：X服从超几何分布，P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,7)C\\al(10－k,8),C\\al(10,15))，故k＝4.故选C.
5．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次(每次1件)．若X表示取得次品的次数，则P(X≤2)＝( )
A.eq \f(3,8) B.eq \f(13,14)
C.eq \f(4,5) D.eq \f(7,8)
D 解析：因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为eq \f(4,8)＝eq \f(1,2).从中取3次，X为取得次品的次数，则X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,2)))，
P(X≤2)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＋P(X＝0)＝Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \f(1,2)＋Ceq \\al(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＋Ceq \\al(0,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＝eq \f(7,8).故选D.
6．(2020·重庆高三三诊)若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)(σ>0)，则P(|X－μ|≤σ)≈0.683，P(|X－μ|≤2σ)≈0.954，P(|X－μ|≤3σ)≈0.997.已知某校1 000名学生某次数学考试成绩服从正态分布N(110,100)，据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数为( )
A．159B．46
C．23D．13
C 解析：由题意可得，μ＝110，σ＝10.故P(X>130)＝P(X>μ＋2σ)＝eq \f(1－P|X－μ|≤2σ,2)＝eq \f(1－0.954,2)＝0.023.
所以该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为1 000×0.023＝23.故选C.
7．(多选题)(2020·寿光现代中学高三模拟)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布 N(μ1，σeq \\al(2,1))，N(μ2，σeq \\al(2,2))，其正态曲线如图所示，则下列说法正确的是( )
A．乙类水果的平均质量μ2＝0.8 kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小0.8
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99
AB 解析：甲图像关于直线x＝0.4对称，乙图像关于直线x＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A正确，C错误．
因为甲图像比乙图像更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确．
因为乙图像的最大值为1.99，即eq \f(1,\r(2π)σ2)＝1.99，
所以σ2≠1.99，故D错误．
故选AB.
8．(2020·江苏丹阳高三月考)“2020武汉加油、中国加油”，为了抗击新冠肺炎疫情，全国医护人员从四面八方驰援湖北．我市医护人员积极响应号召，现拟从A医院呼吸科中的5名年轻医生中选派2人支援湖北省黄石市．已知男医生2名，女医生3人，则选出的2名医生中至少有1名男医生的概率是________．
eq \f(7,10) 解析：由题意知，选出的2名医生中至少有1名男医生分为恰有1名男医生和全部都是男医生两种情况，
则所求概率p＝eq \f(C\\al(1,3)·C\\al(1,2)＋C\\al(2,2),C\\al(2,5))＝eq \f(6＋1,10)＝eq \f(7,10).
9．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠．若该电梯在底层有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为eq \f(1,3)，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(X＝4)＝________.
eq \f(10,243) 解析：一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5重伯努利试验，故X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(1,3)))，
即有P(X＝k)＝Ceq \\al(k,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))k×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))5－k，k＝0,1,2,3,4,5，故P(X＝4)＝Ceq \\al(4,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))1＝eq \f(10,243).
10．(2019·济南模拟)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．
(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列．
解：(1)设事件A为“选派的3人中恰有2人会法语”，则P(A)＝eq \f(C\\al(2,5)C\\al(1,2),C\\al(3,7))＝eq \f(4,7).
(2)依题意知X的取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(3,7))＝eq \f(4,35)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,3),C\\al(3,7))＝eq \f(18,35)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(2,3),C\\al(3,7))＝eq \f(12,35)，P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,7))＝eq \f(1,35)，
所以X的分布列为
B组 新高考培优练
11．(多选题)(2020·泰安市高三二模)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其正态密度函数为f(x)＝
eq \f(1,10\r(2π))e，x∈(－∞，＋∞)．下列说法正确的是( )
A．该地水稻的平均株高为100 cm
B．该地水稻株高的方差为10
C．随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大
D．随机测量一株水稻，其株高在(80,90)和(100,110)(单位：cm)的概率一样大
AC 解析：f(x)＝eq \f(1,10\r(2π))e，故μ＝100，σ2＝100，故A正确，B错误；
P(X>120)＝P(X<80)>P(X<70)，故C正确；
根据正态曲线的对称性知P(100P(80故选AC.
12．(多选题)(2020·海南中学高三模拟)已知某校高三年级有1 000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为(60,300]．若使标准分X服从正态分布N(180，900)，则下列说法正确的有( )
参考数据：①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.683；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997.
A．这次考试标准分超过180分的约有450人
B．这次考试标准分在(90,270]内的人数约为997
C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为eq \f(3,8)
D．P(240≤X≤270)＝0.043
BC 解析：选项A，因为正态曲线关于直线x＝180对称，
所以这次考试标准分超过180分的约有eq \f(1,2)×1 000＝500(人)，故A不正确．
选项B，由正态分布N(180,900)，可知μ＝180，σ＝30，
所以P(90≤X≤270)＝P(180－3×30≤X≤180＋3×30)≈0.997.
因此这次考试标准分在[90,270]内的人数约为1 000×0.997＝997，故B正确．
选项C，因为正态曲线关于x＝180对称，
所以某个人标准分超过180分的概率为eq \f(1,2).
因此甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＝eq \f(3,8)，故C正确．
选项D，由题中所给的公式可知
P(90≤X≤270)＝P(180－3×30≤X≤180＋3×30)≈0.997，
P(120≤X≤240)＝P(180－2×30≤X≤180＋2×30)≈0.954，
所以由正态分布的性质可知
P(240≤X≤270)＝eq \f(1,2)[P(90≤X≤270)－P(120≤X≤240)]≈eq \f(1,2)(0.997－0.954)＝0.021 5，故D不正确．
故选BC.
13．(2020·阆中中学高三一模)某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》的PK赛，A，B两队各由 4 名选手组成，每局两队各派一名选手PK，比赛四局．除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛A队选手获胜的概率均为eq \f(2,3)，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为( )
A.eq \f(16,27) B.eq \f(52,81)
C.eq \f(20,27) D.eq \f(7,9)
C 解析：比赛结束时A队的得分高于B队的得分的情况有3种，分别为A队全胜，A队三胜一负，A队第三局胜，另外三局两负一胜，所以比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为
p＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))4＋Ceq \\al(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3×eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)×Ceq \\al(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＝eq \f(20,27).故选C.
14．箱子里有5个黑球、4个白球，每次随机取出一个球．若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球．那么在第4次取球之后停止的概率为( )
A.eq \f(C\\al(3,5)C\\al(1,4),C\\al(4,5)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,9)))3×eq \f(4,9)
C.eq \f(3,5)×eq \f(1,4)D.Ceq \\al(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,9)))3×eq \f(4,9)
B 解析：由题意知，第4次取球后停止，当且仅当前3次取的球是黑球，第4次取的球是白球，此事件发生的概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,9)))3×eq \f(4,9).
15．(2020·太原五中高三二模)《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B＋，B，C＋，C，D＋，D，E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2 000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60,169)．
(1)求物理原始成绩在区间[47,86]的人数；
(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X的分布列和数学期望．
(附：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997)
解：(1)因为物理原始成绩ξ～N(60,132)，
所以P(47≤ξ≤86)＝P(47≤ξ≤60)＋P(60≤ξ≤86)＝eq \f(1,2)P(60－13≤ξ≤60＋13)＋eq \f(1,2)P(60－2×13≤ξ≤60＋2×13)≈eq \f(0.683,2)＋eq \f(0.954,2)＝0.818 5.
所以物理原始成绩在[47,86]的人数为2 000×0.818 5＝1 637.
(2)由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为eq \f(2,5).
所以随机抽取3人，则X的所有可能取值为0,1,2,3，且X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(2,5)))，
所以P(X＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))3＝eq \f(27,125)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)×eq \f(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＝eq \f(54,125)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))2×eq \f(3,5)＝eq \f(36,125)，
P(X＝3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))3＝eq \f(8,125).
所以X的分布列为
所以数学期望E(X)＝3×eq \f(2,5)＝eq \f(6,5).
X
0
1
2
3
P
eq \f(4,35)
eq \f(18,35)
eq \f(12,35)
eq \f(1,35)
X
0
1
2
3
P
eq \f(27,125)
eq \f(54,125)
eq \f(36,125)
eq \f(8,125)