2023年新教材高考数学一轮复习课时规范练37空间向量及其运算含解析新人教B版

这是一份2023年新教材高考数学一轮复习课时规范练37空间向量及其运算含解析新人教B版，共9页。试卷主要包含了已知向量a=,b=,则a·b=，若a=,b=,则|a-2b|=等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a=(1,-2,3),b=(2,-1,-4),则a·b=( )
A.-8B.-7C.-6D.-5
2.已知a=(t,12,-3),b=(2,t+2,1),若a∥b,则实数t的值为( )
A.-5B.-6C.-4D.-3
3.
(2020辽宁大连模拟)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E为PD的中点,若PA=a,PB=b,PC=c,则用基底{a,b,c}表示向量BE为( )
A.12a-12b+12cB.12a-32b+12c
C.12a-12b-12cD.12a-12b+32c
4.在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是( )
A.OM=OA-OB-OC
B.OM=15OA+13OB+12OC
C.MA+MB+MC=0
D.OM+OA+OB+OC=0
5.若a=(2,-3,5),b=(-3,1,2),则|a-2b|=( )
A.72B.52C.310D.63
6.(多选)已知向量a=(1,-1,m),b=(-2,m-1,2),则下列结论中正确的是( )
A.若|a|=2,则m=±2
B.若a⊥b,则m=-1
C.不存在实数λ,使得a=λb
D.若a·b=-1,则a+b=(-1,-2,-2)
7.若向量a=(1,0,1),b=(0,1,-1),则向量a,b的夹角为 .
8.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),若点P(x,1,1)在平面ABC内,则x= .
综合提升组
9.(多选)(2021湖北武汉模拟)已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列说法正确的是( )
A.AB与AC是共线向量
B.与AB同向的单位向量是255,55,0
C.AB和BC夹角的余弦值是5511
D.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)
10.
(多选)(2021江苏板浦高级中学月考)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都是1,且它们彼此的夹角都是60°,M为A1C1与B1D1的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c,则下列正确的是( )
A.BM=12a-12b+cB.AC1=a+b+c
C.AC1的长为5D.cs=63
11.(2021山东临沂模拟)已知a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b的夹角为钝角,则实数k的取值范围为 .
12.已知空间向量PA,PB,PC的模长分别为1,2,3,且两两夹角均为60°.点G为△ABC的重心,若PG=xPA+yPB+zPC,x,y,z∈R,则x+y+z= ;|PG|= .
13.
如图,在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF=m,其中0≤m≤a,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.
(1)求证:A1F⊥C1E;
(2)若A1,E,F,C1四点共面,求证:A1F=12A1C1+A1E.
创新应用组
14.已知向量{a,b,c}是空间向量的一个基底,向量{a+b,a-b,c}是空间向量的另外一个基底,若一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为( )
A.12,32,3B.32,-12,3
C.3,-12,32D.-12,32,3
15.已知正四面体A-BCD的外接球半径为3,MN为其外接球的一条直径,P为正四面体A-BCD表面上任意一点,则PM·PN的最小值为 .
课时规范练37 空间向量及其运算
1.A 解析:由已知可得a·b=1×2-2×(-1)+3×(-4)=-8.
故选A.
2.B 解析:因为a=(t,12,-3),b=(2,t+2,1),且a∥b,所以存在实数λ,使得a=λb,即(t,12,-3)=λ(2,t+2,1),所以t=2λ,12=λ(t+2),-3=λ,解得λ=-3,t=-6.
故选B.
3.B 解析:连接BD,如图,因为E是PD的中点,所以BE=12(BP+BD)=12(-b+BA+BC)
=-12b+12(PA-PB+PC-PB)
=-12b+12(a+c-2b)=12a-32b+12c.
故选B.
4.C 解析:M与A,B,C一定共面的充要条件是OM=xOA+yOB+zOC,x+y+z=1,
对于A选项,由于1-1-1=-1≠1,所以不能得出M,A,B,C共面;
对于B选项,由于15+13+12≠1,所以不能得出M,A,B,C共面;
对于C选项,由于MA=-MB-MC,则MA,MB,MC为共面向量,所以M,A,B,C共面;
对于D选项,由OM+OA+OB+OC=0,得OM=-OA-OB-OC,而-1-1-1=-3≠1,所以不能得出M,A,B,C共面.故选C.
5.C 解析:∵a=(2,-3,5),b=(-3,1,2),∴a-2b=(8,-5,1),
∴|a-2b|=82+(-5)2+12=310.故选C.
6.AC 解析:对于A,由|a|=2,可得12+(-1)2+m2=2,解得m=±2,故A正确;
对于B,由a⊥b,可得-2-m+1+2m=0,解得m=1,故B错误;
对于C,若存在实数λ,使得a=λb,则1=-2λ,-1=λ(m-1),m=2λ,显然λ无解,即不存在实数λ,使得a=λb,故C正确;
对于D,若a·b=-1,则-2-m+1+2m=-1,解得m=0,于是a+b=(-1,-2,2),故D错误.故选AC.
7.2π3 解析:根据题意,设向量a,b的夹角为θ,
向量a=(1,0,1),b=(0,1,-1),
则向量|a|=2,|b|=2,a·b=-1.
则csθ=-12×2=-12.
又由0≤θ≤π,则θ=2π3.
8.-1 解析:设平面ABC的一个法向量是n=(x,y,z),又AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1),
所以n·AB=-x+y=0,n·AC=-x+z=0,取x=1,得n=(1,1,1),
P(x,1,1)在平面ABC上,AP=(x-1,1,1).
则n·AP=x-1+1+1=0,x=-1.
9.BD 解析:对于A,AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),可知AB≠λAC,则AB与AC不共线,故A错误;
对于B,∵AB=(2,1,0),∴|AB|=5,∴AB|AB|=255,55,0,即与AB同向的单位向量是255,55,0,故B正确;
对于C,∵BC=(-3,1,1),∴cs=AB·BC|AB||BC|=-55×11=-5511,
即AB和BC夹角的余弦值为-5511,故C错误;
对于D,设平面ABC的法向量n=(x,y,z),
则n·AB=2x+y=0,n·BC=-3x+y+z=0,令x=1,则y=-2,z=5,即n=(1,-2,5),
故平面ABC的一个法向量为(1,-2,5),故D正确.
故选BD.
10.BD 解析:由空间向量的加法法则得AC1=a+b+c,故B正确;
BM=BB1+B1M=BB1+12B1D1=AA1+12(B1A1+B1C1)=c+12(-a+b)=-12a+12b+c,故A错误;
由已知a·b=b·c=a·c=1×1×cs60°=12,
|AC1|=|a+b+c|
=(a+b+c)2
=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c
=1+1+1+1+1+1=6,故C错误;
cs=AB·AC1|AB||AC1|=a2+a·b+a·c1×6
=1+12+126=63,故D正确.
故选BD.
11.(-∞,-2)∪-2,75 解析:由a=(1,1,0),b=(-1,0,2),得ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),
所以(ka+b)·(2a-b)=3×(k-1)+2k-4<0,解得k<75.
若ka+b与2a-b反向,则ka+b=λ(2a-b),λ<0,
则k=2λ,1=-λ,所以k=-2.
所以ka+b与2a-b的夹角为钝角,则k<75且k≠-2.
综上,k的取值范围是(-∞,-2)∪-2,75.
12.1 53
解析:取AC的中点D,
PG=PB+BG=PB+23BD=PB+23×(PD-PB)
=PB+23×12(PA+PC)-PB
=13PA+13PB+13PC.
又PG=xPA+yPB+zPC,空间向量PA,PB,PC的模长分别为1,2,3,且两两夹角均为60°,
则x=13,y=13,z=13,故x+y+z=1.
|PG|=13PA+13PB+13PC
=13(PA+PB+PC)2
=13PA2+PB2+PC2+2PA·PB+2PC·PB+2PA·PC
=1312+22+32+2×1×2×12+2×3×2×12+2×1×3×12
=53.
13.证明(1)因为A1(a,0,a),C1(0,a,a),E(a,m,0),F(a-m,a,0),
所以A1F=(-m,a,-a),C1E=(a,m-a,-a),
所以A1F·C1E=-am+a(m-a)+a2=0,
所以A1F⊥C1E,
即A1F⊥C1E.
(2)因为A1,E,F,C1四点共面,
所以A1E,A1C1,A1F共面.
选A1E与A1C1为平面A1C1E上的一组基向量,则存在唯一实数对(λ1,λ2),
使A1F=λ1A1C1+λ2A1E,
即(-m,a,-a)=λ1(-a,a,0)+λ2(0,m,-a)
=(-aλ1,aλ1+mλ2,-aλ2),
所以-m=-aλ1,a=aλ1+mλ2,-a=-aλ2,解得λ1=12,λ2=1.
故A1F=12A1C1+A1E.
14.B 解析:设向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),
则p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,
所以x+y=1,x-y=2,z=3,解得x=32,y=-12,z=3,故p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为32,-12,3.故选B.
15.-8 解析:设正四面体外接球球心为O,
正四面体A-BCD的外接球半径为3,
设正四面体A-BCD内切球半径为r,一个面的面积为S,高为h,则VA-BCD=4×13Sr=13Sh,所以h=4r,显然r+3=h=4r,所以r=1,即|PO|min=1.
PM·PN=(PO+OM)·(PO+ON)=PO2+OM·ON=PO2-9≥1-9=-8.