2023年高考数学一轮复习课时规范练63二项分布与正态分布含解析新人教A版理

课时规范练63　二项分布与正态分布

基础巩固组

1.(2021四川遂宁三模)已知随机变量X服从正态分布N(2,7),P(X>1)=0.8,则P(X≥3)=(　　)

A.0.2 B.0.3

C.0.7 D.0.8

2.(2021广东汕头二模)交通事故已成为世界性的严重社会问题,加强中小学生交通安全教育具有重要的现实意义.为此,某校举行了一场交通安全知识竞赛,一共有3道难度相当的必答题目,李明同学答对每道题目的概率都是0.6,则李明同学至少答对2道题的概率是(　　)

A.0.36 B.0.576

C.0.648 D.0.904

3.(2021山东济南模拟)已知随机变量X~N(3,1),且P(X<2)=0.158 7,则P(2≤X≤4)=(　　)

A.0.158 6 B.0.341 3

C.0.417 7 D.0.682 6

4.(2021江苏南京一模)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)=(　　)

A.0.5 B.0.3

C.0.4 D.0.2

5.设随机变量X服从二项分布X~B,则函数f(x)=x2+4x+X存在零点的概率是(　　)

A. B. C. D.

6.(2021辽宁名校联盟联考)唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道:“春江潮水连海平,海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系,这是一种自然现象.若沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为,则该地在该季节内连续三天内,至少有两天出现大潮的概率为　　　　　　. 

7.(2021天津,14)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语,若一方猜对且另一方猜错,则猜对的一方获胜,否则本次平局,已知每次活动中,甲、乙猜对的概率分别为,且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响,各次活动也互不影响,则一次活动中,甲获胜的概率为　　　　,3次活动中,甲至少获胜2次的概率为　　　　. 

8.(2021浙江期末)2021年4月3日我校学生在我省首届少年诗词大会比赛中喜获佳绩,荣获初中组总冠军.海选环节,进入预赛的条件为:电脑随机抽取5首古诗,参赛者能够正确背诵3首及以上的进入预赛.若同学甲参赛,他背诵每一首古诗正确的概率均为.

(1)求甲进入预赛的概率;

(2)甲同学进入了预赛,此后的比赛采用积分制计算个人成绩,电脑随机抽取3首古诗,每首古诗背诵正确加2分,错误减1分.由于难度增加,甲背诵每首古诗正确的概率为,设甲的得分为X,请写出X的分布列,并求出甲得分的数学期望.

综合提升组

9.(2021黑龙江哈尔滨三模)有5条同样的生产线,生产的零件尺寸(单位:mm)都服从正态分布N(20,σ2),且P(19<X≤21)=.在每条生产线上各取一个零件,恰好有3个尺寸在区间(20,21]的概率为(　　)

A. B. C. D.

10.(2021安徽淮南二模)某校有500人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)(σ>0),试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀(不低于120分)的人数占总人数的,则此次数学成绩在90分到105分之间的人数约为　　　　. 

11.(2021天津宝坻模拟)某医药研究机构合成了甲、乙两种抗某病毒的药物.经试验,服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为,现已进入药物临床试用阶段.每个试用组由4位该病毒的感染者组成.其中2人试用甲种抗病毒药物,2人试用乙种抗病毒药物.如果试用组中,甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数,则称该组为“甲类组”.

(1)求一个试用组为“甲类组”的概率;

(2)观察3个试用组,用ξ表示这3个试用机组“甲类组”的个数,求ξ的分布列和数学期望.

12.某校为了加强新生的爱校教育,从全体新入学的学生中随机的抽取了100人,对他们进行校史问卷测试,得分在[45,95]之间,分为[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]五组,得到如图所示的频率分布直方图,其中第三组的频数为40.

(1)请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);

(2)根据样本数据,可认为新入学的学生校史问卷测试分数X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.

①求P(47.2<X<79.9);

②在某间寝室有6人,求这6个人中至少有1人校史问卷测试分数在90.8分以上的概率.

参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5,≈10.9,0.954 46≈0.76,0.977 25≈0.89,0.977 26≈0.87.

创新应用组

13.(2021湖南高考冲刺卷三)数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分,数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现.为全面推动数学建模活动的开展,某学校举行了一次数学建模竞赛活动,已知该竞赛共有60名学生参加,他们成绩的频率分布直方图如下.

(1)为了对数据进行分析,将60分以下的成绩定为不合格,60分以上(含60分)的成绩定为合格.为科学评估该校学生数学建模水平决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人,然后从这10人中抽取4人参加座谈会.记ξ为抽取的4人中,成绩不合格的人数,求ξ的分布列和数学期望;

(2)已知这60名学生的数学建模竞赛成绩X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可用样本平均数近似代替,σ2可用样本方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),若成绩在46分以上的学生均能得到奖励,本次数学建模竞赛满分为100分,试估计此次竞赛受到奖励的人数.(结果根据四舍五入保留到整数位)

参考数据:P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 3.

14.(2021安徽安庆一中三模)某学校高三年级开学之初增加晚自习,晚饭在校食堂就餐人数增多,为了缓解就餐压力,学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅,分别记为餐厅甲和餐厅乙.经过一周的统计调研分析:前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是25%、选择餐厅乙就餐的概率为75%,前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是50%、选择餐厅甲就餐的概率也为50%,如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是,选择餐厅乙就餐的概率是,记某同学第n天选择餐厅甲就餐的概率为Pn.

(1)记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X,求X的分布列,并求E(X);

(2)请写出Pn+1与Pn(n∈N*)的递推关系;

(3)求数列{Pn}的通项公式并帮助学校解决以下问题:为提高学生服务意识和团队合作精神,学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务工作,根据上述数据,如何合理分配到餐厅甲和餐厅乙的志愿者人数?请说明理由.

答案：

课时规范练

1.A　解析:由X~N(2,7),则P(X≥3)=P(X≤1)=1-P(X>1)=0.2,故选A.

2.C　解析:3道题中至少答对2道题包括答对2题和答对3题这两种情况,

则所求概率为P=(0.6)2×0.4+(0.6)3=0.432+0.216=0.648.

3.D　解析:∵随机变量X~N(3,1),∴μ=3,σ=1,

∴正态曲线关于x=3对称.

∵P(X<2)=0.1587,

∴P(X>4)=0.1587,∴P(2≤X≤4)=1-2×0.1587=0.6826.

故选D.

4.B　解析:函数图象关于直线x=2对称,所以P(ξ≤2)=0.5,则P(0<ξ<2)=P(2<ξ<4)=P(ξ<4)-P(ξ≤2)=0.8-0.5=0.3.故选B.

5.C　解析:∵函数f(x)=x2+4x+X存在零点,∴Δ=16-4X≥0,∴X≤4,∵随机变量X服从二项分布X~B,∴P(X≤4)=1-P(X=5)=1-故选C.

6　解析:该地在该季节内连续三天内,至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮,

有两天出现大潮概率为,有三天出现大潮概率为,

所以至少有两天出现大潮的概率为

7　解析:由题可得一次活动中,甲获胜的概率为;

则在3次活动中,甲至少获胜2次的概率为

8.解: (1)记“甲进入预赛”为事件A,则P(A)=,

故甲进入预赛的概率为

(2)X的所有可能取值为6,3,0,-3,则

P(X=6)=;P(X=3)=;

P(X=0)=;P(X=-3)=,

所以X的分布列为

所以E(X)=6+3+0+(-3)

9.D　解析:由题知正态分布N(20,σ2)的对称轴为μ=20,

又因为P(19<X≤21)=,

故P(20<X≤21)=

恰好有3个尺寸在区间(20,21]的概率为P=故选D.

10.150　解析:∵P(X≤90)=P(X≥120)=0.2,

∴P(90<X<120)=1-0.4=0.6,

∴P(90<X<105)=P(90<X<120)=0.3,

∴此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为500×0.3=150.

11.解: (1)设Ai表示事件“一个试验组中,服用甲种抗病毒药物有效的人数为i人”,i=0,1,2,

Bi表示事件“一个试验组中,服用乙种抗病毒药物有效的人数为i人”,i=0,1,2.

依题意有

P(A1)=,

P(A2)=,

P(B0)=,

P(B1)=2,

所以一个试用组为“甲类组”的概率为

P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2)=

(2)ξ的可能取值为0,1,2,3,且ξ~B3,,

P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,

P(ξ=2)=1-=,P(ξ=3)=

故ξ的分布列为

数学期望E(ξ)=3

12.解: (1)由题意得各组的频率依次为0.1,0.25,0.4,0.15,0.1,

则平均数=0.1×50+0.25×60+0.4×70+0.15×80+0.1×90=69;

方差s2=0.1×(50-69)2+0.25×(60-69)2+0.4×(70-69)2+0.15×(80-69)2+0.1×(90-69)2=119.

(2)①由(1)得μ==69,σ2=s2=119,故学生校史问卷测试分数X近似服从正态分布N(69,10.92),

则P(47.2<X<79.9)=P(69-2×10.9<X<69+10.9)=P(μ-2σ<X<μ+σ)

=[P(μ-2σ<X≤μ+2σ)+P(μ-σ<X≤μ+σ)]≈0.8186.

②P(X>90.8)=P(X>μ+2σ)=[1-P(μ-2σ<X≤μ+2σ)]≈0.0228,

故随机抽取一名学生,测试分数在90.8分以上的概率为0.0228.

设“这6个人中至少有1人校史问卷测试分数在90.8分以上”为事件A,

则P(A)=1-P()=1-(1-0.0228)6≈1-0.87=0.13,

故这6个人中至少有1人校史问卷测试分数在90.8分以上的概率为0.13.

13.解: (1)由频率分布直方图和分层抽样的方法,可知抽取的10人中合格的人数为(0.01+0.02)×20×10=6,不合格的人数为10-6=4.因此,ξ的可能取值为0,1,2,3,4,

则P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)=

故ξ的分布列为

所以ξ的数学期望E(ξ)=0+1+2+3+4

(2)由题意可知,μ=(30×0.005+50×0.015+70×0.02+90×0.01)×20=64.

σ2=(30-64)2×0.1+(50-64)2×0.3+(70-64)2×0.4+(90-64)2×0.2=324,所以σ=18.

由X服从正态分布N(μ,σ2),得P(64-18<X≤64+18)=P(46<X≤82)≈0.6827,则P(X>82)(1-0.6827)=0.15865,P(X>46)≈0.6827+0.15865=0.84135,60×0.84135≈50.所以此次竞赛受到奖励的人数约为50.

14.解: (1)某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率PA=,

某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率PB=,

所以3位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为X,且X~B3,.

P(X=k)=(k=0,1,2,3),

所以X的分布列为

故E(X)=3=1.

(2)依题意,Pn+1=Pn+(1-Pn),即Pn+1=-Pn+(n∈N*).

(3)由(2)知Pn+1=-Pn+(n∈N*),则Pn+1-=-Pn-(n∈N*).

当n=1时,可得P1-,所以数列Pn-是首项为,公比为-的等比数列.

Pn-,即Pn=

所以当n→+∞时,Pn,

所以,分配到餐厅甲的志愿者人数为20=8,分配到餐厅乙的志愿者人数为20-8=12.