物理必修 第二册第二节 向心力与向心加速度导学案

第二节　向心力与向心加速度

学习目标：1.[物理观念]认识向心力，通过实例认识向心力的作用及向心力的来源。　2.[物理观念]理解向心加速度的表达式，会根据问题情景选择合适的向心加速度的表达式。　3.[科学探究]通过实验理解向心力的大小与哪些因素有关，会设计方案，验证规律、得出关系。能运用向心力的公式进行计算。

一、感受向心力

1．向心力的定义

物体做匀速圆周运动时所受合外力的方向始终指向轨迹的圆心，这个合外力称为向心力。

2．向心力的作用效果

(1)只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。

(2)向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以由不同性质的力提供，也可以由某一力的分力或某些力的合力提供。

二、探究影响向心力大小的因素

1．实验与探究

2.公式

做匀速圆周运动的物体，所受向心力的大小为F＝mω2r，而ω＝，则F＝m。

三、向心加速度

1．定义

做匀速圆周运动的物体，其加速度a的方向一定指向圆心，所以也叫向心加速度。

2．大小

a＝ω2r，a＝。

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)向心力可以是合力，也可以是某个力的分力。 (√)

(2)向心力既改变物体做圆周运动的速度大小，也改变速度的方向。 (×)

(3)角速度越大，半径越大，向心力就越大。 (×)

(4)做圆周运动的物体，线速度越大，向心加速度就越大。 (×)

2．(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列判断正确的是(　　)

A．合力的大小不变，方向一定指向圆心

B．合力的大小不变，方向也不变

C．合力产生的效果既改变速度的方向，又改变速度的大小

D．合力产生的效果只改变速度的方向，不改变速度的大小

AD　[匀速圆周运动的合力等于向心力，由于线速度v的大小不变，故F合只能时刻与v的方向垂直，即指向圆心，故A对，B错；合力F合的方向时刻与速度的方向垂直而沿切线方向无分力，故该力只改变速度的方向，不改变速度的大小，C错，D对。]

3．下列关于向心加速度的说法中正确的是(　　)

A．向心加速度的方向始终指向圆心

B．向心加速度的方向保持不变

C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的

D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化

A　[向心加速度的方向时刻指向圆心，A正确；向心加速度的大小不变，方向时刻指向圆心，不断变化，故B、C、D错误。]

1．向心力大小的计算

Fn＝m＝mrω2＝mωv＝mr，在匀速圆周运动中，向心力大小不变；在非匀速圆周运动中，其大小随速率v的变化而变化。

2．向心力来源的分析

物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供。可以由一个力充当向心力；也可以由几个力的合力充当向心力；还可以是某个力的分力充当向心力。

【例1】　如图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，设绳长l＝10 m，质点的质量m＝60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0 m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：

甲　　　　　　　　乙

(1)绳子拉力的大小；

(2)转盘角速度的大小。

思路点拨：该题有以下关键点

(1)质点在竖直方向上的合力等于零，在水平方向上的合力提供向心力。

(2)利用几何关系准确求出圆周运动的半径。

[解析]　(1)如图所示，对质点进行受力分析，图中F为绳子的拉力，在竖直方向：

Fcos 37°－mg＝0

解得F＝＝750 N。

(2)质点在水平面内做匀速圆周运动，重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有mgtan 37°＝mω2R

R＝d＋lsin 37°

联立解得ω＝＝rad/s。

[答案]　(1)750 N　(2) rad/s

分析匀速圆周运动问题的基本步骤

1．明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。

2．确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。

3．将物体所受外力通过力的正交分解，分解到沿切线方向和沿半径方向。

4．列方程：沿半径方向满足F合1＝mrω2＝m＝，沿切线方向F合2＝0。

5．解方程求出结果。

训练角度1　向心力的理解

1．(多选)关于向心力的下列说法中正确的是(　　)

A．向心力不改变做圆周运动物体速度的大小

B．做匀速圆周运动的物体，其向心力是不变的

C．做圆周运动的物体，所受合外力一定等于向心力

D．做匀速圆周运动的物体，一定是所受的合外力充当向心力

AD　[向心力不改变做圆周运动物体速度的大小，只改变速度的方向，A正确；做匀速圆周运动的物体，其向心力的方向时刻在变，B错误；做圆周运动的物体，所受合外力不一定等于向心力，因为物体不一定做匀速圆周运动，C错误；物体做匀速圆周运动时，合外力等于向心力，D正确。]

训练角度2　向心力的分析和计算

2.(多选)用细绳拴着小球做圆锥摆运动，如图所示，下列说法正确的是(　　)

A．小球受到重力、绳子的拉力和向心力的作用

B．小球做圆周运动的向心力是重力和绳子的拉力的合力

C．向心力的大小可以表示为F＝mrω2，也可以表示为F＝mgtan θ

D．以上说法都正确

BC　[小球受两个力的作用：重力和绳子的拉力，两个力的合力提供向心力，因此有F＝mgtan θ＝mrω2。所以正确答案为B、C。]

1．向心加速度的物理意义

向心加速度是描述速度方向改变快慢的物理量。向心加速度由于速度的方向改变而产生，线速度的方向变化的快慢决定了向心加速度的大小。

2．向心加速度的几种表达式

3．向心加速度与半径的关系

(1)若ω为常数，根据a＝ω2r可知，向心加速度与r成正比，如图甲所示。

(2)若v为常数，根据a＝可知，向心加速度与r成反比，如图乙所示。

甲　　　　　　乙

(3)若无特定条件，则不能说向心加速度与r是成正比还是成反比。

4．变速圆周运动的向心加速度

做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度。向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢。所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心。

【例2】　如图所示，O1为皮带传动的主动轮的轴心，轮半径为r1，O2为从动轮的轴心，轮半径为r2，r3为固定在从动轮上的小轮半径。已知r2＝2r1，r3＝1.5r1、A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则A、B、C三点的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)(　　)

A．1∶2∶3　　　 B．2∶4∶3

C．8∶4∶3 D．3∶6∶2

思路点拨：(1)A、B两点线速度大小相等，用a＝分析。

(2)B、C两点角速度相等，用a＝rω2分析。

C　[因为皮带不打滑，A点与B点的线速度大小相等，都等于皮带运动的速率，根据向心加速度公式a＝，可得aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1。由于B、C是固定在同一轮上的两点，所以它们的角速度相同，根据向心加速度公式a＝rω2，可得aB∶aC＝r2∶r3＝2∶1.5＝4∶3。由此得aA∶aB∶aC＝8∶4∶3。]

向心加速度公式的应用技巧

1．先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同。

2．在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比。

3．向心加速度公式a＝和a＝ω2r不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。

训练角度1　向心加速度的理解

3．下列关于向心加速度的说法中正确的是(　　)

A．向心加速度越大，物体速率变化越快

B．向心加速度的大小与轨道半径成反比

C．向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直

D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量

C　[在匀速圆周运动中，速率不变，速度方向时刻变化，向心加速度越大，物体速度变化越快，A错；

向心加速度的大小可用a＝或a＝ω2r表示，当v一定时，a与r成反比；当ω一定时，a与r成正比。可见an与r的比例关系是有条件的，B错；

向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直，C对；

在匀速圆周运动中，向心加速度的大小恒定，但方向始终指向圆心，即其方向时刻变化，所以向心加速度不是恒量，D错。]

训练角度2　向心加速度的计算

4．如图所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍，压路机匀速行进时，大轮边缘上A点的向心加速度是0.12 m/s2，那么小轮边缘上B点的向心加速度是多少？大轮上距轴心的距离为的C点的向心加速度是多大？

[解析]　因为vB＝vA，由a＝

得＝＝2

所以aB＝0.24 m/s2

因为ωA＝ωC，由a＝ω2r

得＝＝

所以aC＝0.04 m/s2。

[答案]　0.24 m/s2　0.04 m/s2

1．关于向心加速度，下列说法正确的是(　　)

A．由a＝知，匀速圆周运动的向心加速度恒定

B．匀速圆周运动不属于匀速运动

C．向心加速度越大，物体速率变化越大

D．做圆周运动的物体，加速度时刻指向圆心

B　[由a＝知，匀速圆周运动的向心加速度大小是恒定的，但是方向不断改变，A错；

匀速圆周运动的速度方向不断改变，故不属于匀速运动，B错；

在匀速圆周运动中，速率不变，C错；

只有做匀速圆周运动的物体，加速度才时刻指向圆心，D错。]

2.如图所示，一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘一起做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说法中正确的是(　　)

A．木块A受重力、支持力和向心力

B．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相反

C．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向指向圆心

D．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相同

C　[由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度，所以，它在竖直方向上受重力和支持力的作用而平衡。而木块在水平面内做匀速圆周运动，其所需向心力由静摩擦力提供，且静摩擦力的方向指向圆心O，故选C。]

3.如图所示，两个质量相同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的(　　)

A．运动周期相同

B．运动线速度一样大

C．向心力大小相同

D．向心加速度大小相同

A　[对其中一个小球受力分析，如图，受重力，绳子的拉力，由于小球做匀速圆周运动，故合力提供向心力；

将重力与拉力合成，合力指向圆心，由几何关系得，合力F＝mgtan θ

  ①；

由向心力公式得到，F＝mr  ②；

设球与悬挂点间的高度差为h，由几何关系，得：r＝htan θ ③；

由①②③三式得，T＝2π，与绳子的长度和转动关系无关，故A正确；

由v＝，两球转动半径不等，线速度不等，故B错误；

由F＝mr，两球转动半径不等，向心力不等，故C错误；

由a＝r，两球转动半径不等，向心加速度不等，故D错误。]

4.如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么(　　)

A．加速度为零

B．加速度恒定

C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心

D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心

D　[由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误．]

5.2019年欧洲花样滑冰锦标赛在白俄罗斯首都明斯克进行。法国双人滑组合时隔87年再夺金，扎吉托娃领跑女单。如图所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动。若运动员的转速为30 r/min，女运动员触地冰鞋的线速度为4.8 m/s，求女运动员做圆周运动的角速度、触地冰鞋做圆周运动的半径及向心加速度大小。

[解析]　男女运动员的转速、角速度是相同的，由ω＝2πn得ω＝2×3.14× rad/s＝3.14 rad/s。

由v＝ωr得r＝＝ m≈1.53 m

由a＝ω2r得a＝3.142×1.53 m/s2≈15.1 m/s2。

[答案]　3.14 rad/s　1.53 m　15.1 m/s2