选择性必修 第一册3 动量守恒定律导学案

动量守恒定律

必备知识·自主学习

一、相互作用的两个物体的动量改变

　有两位同学静止在滑冰场上，不论谁推谁一下，两个人都会向相反方向滑去，他们的动量都发生了变化，他们的总动量在推动前后是否发生了变化？

提示：他们的总动量保持不变。

1．建构碰撞模型：

如图中在光滑水平桌面上做匀速运动的两个物体A、B，质量分别是m1和m2，沿同一直线向同一方向运动，速度分别是v1和v2，v2＞v1。当B追上A时发生碰撞。碰撞后A、B的速度分别是v1′和v2′。碰撞过程中A所受B对它的作用力是F1，B所受A对它的作用力是F2。碰撞时，两物体之间力的作用时间很短，用Δt表示。

2．推导过程：

(1)以物体A为研究对象，根据动量定理，物体A动量的变化量等于它所受作用力F1的冲量，即

F1Δt＝m1v1′－m1v1。①

(2)以物体B为研究对象，物体B动量的变化量等于它所受作用力F2的冲量，即

F2Δt＝m2v2′－m2v2。②

(3)根据牛顿第三定律可知两个物体碰撞过程中的每个时刻相互作用力F1与F2大小相等、方向相反，故有F1＝－F2。③

(4)整理①②③得m1v1′＋m2v2′＝m1v1＋m2v2。

3．归纳总结：

两物体各自受到对方的作用力，且两个碰撞的物体在所受外部对它们的作用力的矢量和为0的情况下动量守恒。

二、动量守恒定律

如图，两人在光滑的冰面上用力推对方，此后都沿各自原方向的反方向运动，两个人的速度之间有怎样的关系呢？

提示：冰面光滑，两人组成的系统动量守恒。因为总动量为零，所以两人速度方向相反，大小与质量成反比。

1．系统及系统的内力和外力：

(1)系统：由两个(或多个)相互作用的物体构成的整体叫作一个力学系统，简称系统。

(2)内力：系统中物体间的作用力，叫作内力。

(3)外力：系统以外的物体施加给系统内物体的力，叫作外力。

2．动量守恒定律：

(1)内容：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0，这个系统的总动量保持不变。这就是动量守恒定律。

(2)表达式：m1v1′＋m2v2′＝m1v1＋m2v2。

3．适用条件：系统不受外力或者所受外力的矢量和为零。

4．动量守恒定律的普适性：动量守恒定律适用范围非常广泛，高速(接近光速)、微观(小到分子、原子的尺度)领域均适用。

(1)内力和外力是相对的，若研究对象发生变化，内力和外力也可能发生变化。(√)

(2)两物体相互作用时，若系统不受外力，两物体组成的系统动量守恒。(√)

(3)系统动量不变是指系统动量的大小和方向都不变。(√)

(4)只要系统内存在摩擦力，系统的动量就不可能守恒。(×)

(5)动量守恒定律中的速度是相对于同一参考系的速度。(√)

(6)若系统在全过程的某一阶段所受的合外力为零，则系统在该阶段动量守恒。(√)

关键能力·合作学习

知识点一　动量守恒定律条件的理解

1．对动量守恒定律的理解：

(1)研究对象：两个或两个以上相互作用的物体组成的系统。

(2)对系统“总动量保持不变”的理解。

①系统在整个过程中任意两个时刻的总动量都相等，不能误认为只是初、末两个状态的总动量相等。

②系统的总动量保持不变，但系统内每个物体的动量可能都在不断变化。

③系统的总动量指系统内各物体动量的矢量和，总动量不变指的是系统的总动量的大小和方向都不变。

2．动量守恒定律成立的条件：

(1)系统不受外力作用。

(2)系统虽然受到了外力的作用，但所受合外力为零。

3．动量守恒定律的“五性”：

情景1：如图甲所示，在光滑水平面上发生正碰的两物体。

情景2：如图乙所示，小车A、B静止在光滑水平面上。

情景3：如图丙所示，速度为v0的物体滑上光滑水平面上的小车。

(1)图甲中，两物体受哪些力作用？系统动量守恒吗？

(2)图乙中，烧断细线后，两小车受弹簧弹力的作用，系统动量守恒吗？

(3)图丙中，物体与小车组成的系统动量守恒吗？

提示：(1)两物体发生正碰时，它们之间的相互作用力是内力。物体还受到重力和桌面对它们的支持力，是外力。由于外力的合力为零，故系统动量守恒。

(2)烧断细线后，弹簧弹力是内力，系统所受外力的合力为零，系统动量守恒。

(3)物体和小车组成的系统，水平方向上合力为零，动量守恒；竖直方向上合力不为零，动量不守恒。

【典例】如图，①上，质量为m的光滑弧形槽②水平面上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为m的小球从槽上高h处由静止开始自由下滑，则(　　)

A.③，小球和槽组成的系统水平方向动量不守恒

B．在小球下滑的过程中，小球和槽组成的系统动量守恒

C．小球与弹簧作用时，小球与弹簧组成的系统动量守恒

D．小球与弹簧作用时，小球与弹簧组成的系统动量不守恒

【审题关键】

【解析】选D。在下滑的过程中，小球和槽组成的系统，在水平方向上不受力，则水平方向上动量守恒，故选项A、B错误；小球与弹簧接触后，小球与弹簧组成的系统受到墙的作用力，墙对系统的作用力是外力，则系统动量不守恒，故选项D正确，C错误。

1．如图所示，光滑水平面上两小车中间夹一压缩了的轻弹簧，两手分别按住小车，使它们静止，对两车及弹簧组成的系统，下列说法中错误的是(　　)

A.两手同时放开后，系统总动量始终为零

B．先放开左手，后放开右手，动量不守恒

C．先放开左手，后放开右手，总动量向左

D．无论何时放手，两手放开后在弹簧恢复原长的过程中，系统总动量都保持不变，但系统的总动量不一定为零

【解析】选B。当两手同时放开时，系统所受的合外力为零。所以系统的动量守恒，又因开始时总动量为零，故系统总动量始终为零，选项A正确；先放开左手，左边的小车就向左运动，当再放开右手后，系统所受合外力为零，故系统的动量守恒，且开始时总动量方向向左，放开右手后总动量方向也向左，故选项B错误，选项C、D正确。

2.(2021·常州高二检测)把木块a和b用一根轻弹簧连接起来，放在光滑水平面上，a紧靠在墙壁上，在b上施加向左的水平力使弹簧压缩，如图所示。当撤去外力后，下列说法中正确的是(　　)

A．a尚未离开墙壁前，a和b系统的动量守恒

B．a尚未离开墙壁前，a和b系统的动量不守恒

C．a离开墙壁后，a动量守恒

D．a离开墙壁后，a、b系统动量不守恒

【解析】选B。在b上施加作用力后，b逐渐压缩弹簧，此时墙壁对木块a有力的作用，因而撤去外力后a尚未离开墙壁前，a和b系统的总动量不守恒；当撤去外力后，弹簧逐渐恢复原长，b向右加速，并逐步带动木块a离开墙壁。一旦离开墙，a将不受墙壁的作用，a、b组成的系统不受外力作用(水平方向)，因而总动量守恒，但是a受外力不为零，a动量不守恒。

【加固训练】

两辆质量相同的小车，置于光滑的水平面上，有一人静止在小车A上，两车A、B静止，如图所示。当这个人从A车跳到B车上，接着又从B车跳回A车并与A车保持相对静止时，则A车的速率(　　)

A.等于零　　　　　　　　　 B．小于B车的速率

C．大于B车的速率      D．等于B车的速率

【解析】选B。选A车、B车和人作为系统，两车均置于光滑的水平面上，在水平方向上无论人如何跳来跳去，系统均不受外力作用，故满足动量守恒定律。设人的质量为m，A车和B车的质量均为M，最终两车速度分别为vA和vB。由动量守恒定律得0＝(M＋m)vA－MvB，则＝，即vA<vB。故选项B正确。

知识点二　动量守恒定律的应用

1．动量守恒定律不同表现形式的表达式的含义

(1)p＝p′：系统相互作用前的总动量p等于相互作用后的总动量p′。

(2)m1v1＋m2v2＝m1v′1＋m2v′2：相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作用后的动量和。

(3)Δp1＝－Δp2：相互作用的两个物体组成的系统，一个物体的动量变化量与另一个物体的动量变化量大小相等、方向相反。

(4)Δp＝0：系统总动量增量为零。

2．应用动量守恒定律的解题步骤

　甲图是某国发射的导弹，在空中爆炸为两部分(图乙)，导弹在爆炸前后的动量守恒吗？

提示：虽然导弹受到重力的作用，但是在爆炸的瞬间内力远大于重力，所以爆炸前后的动量近似守恒。

【典例】如图所示，质量为mB的平板车B上表面水平，开始时静止在光滑水平面上，在平板车左端静止放着一质量为mA的物体A，一颗质量为m0的子弹以v0的水平初速度射入物体A，射穿A后速度变为v，子弹穿过物体A的时间极短。已知A、B之间的动摩擦因数不为零，且A与B最终达到相对静止。求：

(1)子弹射穿物体A的瞬间物体A的速度vA；

(2)平板车B和物体A的最终速度v共(设车身足够长)。

【解析】(1)子弹穿过物体A的过程中，子弹和物体A组成的系统动量守恒，取向右为正方向，由动量守恒定律得

m0v0＝m0v＋mAvA

解得vA＝。

(2)对物体A和平板车B，以A的速度方向为正方向，

由动量守恒定律得mAvA＝(mA＋mB)v共

解得v共＝。

答案：(1)　(2)

　计算冲量的方法

(1)分析题目涉及的物理过程，选择合适的系统、过程，这是正确解决此类题目的关键。

(2)判断所选定的系统、过程是否满足动量守恒的条件。

(3)确定物理过程及系统内物体对应的初、末状态的动量。

(4)确定正方向，选取恰当的动量守恒的表达式求解。

1．(母题追问)上述例题中，若子弹未从物体A中射出，则平板车B和物体A的最终速度是多少？

【解析】将子弹、物体A和平板车B看作整体，则由动量守恒定律得m0v0＝(m0＋mA＋mB)v′共

v′共＝。

2．(2021·苏州高二检测)如图甲所示，质量为M的薄长木板静止在光滑的水平面上，t＝0时一质量为m的滑块以水平初速度v0从长木板的左端冲上木板并最终从右端滑下。已知滑块和长木板在运动过程中的v ­t图像如图乙所示，则木板与滑块的质量之比M∶m为(　　)

A.1∶2　　　　B．2∶1　　　　C．1∶3　　　　D．3∶1

【解析】选B。取滑块的初速度方向为正方向，对滑块和木板组成的系统，根据动量守恒定律有mv0＝mv1＋Mv2，由题图乙知v0＝40 m/s，v1＝20 m/s，v2＝

10 m/s，代入数据解得M∶m＝2∶1，故B正确。

【加固训练】

某同学质量为60 kg，在军事训练中要求他从岸上以2 m/s的速度跳到一艘向他缓缓飘来的小船上，然后去执行任务。小船的质量是140 kg，原来的速度是

0.5 m/s。该同学上船后又跑了几步，最终停在船上。不计阻力，则此时小船的速度是(　　)

A．0.25 m/s，方向与该同学原来的速度方向相同

B．0.25 m/s，方向与该同学原来的速度方向相反

C．0.5 m/s，方向与该同学原来的速度方向相同

D．0.5 m/s，方向与该同学原来的速度方向相反

【解析】选A。由题意可知，该同学和小船组成的系统动量守恒。设该同学原来运动的方向为正方向，根据动量守恒定律得m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v′，v′＝＝0.25 m/s，解得结果为正值，表明最终小船的速度方向与该同学原来的速度方向相同，故A正确。

知识点三　动量守恒定律和机械能守恒定律的比较

应用动量的观点和能量的观点解题时应注意的问题

质量为m的子弹以速度v0沿光滑水平面运动，与静止的质量为M的物体B碰撞后一起运动，求两者的共同速度应选谁为研究对象？如何选取初、末状态？相互作用的过程中，系统机械能是否变化？

提示：应选子弹和B物体系统为研究对象；碰撞前为初状态，其动量为mv0，末状态为碰撞后，其动量为(m＋M)v；通过计算可发现作用前后总机械能减少，转化为系统内能。

【典例】如图所示，①水平面上的木板，右端有一根轻质弹簧沿水平方向与木板相连，木板质量M＝3 kg。质量m＝1 kg的铁块以水平速度v0＝

4 m/s从木板的左端沿板面向右滑行，②，最后③。在上述过程中弹簧④为(　　)

A．3 J　　　　B．4 J　　　　C．6 J　　　　D．20 J

【审题关键】

【解析】选A。设铁块与木板速度相同时，共同速度大小为v，铁块相对木板向右运动时，滑行的最大路程为L，摩擦力大小为Ff。根据能量守恒定律得：铁块相对于木板向右运动的过程mv＝FfL＋(M＋m)v2＋Ep①

铁块相对于木板运动的整个过程：

mv＝2FfL＋(M＋m)v2②

又根据系统动量守恒可知

mv0＝(M＋m)v③

联立解得Ep＝3 J，A正确。

1.一颗子弹水平射入置于光滑水平面上的木块A并留在其中，木块A、B用一根弹性良好的轻质弹簧连在一起，如图所示。则在子弹射入木块A及弹簧被压缩的过程中，对子弹、两木块和弹簧组成的系统，下列说法正确的是(　　)

A．动量守恒，机械能守恒

B．动量不守恒，机械能守恒

C．动量守恒，机械能不守恒

D．无法判定动量、机械能是否守恒

【解析】选C。动量守恒的条件是系统不受外力或所受外力的合力为零，本题中子弹、两木块、弹簧组成的系统，水平方向上不受外力，竖直方向上所受外力的合力为零，所以动量守恒。机械能守恒的条件是除重力、弹力对系统做功外，其他力对系统不做功，本题中子弹射入木块过程中克服摩擦力做功，有部分机械能转化为内能(发热)，所以系统的机械能不守恒，故C正确，A、B、D错误。

2.如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q均可视为质点，质量均为m，Q与轻质弹簧相连并处于静止状态，P以初速度v向Q运动并与弹簧发生作用。求整个过程中弹簧的最大弹性势能。

【解析】P和Q速度相等时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律得mv＝

2mv共，由机械能守恒定律得mv2＝Epmax＋(2m)v，解得Epmax＝mv2。

答案：mv2

【加固训练】

如图，A、B质量分别为m1＝1 kg，m2＝2 kg，置于小车C上，小车的质量为m3＝1 kg，A、B与小车的动摩擦因数为0.5，小车静止在光滑的水平面上。某时刻炸药爆炸，若A、B间炸药爆炸的能量有12 J转化为A、B的机械能，其余能量转化为内能。A、B始终在小车表面水平运动，小车足够长，g取10 m/s2。求：

(1)炸开后A、B获得的速度；

(2)A、B在小车上滑行的时间。

【解析】(1)炸药爆炸瞬间A、B系统动量守恒，以向右为正方向。由动量守恒定律得0＝m2v2－m1v1，

A、B的机械能总量为12 J，故有

E＝m1v＋m2v＝12 J，Ｋ

　联立解得：

v1＝4 m/s，v2＝2 m/s；

(2)爆炸后A、B在C上滑动，B先与C相对静止，设此时B、C的速度为v3，该过程中A、B、C组成的系统动量守恒。设该过程的时间为t1，由动量定理得

对B：－μm2gt1＝m2v3－m2v2，

对C：(μm2g－μm1g)t1＝m3v3，

解得t1＝0.2 s，

对A、B、C系统由动量守恒定律得

0＝(m1＋m2＋m3)v，

解得v＝0，

设A滑动的总时间为t，由动量定理得

－μm1gt＝0－m1v1，

解得t＝0.8 s。

答案：(1)4 m/s　2 m/s　(2)0.8 s　0.2 s

【拓展例题】多物体、多过程系统动量守恒问题

【典例】如图所示，A、B两个木块质量分别为2 kg与0.9 kg，A、B与水平地面间接触面光滑，上表面粗糙，质量为0.1 kg的铁块以10 m/s的速度从A的左端向右滑动，最后铁块与B的共同速度大小为0.5 m/s，求：

(1)木块A的最终速度大小。

(2)铁块刚滑上B时的速度大小。

【解析】(1)以铁块和木块A、B为一系统，由系统动量守恒得：mv＝(MB＋m)vB＋MAvA，解得vA＝0.25 m/s

(2)设铁块刚滑上B时的速度为u，此时A、B的速度均为

vA＝0.25 m/s。

由系统动量守恒得：mv＝mu＋(MA＋MB)vA

代入得：u＝2.75 m/s。

答案：(1)0.25 m/s　(2)2.75 m/s

情境·模型·素养

如图所示，在风平浪静的水面上，停着一艘帆船，船尾固定一台电风扇。

探究：(1)风扇不停地把风吹向帆面，船能向前行驶吗？

(2)为什么？

【解析】(1)不能。

(2)把帆船和电风扇看作一个系统，电风扇和帆船受到空气的作用力大小相等、方向相反，这是一对内力，系统不受外力，总动量守恒，船原来是静止的，总动量为零，所以在电风扇吹风时，船仍保持静止。

答案：见解析

《三国演义》“草船借箭”中(如图所示)，若草船的质量为m1，每支箭的质量为m，草船以速度v1返回时，对岸士兵万箭齐发，n支箭同时射中草船，箭的速度皆为v，方向与船行方向相同，且v>v1。

探究：(1)由此，草船的速度会增加吗？

(2)这种现象如何解释？(不计水的阻力)

【解析】(1)增加。

(2)草船与箭组成的系统动量守恒。根据m1v1＋nmv＝(m1＋nm)v1′知v1′>v1。

答案：见解析