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物理粤教版 (2019)第二节 向心力与向心加速度第1课时导学案
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这是一份物理粤教版 (2019)第二节 向心力与向心加速度第1课时导学案，共29页。
知识点 感受向心力及向心力的公式
1．定义：
大量实验表明，物体做匀速圆周运动时所受合外力的方向始终指向轨迹的圆心，这个指向圆心的合外力称为向心力。
2．方向：
向心力的方向始终指向圆心，总是与线速度方向垂直。
3．公式：
F＝mω2r或者F＝mv2r。
4．效果力：
向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以由不同性质的力如弹力、重力、摩擦力等提供，也可以由某一力的分力或某些力的合力提供。
向心力是和重力、弹力、摩擦力一样的力吗？
提示：不一样，向心力是效果力。
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)做匀速圆周运动的物体所受的向心力是恒力。( × )
(2)向心力和重力、弹力一样，是性质力。( × )
(3)向心力可以由重力或弹力等来充当，是效果力。( √ )
飞机在空中水平面内做匀速圆周运动；在光滑漏斗内壁上，小球做匀速圆周运动。
(1)飞机和小球在运动过程中受到哪些力的作用？
(2)飞机受力的合力方向及作用效果是什么？
提示：(1)飞机受到重力和升力的作用；小球受到重力和支持力的作用。
(2)这些力的合力指向圆周运动的圆心，充当向心力，改变速度的方向。
考点1 对向心力的理解
1．向心力的特点
由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力是变力。其作用不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。
2．向心力的来源分析
在匀速圆周运动中，由合力提供向心力。在非匀速圆周运动中，物体合力不是始终指向圆心，沿半径方向的合力指向圆心，提供向心力。
3．向心力来源的实例分析
【典例1】 如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是( )
A．当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为c
B．当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力
C．当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为a
D．当转盘减速转动时，P所受摩擦力方向可能为b
A [转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向为c，A项正确，B项错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，故摩擦力可能沿b方向，不可能沿a方向，C项错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有与a方向相反的切向力，使线速度大小减小，故摩擦力可能沿d方向，不可能沿b方向，D项错误。]
分析向心力来源的注意点
(1)向心力可能是物体受到的某一个力，也可能是某一个力的分力或某几个力的合力。
(2)物体做匀速圆周运动时，合力一定是向心力，方向指向圆心，只改变速度的方向。
(3)物体做变速圆周运动时，合力方向与速度方向一定不垂直，合力沿半径方向的分力充当向心力，改变速度的方向；合力沿平行轨道切线方向的分力改变速度的大小。
(4)物体做变速圆周运动，当速率增大时，物体受到的合力与速度方向的夹角为锐角；当速率减小时，物体受到的合力与速度方向的夹角为钝角。
[跟进训练]
1．(多选)如图所示为游乐园中的“空中飞椅”设施，游客乘坐飞椅从启动，匀速旋转，再到逐渐停止运动的过程中，下列说法正确的是( )
A．游客和飞椅的向心力等于连接飞椅的绳子的拉力
B．游客所受的合力可能大于游客的向心力
C．当游客做匀速圆周运动时，其所受合力的方向总是与速度方向垂直
D．当游客做速率减小的曲线运动时，其所受合力的方向一定与速度方向相反
BC [游客和飞椅的向心力由绳子的拉力在指向圆心方向的分力提供，向心力不等于绳子的拉力，故A错；在启动过程中，合力一部分提供向心力，一部分提供切向加速度使游客和飞椅加速，该过程中游客所受的合力大于游客的向心力，故B对；当游客做匀速圆周运动时，游客所受的合力完全提供向心力，只改变速度方向，不改变速度大小，即所受合力的方向总是与速度方向垂直，故C对；当游客做速率减小的曲线运动时，其所受合力的方向与速度方向成钝角，切线方向的分力产生切向加速度，使游客的速率减小，故D错。]
考点2 实验：探究影响向心力大小的因素
1．实验原理与设计
(1)实验的基本思想——控制变量法。
在物理实验中，根据实验需求，要注意使实验过程中的不同变量保持不变。
(2)设计思路。
a．若要讨论向心力与质量的关系，应控制半径、角速度不变。
b．若要讨论向心力与半径的关系，应控制质量、角速度不变。
c．若要讨论向心力与角速度的关系，应控制质量、半径不变。
2．实验器材
向心力演示器、天平、质量不等的若干小球等。
3．实验步骤
向心力演示器如图所示，匀速转动手柄1，可以使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动。皮带分别套在塔轮2和3的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动。小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8，根据标尺8上露出的红白相间等分格，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。其实验步骤如下：
(1)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动半径和转动角速度相同时，探究向心力与小球质量的关系。
(2)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动角速度和质量相同时，探究向心力与转动半径的关系。
(3)皮带套在塔轮2、3半径不同的圆盘上，小球质量和转动半径相同时，探究向心力与角速度的关系。
4．数据收集与分析
(1)列F、m数据收集表格。
把不同质量的小球放在长槽和短槽内，确保小球的转动半径和角速度相同，把小球的向心力和质量填在下表中：
(2)作F-m图像。
以F为纵坐标、m为横坐标，根据数据作F-m图像，用曲线拟合测量点，找出规律，分析F与m的关系。
(3)列F、r数据收集表格。
把相同质量的小球分别放在长槽和短槽内，确保小球的质量和角速度相同，把小球的向心力和转动半径填在下表中：
(4)作F-r图像。
以F为纵坐标、r为横坐标，根据数据作F-r图像，用曲线拟合测量点，找出规律，分析F与r的关系。
(5)列F、ω数据收集表格。
把相同质量的小球分别放在长槽和短槽内，确保小球的质量和转动半径相等，把小球的向心力和角速度以及角速度的二次方填在下表中：
(6)作F-ω2图像。
以F为纵坐标、ω2为横坐标，根据数据作F-ω2图像，用曲线拟合测量点，找出规律，分析F与ω2的关系。
5．实验结论
(1)在半径和角速度相同时，向心力与质量成正比。
(2)在质量和角速度相同时，向心力与转动半径成正比。
(3)在转动半径和质量相同时，向心力与角速度的二次方成正比。
通过归纳和推导，可得向心力的表达式：
Fn＝mrω2＝mv2r＝mωv＝m4π2T2r。
6．注意事项
(1)实验前要做好横臂支架的安全检查，螺钉是否有松动。
(2)标尺格数比应选择最小格数进行，使学生容易看清格数比。如：F1∶F2＝1∶4，可以选择2格和8格，但最好使用1格和4格。
(3)转动转台时，应先让一个套筒的标尺达到预定的整数格，然后观察另一个套筒的标尺。
(4)实验时，转速应从慢到快。
【典例2】 如图是探究影响向心力大小的因素的实验装置。长槽上的挡板B到转轴的距离是挡板A到转轴距离的2倍，长槽上的挡板A和短槽上的挡板C到各自转轴的距离相等。转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值。
(1)该实验应用_________(选填“理想实验法”“控制变量法”或“等效替代法”)来探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。
(2)探究向心力的大小F与角速度ω的关系时，应将传动皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，将质量相同的小球分别放在挡板_________(选填“A”或“B”)和挡板C处。
[解析] (1)该实验应用控制变量法来探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。
(2)探究向心力的大小与角速度的关系时，应控制两球的质量及两球做圆周运动的轨道半径相等，即应选择两个质量相同的球，分别放在挡板A与挡板C处，同时选择半径不同的两个轮盘。
[答案] (1)控制变量法 (2)A
[跟进训练]
2．如图所示，图甲为“利用向心力演示器验证向心力公式”的实验示意图，图乙为其俯视图。图中A、B槽分别与a、b轮同轴固定，且a、b轮半径相同。当a、b两轮在皮带的带动下匀速转动时，
(1)两槽转动的角速度ωA_________ωB(选填“＞”“＝”或“＜”)。
(2)现有两个质量相同的钢球，球1放在A槽的横臂挡板处，球2放在B槽的横臂挡板处，它们到各自转轴的距离之比为2∶1，则钢球1、2的线速度之比为_________；当钢球1、2各自对应的标尺露出的格数之比为_________时，向心力公式F＝mω2r得到验证。
[解析] (1)因a、b两轮通过皮带相连，且a、b两轮半径相同，故两轮角速度相同；而A、B槽分别与a、b轮同轴固定，故两槽的角速度分别与两轮的角速度相等，综上可知两槽转动的角速度相等，即ωA＝ωB。
(2)钢球1、2的角速度相同，做匀速圆周运动的半径之比为2∶1，根据v＝ωr可知，钢球1、2的线速度之比为2∶1，根据向心力公式F＝mω2r可知，钢球1、2受到的向心力之比为2∶1，则当它们各自对应的标尺露出的格数之比为2∶1时，向心力公式F＝mω2r得到验证。
[答案] (1)＝ (2)2∶1 2∶1
考点3 匀速圆周运动的动力学问题
1．指导思想
凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向心力，而物体所受外力的合力提供向心力，这是处理该类问题的基础。
2．解题步骤
(1)明确研究对象(做圆周运动的物体)，确定其做匀速圆周运动的轨道平面。
(2)分析几何关系，目的是确定匀速圆周运动的圆心、轨道半径；分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度等相关量；分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源。
(3)列方程：沿半径方向合力满足Fx＝mrω2＝mv2r＝4π2mrT2，垂直半径方向合力满足Fy＝0。
(4)联立方程求出结果。
【典例3】 有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示。长为L的钢绳一端系着质量为m的座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转动轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ。不计钢绳的重力，重力加速度为g，求：
(1)转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系；
(2)此时钢绳的拉力。
思路点拨：解此题可按以下思路。
选座椅为对象―→画受力分析图―→找圆心定圆面―→列动力学方程
[解析] (1)转盘转动的角速度为ω时，钢绳与竖直方向的夹角为θ，则座椅到转轴的距离即座椅做圆周运动的半径为
R＝r＋Lsin θ①
对座椅受力分析，如图所示。
根据几何关系可知Fn＝mg tan θ
由向心力的公式得mg tan θ＝mω2R②
由①②得：ω＝gtanθr+Lsinθ。
(2)设钢绳的拉力为FT，由三角函数知
FT＝mgcsθ。
[答案] (1)ω＝gtanθr+Lsinθ (2)mgcsθ
匀速圆周运动问题的求解方法
圆周运动问题仍属于一般的动力学问题，无非是两类基本问题：由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情况求解物体的受力情况。整体步骤仍与“用牛顿运动定律解决问题”一致。但是一定要确定圆周运动所在的平面以及圆心和半径。
[跟进训练]
3．如图所示，水平转盘上放有一个质量为m的小物体，小物体离转轴的距离为r，转轴与小物体间用一根刚好伸直的细线相连，小物体和转盘间的最大静摩擦力等于重力的μ倍，细线所能承受的最大拉力为3μmg。问：
(1)当转盘角速度为多少时，细线的拉力为零？
(2)若小物体始终相对转盘静止，转盘转动的最大角速度是多少？
[解析] (1)当物体仅由静摩擦力提供向心力时，最大的向心力为μmg，此时
μmg≥mω2r
解得ω≤μgr。
(2)当拉力达到最大时，转盘有最大角速度ωmax，
μmg＋Fm＝mωmax2r
即：μmg＋3μmg＝mωmax2r
解得：ωmax＝4μgr＝2μgr。
[答案] (1)ω≤μgr (2)2μgr
考点4 变速圆周运动与一般曲线运动
1．变速圆周运动合力的作用效果
(1)跟圆周相切的分力Ft：产生切向加速度，此加速度改变线速度的大小。
(2)指向圆心的分力Fn：产生向心加速度，此加速度改变线速度的方向。
2．匀速圆周运动与变速圆周运动的比较
3．一般曲线运动
(1)运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。
(2)处理方法：一般的曲线运动中，可以把曲线分割成许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。
【典例4】 一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示，曲线上的A点的曲率圆定义：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作A点的曲率圆，其半径ρ叫作A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示。则在其轨迹最高点P处的曲率半径是( )
A．v02g B．v02sin2αg
C．v02cs2αg D．v02cs2αg sin α
思路点拨：物体在轨迹最高点以某一曲率半径做圆周运动的向心力由重力提供，列出重力等于向心力的表达式进行求解。
C [斜抛出去的物体同时参与两个方向的运动：水平方向以速度vx＝v0cs α做匀速直线运动，竖直方向以初速度vy＝v0sin α做匀减速直线运动。到最高点时，竖直方向速度为零，其速度为vP＝v0cs α，且为水平方向。这时重力提供其做圆周运动的向心力，由mg＝mv0csα2ρ'得ρ′＝v02cs2αg，所以C正确，A、B、D错误。]
变速圆周运动问题的两点注意
(1)变速圆周运动中，某一点的向心力均可用Fn＝mv2r、Fn＝mrω2公式求解，这些公式虽然是从匀速圆周运动中得出的，但在变速圆周运动中它们仍然适用，只不过应用时要注意Fn、ω、v必须是同一时刻的瞬时值。
(2)曲线运动中，质点在某一点的速度方向是曲线上这一点的切线方向，此点的曲率半径表示曲线在此处的弯曲程度。
[跟进训练]
4．如图所示，某物体沿14光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点过程中，物体的速率逐渐增大，则( )
A．物体的合力为零
B．物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C．物体的合力就是向心力
D．物体的合力方向始终不与其运动方向垂直(最低点除外)
D [物体做加速曲线运动，合力不为零，A错误；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心(最低点除外)，合力沿半径方向的分力提供向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向的夹角始终为锐角，合力与速度不垂直，B、C错误，D正确。]
1．下列说法中正确的是( )
A．只要物体做圆周运动，它所受的合力一定指向圆心
B．做曲线运动的物体，受到的合力方向一定在不断改变
C．匀速圆周运动是匀速运动
D．向心力只改变做圆周运动的物体的速度方向，不改变速度的大小
D [只有做匀速圆周运动的物体所受合力才一定指向圆心，A错误；物体做曲线运动的条件是合力的方向与速度方向不在同一条直线上，但合力方向不一定变化，如平抛运动，B错误；匀速圆周运动速度大小不变，方向沿圆周的切线方向，时刻在变化，所以速度是变化的，是变速运动，C错误；向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小，D正确。]
2．如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为( )
A．200 N B．400 N
C．600 ND．800 N
B [本题考查圆周运动中的受力问题。该同学在荡秋千过程中的最低点，同学和踏板整体受到的重力和两根绳的拉力的合力提供同学和踏板做圆周运动的向心力，设每根绳子上平均承受的拉力大小为F，由牛顿第二定律得2F－mg＝mv2R，解得F＝12mg+mv2R＝12×50 kg×10 m/s2+50 kg×8 m/s210 m＝410 N，B正确，A、C、D错误。]
3．如图所示为改装的探究圆周运动向心力的实验装置。有机玻璃支架上固定一个直流电动机，电动机转轴上固定一个半径为r的塑料圆盘，圆盘中心正下方用细线接一个重锤，圆盘边缘连接细绳，细绳另一端连接一个小球。实验操作如下：
①利用天平测量小球的质量m，记录当地的重力加速度g的大小；
②闭合电源开关，让小球做如图所示的匀速圆周运动，调节激光笔2的高度和激光笔1的位置，让激光恰好照射到小球的中心，用刻度尺测量小球球心到塑料圆盘的竖直高度h和小球做匀速圆周运动的半径R；
③当小球第1次到达A点时开始计时，并记录为1次，记录小球n次到达A点的时间t；
④切断电源，整理器材。
请回答下列问题：
(1)下列说法正确的是_________。
A．小球运动的周期为tn
B．小球运动的线速度大小为2πn-1Rt
C．小球运动的向心力大小为mgRh
D．若电动机转速增加，激光笔1、2应分别左移、升高
(2)若已测出R＝40.00 cm、r＝4.00 cm、h＝90.00 cm、t＝100.00 s、n＝51，π取3.14，则小球做匀速圆周运动的周期T＝_________s，记录的当地重力加速度大小应为g＝_________m/s2(计算结果均保留三位有效数字)。
[解析] (1)小球从第1次通过A位置到第n次通过A位置，转动的圈数为n－1，所用时间为t，故周期T＝tn-1，A错误；小球的线速度大小v＝2πRT＝2πn-1Rt，B正确；小球受重力和拉力，二力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，设细绳与竖直方向的夹角为α，则有Fn＝mg tan α＝mgR-rh，C错误；若电动机的转速增加，小球做匀速圆周运动所需的向心力增大，则细绳与竖直方向的夹角增大，故转动半径增大，小球球心到塑料圆盘的竖直高度减小，激光笔1、2应分别左移、升高，D正确。
(2)小球做圆周运动的周期T＝tn-1＝100.0051-1 s＝2.00 s；向心力Fn＝mgR-rh＝m4π2T2R，解得g＝4π2RhR-rT2≈9.86 m/s2。
[答案] (1)BD (2)2.00 9.86
4．(新情境题，以体育运动为背景考查圆周运动规律)如图所示，双人花样滑冰运动中男运动员拉着女运动员做圆锥摆运动，观众有时会看到女运动员被男运动员拉着离开冰面在空中做水平方向的匀速圆周运动。若女运动员做圆锥摆运动时和竖直方向的夹角约为θ，女运动的质量为m，转动过程中女运动员的重心做匀速圆周运动的半径为r，求：
(1)男运动员对女运动员的拉力大小。
(2)男运动员转动的角速度。
[解析] 设男运动员对女运动员的拉力大小为F，女运动员受力分析如图所示，则Fcs θ＝mg
Fsin θ＝mω2r
解得F＝mgcsθ
ω＝gtanθr。
[答案] (1)mgcsθ (2)gtanθr
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．向心力的特点是什么？
提示：向心力的方向始终指向圆心，向心力的作用效果用来改变速度的方向。
2．向心力一定是合外力吗？
提示：不一定，匀速圆周运动的向心力是合外力。
3．向心力的大小和哪些因素有关？
提示：与物体的质量、线速度、运动半径有关。
课时分层作业(五) 向心力
题组一 对匀速圆周运动向心力的理解
1．(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列判断正确的是( )
A．合力的大小不变，方向一定指向圆心
B．合力的大小不变，方向也不变
C．合力产生的效果既改变速度的方向，又改变速度的大小
D．合力产生的效果只改变速度的方向，不改变速度的大小
[答案] AD
2．如图所示，在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心。能正确表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的图是( )
A B C D
[答案] C
3．(2023·全国甲卷)一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [质点做匀速圆周运动，根据题意设周期T＝kr，合力等于向心力，根据F合＝Fn＝m4π2T2r，联立可得Fn＝4mπ2k2r 3，其中4mπ2k2为常数，r的指数为3，故题中n＝3，故选C。]
4．(多选)如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，提供运动中小球所需向心力的是 ( )
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
CD [如图所示，对小球进行受力分析，它受到重力和绳的拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力。因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力。故选项C、D正确。]
题组二 实验：探究影响向心力大小的因素
5．如图所示是一种简易的圆周运动向心力演示仪，图中A、B为两个穿在水平滑杆上并通过棉线与转轴相连的重锤。试结合下列演示现象，分析影响向心力的因素。
(1)使线长LA＝LB，质量mA＞mB，加速转动横杆；
现象：连接A的棉线先断；
表明：在半径和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随_________的增大而增大；
(2)使质量mA＝mB，线长LA＞LB，加速转动横杆；
现象：连接A的棉线先断；
表明：在重锤质量和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随_________的增大而增大；
(3)对任一次断线过程进行考察；
现象：并不是横杆一开始转动就断线，而是加速了一段时间之后线才断的；
表明：在重锤质量和半径一定的条件下，圆周运动所需向心力随_________的增大而增大。
[解析] (1)两重锤的质量mA＞mB，连接A的棉线先断，即质量越大，棉线的拉力越大，则说明在半径和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随重锤质量的增大而增大。
(2)两重锤质量mA＝mB，线长LA＞LB，而连接A的棉线先断，即棉线越长，所受的拉力越大；表明在重锤质量和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随转动半径的增大而增大。
(3)并不是横杆一开始转动就断线，而是加速了一段时间之后随着转动角速度的增大线才断的，表明在重锤质量和半径一定的条件下，圆周运动所需向心力随转动角速度的增大而增大。
[答案] (1)重锤质量 (2)转动半径 (3)转动角速度
6．如图所示是探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验装置图，转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动。皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球6、7分别以不同的角速度做匀速圆周运动。小球做圆周运动的向心力由横臂8的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂8的杠杆作用使弹簧测力套筒9下降，从而露出标尺10，标尺10上露出的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值。那么：
(1)现将两小球分别放在两边的槽内，为了探究小球受到的向心力大小和角速度的关系，下列说法中正确的是_________。
A．在小球运动半径相等的情况下，用质量相同的小球做实验
B．在小球运动半径相等的情况下，用质量不同的小球做实验
C．在小球运动半径不相等的情况下，用质量不同的小球做实验
D．在小球运动半径不相等的情况下，用质量相同的小球做实验
(2)在该实验中应用了_________(选填“理想实验法”“控制变量法”或“等效替代法”)来探究向心力的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。
(3)当用两个质量相等的小球做实验，且左边小球的轨道半径为右边小球的轨道半径的2倍时，转动时发现右边标尺上露出的红白相间的等分格数为左边的2倍，那么，左边塔轮与右边塔轮之间的角速度之比为_________。
[解析] (1)根据F＝mrω2知，要研究小球受到的向心力大小与角速度的关系，需控制小球的质量和半径不变，所以A正确，B、C、D错误。
(2)由前面分析可以知道该实验采用的是控制变量法。
(3)根据已知条件得，右边小球受到的向心力是左边小球的2倍，故可以知道左边塔轮与右边塔轮之间的角速度之比为1∶2。
[答案] (1)A (2)控制变量法 (3)1∶2
题组三 向心力的计算
7．(多选)在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，以角速度ω做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )
A．l、ω不变，m越大线越易被拉断
B．m、ω不变，l越小线越易被拉断
C．m、l不变，ω越大线越易被拉断
D．m不变，l减半且角速度加倍时，线的拉力不变
AC [在光滑水平面上的物体的向心力由绳的拉力提供，由向心力公式F＝mω2l，得选项A、C正确。]
8．如图所示，把一个长为20 cm、劲度系数为360 N/m的弹簧一端固定，并作为圆心，弹簧的另一端连接一个质量为0.50 kg的小球，当小球以360π r/min 的转速在光滑水平面上做匀速圆周运动时，弹簧的伸长应为( )
A．5.2 cm B．5.3 cm
C．5.0 cmD．5.4 cm
C [小球转动的角速度ω＝2πn＝2π×360π×160 rad/s＝12 rad/s，由向心力公式得kx＝mω2·(x0＋x)，解得x＝mω2x0k-mω2＝0.50×122×0.2360-0.50×122 m＝0.05 m＝5.0 cm。故C正确。]
9．长为L的细线，一端拴一质量为m的小球，另一端固定于O点，让小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，如图所示，当细线与竖直方向的夹角为α时，求：
(1)细线的拉力F的大小；
(2)小球运动的线速度大小；
(3)小球运动的角速度及周期。
[解析] 对做匀速圆周运动的小球进行受力分析，如图所示，小球受到重力mg和细线的拉力F的作用。
(1)因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力沿水平方向且指向圆心O′。由平行四边形定则得，小球受到的合力大小F合＝mg tan α，细线的拉力大小F＝mgcsα。
(2)由牛顿第二定律得mg tan α＝mv2r
由几何关系得r＝Lsin α
解得小球运动的线速度大小
v＝gLtanαsinα。
(3)小球运动的角速度ω＝vr＝gLtanαsinαLsinα＝gLcsα
小球运动的周期T＝2πω＝2πLcsαg。
[答案] (1)mgcsα (2)gLtanαsinα (3)gLcsα 2πLcsαg
1．质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上，杆端套有一个质量为m的小球，今使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω，如图所示，则杆的上端受到小球的作用力大小为( )
A．mω2R
B．m2g2-m2ω4R2
C．m2g2+m2ω4R2
D．不能确定
C [小球在重力和杆的作用力下做匀速圆周运动。这两个力的合力充当向心力必指向圆心，如图所示。用力的合成法可得杆的作用力：
F＝mg2+F向2＝m2g2+m2ω4R2，根据牛顿第三定律，小球对杆的上端的反作用力F′＝F，C正确。]
2．如图所示，质量为M的滑块能在水平光滑滑杆上自由滑动，滑杆装在转盘上。滑块用轻质细绳跨过在圆心处的光滑滑轮与另一质量为m的物体相连。当转盘以角速度ω转动时，滑块到轴的距离为r，且恰能保持稳定转动。若转盘的转速增大至原来的2倍，调整r使之达到新的稳定转动状态，则滑块( )
A．所受向心力变为原来的4倍
B．线速度变为原来的12
C．半径r变为原来的12
D．角速度变为原来的12
B [若转盘的转速增大，再次稳定时，滑块做匀速圆周运动的向心力仍由拉力提供，拉力仍然等于物体的重力，所以向心力不变，A错；转盘的转速增大至原来的2倍，则角速度变为原来的2倍，根据Fn＝Mrω2，向心力不变，则r变为原来的14。根据v＝rω，线速度变为原来的12，B对，C、D错。]
3．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度ω匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度大小为g。若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0。
[解析] 对小物块受力分析如图所示，
由牛顿第二定律知mg tan θ＝mω0 2·Rsin θ，得ω0＝gRcsθ＝2gR。
[答案] 2gR
4．如图所示，在光滑的圆锥顶用长为l的细线悬挂一质量为m的物体，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，细线与轴线之间的夹角为θ＝30°，物体以速度v绕圆锥体轴线做水平匀速圆周运动。
(1)当v1＝gl6时，求细线对物体的拉力；
(2)当v2＝3gl2时，求细线对物体的拉力。
[解析] 当物体恰好离开锥面时，此时物体与锥面接触但是没有弹力作用，如图所示：
则：竖直方向Tcs θ－mg＝0，
水平方向Tsin θ＝mv2R
R＝lsin θ，解得v＝3gl6。
(1)当v1则在水平方向
T1sin θ－N1cs θ＝mv12R
竖直方向T1cs θ＋N1sin θ－mg＝0
R＝lsin θ，解得T1＝33+16mg。
(2)v2>v时，物体离开锥面，设线与竖直方向上的夹角为α，如图所示：
则竖直方向：T2cs α－mg＝0
水平方向：T2sin α＝mv22R2
而且：R2＝lsin α，解得：T2＝2mg。
[答案] (1)1+33mg6 (2)2mg
学习任务
1．了解向心力的概念，知道向心力是根据力的作用效果命名的。
2．通过实验探究影响向心力大小的因素，掌握拓展实验的探究方法，提高动手实验的能力。
3．掌握向心力公式，并能分析向心力的来源，解决相关问题。
4．从实际问题中体会向心力的应用，指导生活生产实际，培养学以致用的科学精神。
向心力来源
实例分析
重力提供向心力
如图所示，用细绳拴住小球，使小球在竖直面内转动，当它经过最高点时，若细绳的拉力恰好为零，则此时向心力由小球所受的重力提供
弹力提供
向心力
如图所示，绳子的一端系在光滑水平桌面上的O点，另一端系一小球，使小球在桌面上做匀速圆周运动，则小球做匀速圆周运动的向心力由绳子的拉力(弹力)提供
摩擦力提
供向心力
如图所示，木块随圆盘一起做匀速圆周运动，其所需的向心力由静摩擦力提供。木块相对圆盘的运动趋势的方向沿半径背离圆心，静摩擦力的方向与相对运动趋势的方向相反。但是，当圆盘光滑(无摩擦力)时，木块将沿切线方向飞出，说明木块相对于地面的运动趋势的方向沿切线方向，而相对于圆盘的运动趋势的方向沿半径向外
合力提供
向心力
如图所示，细线拉住小球在竖直面内做匀速圆周运动，当小球经过最低点时，向心力由细线的拉力和小球重力的合力提供
分力提供
向心力
如图所示，小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动时，向心力由细线的拉力在水平方向的分力提供
实验序号
1
2
3
4
5
质量m/kg
向心力F/N
实验序号
1
2
3
4
5
半径r/m
向心力F/N
实验序号
1
2
3
4
5
角速度ω/rad
角速度的二次方ω2/rad2
向心力F/N
比较项
匀速圆周运动
变速圆周运动
线速度特点
线速度的方向不断改变、大小不变
线速度的大小、方向都不断改变
受力特点
合力方向一定指向圆心，充当向心力
合力可分解为与圆周相切的分力和指向圆心的分力，指向圆心的分力充当向心力
周期性
有
不一定有
性质
均是非匀变速曲线运动
公式
Fn＝mv2r＝mω2r都适用
知识点 感受向心力及向心力的公式
1．定义：
大量实验表明，物体做匀速圆周运动时所受合外力的方向始终指向轨迹的圆心，这个指向圆心的合外力称为向心力。
2．方向：
向心力的方向始终指向圆心，总是与线速度方向垂直。
3．公式：
F＝mω2r或者F＝mv2r。
4．效果力：
向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以由不同性质的力如弹力、重力、摩擦力等提供，也可以由某一力的分力或某些力的合力提供。
向心力是和重力、弹力、摩擦力一样的力吗？
提示：不一样，向心力是效果力。
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)做匀速圆周运动的物体所受的向心力是恒力。( × )
(2)向心力和重力、弹力一样，是性质力。( × )
(3)向心力可以由重力或弹力等来充当，是效果力。( √ )
飞机在空中水平面内做匀速圆周运动；在光滑漏斗内壁上，小球做匀速圆周运动。
(1)飞机和小球在运动过程中受到哪些力的作用？
(2)飞机受力的合力方向及作用效果是什么？
提示：(1)飞机受到重力和升力的作用；小球受到重力和支持力的作用。
(2)这些力的合力指向圆周运动的圆心，充当向心力，改变速度的方向。
考点1 对向心力的理解
1．向心力的特点
由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力是变力。其作用不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。
2．向心力的来源分析
在匀速圆周运动中，由合力提供向心力。在非匀速圆周运动中，物体合力不是始终指向圆心，沿半径方向的合力指向圆心，提供向心力。
3．向心力来源的实例分析
【典例1】 如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是( )
A．当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为c
B．当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力
C．当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为a
D．当转盘减速转动时，P所受摩擦力方向可能为b
A [转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向为c，A项正确，B项错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，故摩擦力可能沿b方向，不可能沿a方向，C项错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有与a方向相反的切向力，使线速度大小减小，故摩擦力可能沿d方向，不可能沿b方向，D项错误。]
分析向心力来源的注意点
(1)向心力可能是物体受到的某一个力，也可能是某一个力的分力或某几个力的合力。
(2)物体做匀速圆周运动时，合力一定是向心力，方向指向圆心，只改变速度的方向。
(3)物体做变速圆周运动时，合力方向与速度方向一定不垂直，合力沿半径方向的分力充当向心力，改变速度的方向；合力沿平行轨道切线方向的分力改变速度的大小。
(4)物体做变速圆周运动，当速率增大时，物体受到的合力与速度方向的夹角为锐角；当速率减小时，物体受到的合力与速度方向的夹角为钝角。
[跟进训练]
1．(多选)如图所示为游乐园中的“空中飞椅”设施，游客乘坐飞椅从启动，匀速旋转，再到逐渐停止运动的过程中，下列说法正确的是( )
A．游客和飞椅的向心力等于连接飞椅的绳子的拉力
B．游客所受的合力可能大于游客的向心力
C．当游客做匀速圆周运动时，其所受合力的方向总是与速度方向垂直
D．当游客做速率减小的曲线运动时，其所受合力的方向一定与速度方向相反
BC [游客和飞椅的向心力由绳子的拉力在指向圆心方向的分力提供，向心力不等于绳子的拉力，故A错；在启动过程中，合力一部分提供向心力，一部分提供切向加速度使游客和飞椅加速，该过程中游客所受的合力大于游客的向心力，故B对；当游客做匀速圆周运动时，游客所受的合力完全提供向心力，只改变速度方向，不改变速度大小，即所受合力的方向总是与速度方向垂直，故C对；当游客做速率减小的曲线运动时，其所受合力的方向与速度方向成钝角，切线方向的分力产生切向加速度，使游客的速率减小，故D错。]
考点2 实验：探究影响向心力大小的因素
1．实验原理与设计
(1)实验的基本思想——控制变量法。
在物理实验中，根据实验需求，要注意使实验过程中的不同变量保持不变。
(2)设计思路。
a．若要讨论向心力与质量的关系，应控制半径、角速度不变。
b．若要讨论向心力与半径的关系，应控制质量、角速度不变。
c．若要讨论向心力与角速度的关系，应控制质量、半径不变。
2．实验器材
向心力演示器、天平、质量不等的若干小球等。
3．实验步骤
向心力演示器如图所示，匀速转动手柄1，可以使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动。皮带分别套在塔轮2和3的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动。小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8，根据标尺8上露出的红白相间等分格，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。其实验步骤如下：
(1)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动半径和转动角速度相同时，探究向心力与小球质量的关系。
(2)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动角速度和质量相同时，探究向心力与转动半径的关系。
(3)皮带套在塔轮2、3半径不同的圆盘上，小球质量和转动半径相同时，探究向心力与角速度的关系。
4．数据收集与分析
(1)列F、m数据收集表格。
把不同质量的小球放在长槽和短槽内，确保小球的转动半径和角速度相同，把小球的向心力和质量填在下表中：
(2)作F-m图像。
以F为纵坐标、m为横坐标，根据数据作F-m图像，用曲线拟合测量点，找出规律，分析F与m的关系。
(3)列F、r数据收集表格。
把相同质量的小球分别放在长槽和短槽内，确保小球的质量和角速度相同，把小球的向心力和转动半径填在下表中：
(4)作F-r图像。
以F为纵坐标、r为横坐标，根据数据作F-r图像，用曲线拟合测量点，找出规律，分析F与r的关系。
(5)列F、ω数据收集表格。
把相同质量的小球分别放在长槽和短槽内，确保小球的质量和转动半径相等，把小球的向心力和角速度以及角速度的二次方填在下表中：
(6)作F-ω2图像。
以F为纵坐标、ω2为横坐标，根据数据作F-ω2图像，用曲线拟合测量点，找出规律，分析F与ω2的关系。
5．实验结论
(1)在半径和角速度相同时，向心力与质量成正比。
(2)在质量和角速度相同时，向心力与转动半径成正比。
(3)在转动半径和质量相同时，向心力与角速度的二次方成正比。
通过归纳和推导，可得向心力的表达式：
Fn＝mrω2＝mv2r＝mωv＝m4π2T2r。
6．注意事项
(1)实验前要做好横臂支架的安全检查，螺钉是否有松动。
(2)标尺格数比应选择最小格数进行，使学生容易看清格数比。如：F1∶F2＝1∶4，可以选择2格和8格，但最好使用1格和4格。
(3)转动转台时，应先让一个套筒的标尺达到预定的整数格，然后观察另一个套筒的标尺。
(4)实验时，转速应从慢到快。
【典例2】 如图是探究影响向心力大小的因素的实验装置。长槽上的挡板B到转轴的距离是挡板A到转轴距离的2倍，长槽上的挡板A和短槽上的挡板C到各自转轴的距离相等。转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值。
(1)该实验应用_________(选填“理想实验法”“控制变量法”或“等效替代法”)来探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。
(2)探究向心力的大小F与角速度ω的关系时，应将传动皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，将质量相同的小球分别放在挡板_________(选填“A”或“B”)和挡板C处。
[解析] (1)该实验应用控制变量法来探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。
(2)探究向心力的大小与角速度的关系时，应控制两球的质量及两球做圆周运动的轨道半径相等，即应选择两个质量相同的球，分别放在挡板A与挡板C处，同时选择半径不同的两个轮盘。
[答案] (1)控制变量法 (2)A
[跟进训练]
2．如图所示，图甲为“利用向心力演示器验证向心力公式”的实验示意图，图乙为其俯视图。图中A、B槽分别与a、b轮同轴固定，且a、b轮半径相同。当a、b两轮在皮带的带动下匀速转动时，
(1)两槽转动的角速度ωA_________ωB(选填“＞”“＝”或“＜”)。
(2)现有两个质量相同的钢球，球1放在A槽的横臂挡板处，球2放在B槽的横臂挡板处，它们到各自转轴的距离之比为2∶1，则钢球1、2的线速度之比为_________；当钢球1、2各自对应的标尺露出的格数之比为_________时，向心力公式F＝mω2r得到验证。
[解析] (1)因a、b两轮通过皮带相连，且a、b两轮半径相同，故两轮角速度相同；而A、B槽分别与a、b轮同轴固定，故两槽的角速度分别与两轮的角速度相等，综上可知两槽转动的角速度相等，即ωA＝ωB。
(2)钢球1、2的角速度相同，做匀速圆周运动的半径之比为2∶1，根据v＝ωr可知，钢球1、2的线速度之比为2∶1，根据向心力公式F＝mω2r可知，钢球1、2受到的向心力之比为2∶1，则当它们各自对应的标尺露出的格数之比为2∶1时，向心力公式F＝mω2r得到验证。
[答案] (1)＝ (2)2∶1 2∶1
考点3 匀速圆周运动的动力学问题
1．指导思想
凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向心力，而物体所受外力的合力提供向心力，这是处理该类问题的基础。
2．解题步骤
(1)明确研究对象(做圆周运动的物体)，确定其做匀速圆周运动的轨道平面。
(2)分析几何关系，目的是确定匀速圆周运动的圆心、轨道半径；分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度等相关量；分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源。
(3)列方程：沿半径方向合力满足Fx＝mrω2＝mv2r＝4π2mrT2，垂直半径方向合力满足Fy＝0。
(4)联立方程求出结果。
【典例3】 有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示。长为L的钢绳一端系着质量为m的座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转动轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ。不计钢绳的重力，重力加速度为g，求：
(1)转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系；
(2)此时钢绳的拉力。
思路点拨：解此题可按以下思路。
选座椅为对象―→画受力分析图―→找圆心定圆面―→列动力学方程
[解析] (1)转盘转动的角速度为ω时，钢绳与竖直方向的夹角为θ，则座椅到转轴的距离即座椅做圆周运动的半径为
R＝r＋Lsin θ①
对座椅受力分析，如图所示。
根据几何关系可知Fn＝mg tan θ
由向心力的公式得mg tan θ＝mω2R②
由①②得：ω＝gtanθr+Lsinθ。
(2)设钢绳的拉力为FT，由三角函数知
FT＝mgcsθ。
[答案] (1)ω＝gtanθr+Lsinθ (2)mgcsθ
匀速圆周运动问题的求解方法
圆周运动问题仍属于一般的动力学问题，无非是两类基本问题：由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情况求解物体的受力情况。整体步骤仍与“用牛顿运动定律解决问题”一致。但是一定要确定圆周运动所在的平面以及圆心和半径。
[跟进训练]
3．如图所示，水平转盘上放有一个质量为m的小物体，小物体离转轴的距离为r，转轴与小物体间用一根刚好伸直的细线相连，小物体和转盘间的最大静摩擦力等于重力的μ倍，细线所能承受的最大拉力为3μmg。问：
(1)当转盘角速度为多少时，细线的拉力为零？
(2)若小物体始终相对转盘静止，转盘转动的最大角速度是多少？
[解析] (1)当物体仅由静摩擦力提供向心力时，最大的向心力为μmg，此时
μmg≥mω2r
解得ω≤μgr。
(2)当拉力达到最大时，转盘有最大角速度ωmax，
μmg＋Fm＝mωmax2r
即：μmg＋3μmg＝mωmax2r
解得：ωmax＝4μgr＝2μgr。
[答案] (1)ω≤μgr (2)2μgr
考点4 变速圆周运动与一般曲线运动
1．变速圆周运动合力的作用效果
(1)跟圆周相切的分力Ft：产生切向加速度，此加速度改变线速度的大小。
(2)指向圆心的分力Fn：产生向心加速度，此加速度改变线速度的方向。
2．匀速圆周运动与变速圆周运动的比较
3．一般曲线运动
(1)运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。
(2)处理方法：一般的曲线运动中，可以把曲线分割成许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。
【典例4】 一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示，曲线上的A点的曲率圆定义：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作A点的曲率圆，其半径ρ叫作A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示。则在其轨迹最高点P处的曲率半径是( )
A．v02g B．v02sin2αg
C．v02cs2αg D．v02cs2αg sin α
思路点拨：物体在轨迹最高点以某一曲率半径做圆周运动的向心力由重力提供，列出重力等于向心力的表达式进行求解。
C [斜抛出去的物体同时参与两个方向的运动：水平方向以速度vx＝v0cs α做匀速直线运动，竖直方向以初速度vy＝v0sin α做匀减速直线运动。到最高点时，竖直方向速度为零，其速度为vP＝v0cs α，且为水平方向。这时重力提供其做圆周运动的向心力，由mg＝mv0csα2ρ'得ρ′＝v02cs2αg，所以C正确，A、B、D错误。]
变速圆周运动问题的两点注意
(1)变速圆周运动中，某一点的向心力均可用Fn＝mv2r、Fn＝mrω2公式求解，这些公式虽然是从匀速圆周运动中得出的，但在变速圆周运动中它们仍然适用，只不过应用时要注意Fn、ω、v必须是同一时刻的瞬时值。
(2)曲线运动中，质点在某一点的速度方向是曲线上这一点的切线方向，此点的曲率半径表示曲线在此处的弯曲程度。
[跟进训练]
4．如图所示，某物体沿14光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点过程中，物体的速率逐渐增大，则( )
A．物体的合力为零
B．物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C．物体的合力就是向心力
D．物体的合力方向始终不与其运动方向垂直(最低点除外)
D [物体做加速曲线运动，合力不为零，A错误；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心(最低点除外)，合力沿半径方向的分力提供向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向的夹角始终为锐角，合力与速度不垂直，B、C错误，D正确。]
1．下列说法中正确的是( )
A．只要物体做圆周运动，它所受的合力一定指向圆心
B．做曲线运动的物体，受到的合力方向一定在不断改变
C．匀速圆周运动是匀速运动
D．向心力只改变做圆周运动的物体的速度方向，不改变速度的大小
D [只有做匀速圆周运动的物体所受合力才一定指向圆心，A错误；物体做曲线运动的条件是合力的方向与速度方向不在同一条直线上，但合力方向不一定变化，如平抛运动，B错误；匀速圆周运动速度大小不变，方向沿圆周的切线方向，时刻在变化，所以速度是变化的，是变速运动，C错误；向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小，D正确。]
2．如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为( )
A．200 N B．400 N
C．600 ND．800 N
B [本题考查圆周运动中的受力问题。该同学在荡秋千过程中的最低点，同学和踏板整体受到的重力和两根绳的拉力的合力提供同学和踏板做圆周运动的向心力，设每根绳子上平均承受的拉力大小为F，由牛顿第二定律得2F－mg＝mv2R，解得F＝12mg+mv2R＝12×50 kg×10 m/s2+50 kg×8 m/s210 m＝410 N，B正确，A、C、D错误。]
3．如图所示为改装的探究圆周运动向心力的实验装置。有机玻璃支架上固定一个直流电动机，电动机转轴上固定一个半径为r的塑料圆盘，圆盘中心正下方用细线接一个重锤，圆盘边缘连接细绳，细绳另一端连接一个小球。实验操作如下：
①利用天平测量小球的质量m，记录当地的重力加速度g的大小；
②闭合电源开关，让小球做如图所示的匀速圆周运动，调节激光笔2的高度和激光笔1的位置，让激光恰好照射到小球的中心，用刻度尺测量小球球心到塑料圆盘的竖直高度h和小球做匀速圆周运动的半径R；
③当小球第1次到达A点时开始计时，并记录为1次，记录小球n次到达A点的时间t；
④切断电源，整理器材。
请回答下列问题：
(1)下列说法正确的是_________。
A．小球运动的周期为tn
B．小球运动的线速度大小为2πn-1Rt
C．小球运动的向心力大小为mgRh
D．若电动机转速增加，激光笔1、2应分别左移、升高
(2)若已测出R＝40.00 cm、r＝4.00 cm、h＝90.00 cm、t＝100.00 s、n＝51，π取3.14，则小球做匀速圆周运动的周期T＝_________s，记录的当地重力加速度大小应为g＝_________m/s2(计算结果均保留三位有效数字)。
[解析] (1)小球从第1次通过A位置到第n次通过A位置，转动的圈数为n－1，所用时间为t，故周期T＝tn-1，A错误；小球的线速度大小v＝2πRT＝2πn-1Rt，B正确；小球受重力和拉力，二力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，设细绳与竖直方向的夹角为α，则有Fn＝mg tan α＝mgR-rh，C错误；若电动机的转速增加，小球做匀速圆周运动所需的向心力增大，则细绳与竖直方向的夹角增大，故转动半径增大，小球球心到塑料圆盘的竖直高度减小，激光笔1、2应分别左移、升高，D正确。
(2)小球做圆周运动的周期T＝tn-1＝100.0051-1 s＝2.00 s；向心力Fn＝mgR-rh＝m4π2T2R，解得g＝4π2RhR-rT2≈9.86 m/s2。
[答案] (1)BD (2)2.00 9.86
4．(新情境题，以体育运动为背景考查圆周运动规律)如图所示，双人花样滑冰运动中男运动员拉着女运动员做圆锥摆运动，观众有时会看到女运动员被男运动员拉着离开冰面在空中做水平方向的匀速圆周运动。若女运动员做圆锥摆运动时和竖直方向的夹角约为θ，女运动的质量为m，转动过程中女运动员的重心做匀速圆周运动的半径为r，求：
(1)男运动员对女运动员的拉力大小。
(2)男运动员转动的角速度。
[解析] 设男运动员对女运动员的拉力大小为F，女运动员受力分析如图所示，则Fcs θ＝mg
Fsin θ＝mω2r
解得F＝mgcsθ
ω＝gtanθr。
[答案] (1)mgcsθ (2)gtanθr
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．向心力的特点是什么？
提示：向心力的方向始终指向圆心，向心力的作用效果用来改变速度的方向。
2．向心力一定是合外力吗？
提示：不一定，匀速圆周运动的向心力是合外力。
3．向心力的大小和哪些因素有关？
提示：与物体的质量、线速度、运动半径有关。
课时分层作业(五) 向心力
题组一 对匀速圆周运动向心力的理解
1．(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列判断正确的是( )
A．合力的大小不变，方向一定指向圆心
B．合力的大小不变，方向也不变
C．合力产生的效果既改变速度的方向，又改变速度的大小
D．合力产生的效果只改变速度的方向，不改变速度的大小
[答案] AD
2．如图所示，在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心。能正确表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的图是( )
A B C D
[答案] C
3．(2023·全国甲卷)一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [质点做匀速圆周运动，根据题意设周期T＝kr，合力等于向心力，根据F合＝Fn＝m4π2T2r，联立可得Fn＝4mπ2k2r 3，其中4mπ2k2为常数，r的指数为3，故题中n＝3，故选C。]
4．(多选)如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，提供运动中小球所需向心力的是 ( )
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
CD [如图所示，对小球进行受力分析，它受到重力和绳的拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力。因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力。故选项C、D正确。]
题组二 实验：探究影响向心力大小的因素
5．如图所示是一种简易的圆周运动向心力演示仪，图中A、B为两个穿在水平滑杆上并通过棉线与转轴相连的重锤。试结合下列演示现象，分析影响向心力的因素。
(1)使线长LA＝LB，质量mA＞mB，加速转动横杆；
现象：连接A的棉线先断；
表明：在半径和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随_________的增大而增大；
(2)使质量mA＝mB，线长LA＞LB，加速转动横杆；
现象：连接A的棉线先断；
表明：在重锤质量和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随_________的增大而增大；
(3)对任一次断线过程进行考察；
现象：并不是横杆一开始转动就断线，而是加速了一段时间之后线才断的；
表明：在重锤质量和半径一定的条件下，圆周运动所需向心力随_________的增大而增大。
[解析] (1)两重锤的质量mA＞mB，连接A的棉线先断，即质量越大，棉线的拉力越大，则说明在半径和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随重锤质量的增大而增大。
(2)两重锤质量mA＝mB，线长LA＞LB，而连接A的棉线先断，即棉线越长，所受的拉力越大；表明在重锤质量和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随转动半径的增大而增大。
(3)并不是横杆一开始转动就断线，而是加速了一段时间之后随着转动角速度的增大线才断的，表明在重锤质量和半径一定的条件下，圆周运动所需向心力随转动角速度的增大而增大。
[答案] (1)重锤质量 (2)转动半径 (3)转动角速度
6．如图所示是探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验装置图，转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动。皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球6、7分别以不同的角速度做匀速圆周运动。小球做圆周运动的向心力由横臂8的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂8的杠杆作用使弹簧测力套筒9下降，从而露出标尺10，标尺10上露出的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值。那么：
(1)现将两小球分别放在两边的槽内，为了探究小球受到的向心力大小和角速度的关系，下列说法中正确的是_________。
A．在小球运动半径相等的情况下，用质量相同的小球做实验
B．在小球运动半径相等的情况下，用质量不同的小球做实验
C．在小球运动半径不相等的情况下，用质量不同的小球做实验
D．在小球运动半径不相等的情况下，用质量相同的小球做实验
(2)在该实验中应用了_________(选填“理想实验法”“控制变量法”或“等效替代法”)来探究向心力的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。
(3)当用两个质量相等的小球做实验，且左边小球的轨道半径为右边小球的轨道半径的2倍时，转动时发现右边标尺上露出的红白相间的等分格数为左边的2倍，那么，左边塔轮与右边塔轮之间的角速度之比为_________。
[解析] (1)根据F＝mrω2知，要研究小球受到的向心力大小与角速度的关系，需控制小球的质量和半径不变，所以A正确，B、C、D错误。
(2)由前面分析可以知道该实验采用的是控制变量法。
(3)根据已知条件得，右边小球受到的向心力是左边小球的2倍，故可以知道左边塔轮与右边塔轮之间的角速度之比为1∶2。
[答案] (1)A (2)控制变量法 (3)1∶2
题组三 向心力的计算
7．(多选)在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，以角速度ω做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )
A．l、ω不变，m越大线越易被拉断
B．m、ω不变，l越小线越易被拉断
C．m、l不变，ω越大线越易被拉断
D．m不变，l减半且角速度加倍时，线的拉力不变
AC [在光滑水平面上的物体的向心力由绳的拉力提供，由向心力公式F＝mω2l，得选项A、C正确。]
8．如图所示，把一个长为20 cm、劲度系数为360 N/m的弹簧一端固定，并作为圆心，弹簧的另一端连接一个质量为0.50 kg的小球，当小球以360π r/min 的转速在光滑水平面上做匀速圆周运动时，弹簧的伸长应为( )
A．5.2 cm B．5.3 cm
C．5.0 cmD．5.4 cm
C [小球转动的角速度ω＝2πn＝2π×360π×160 rad/s＝12 rad/s，由向心力公式得kx＝mω2·(x0＋x)，解得x＝mω2x0k-mω2＝0.50×122×0.2360-0.50×122 m＝0.05 m＝5.0 cm。故C正确。]
9．长为L的细线，一端拴一质量为m的小球，另一端固定于O点，让小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，如图所示，当细线与竖直方向的夹角为α时，求：
(1)细线的拉力F的大小；
(2)小球运动的线速度大小；
(3)小球运动的角速度及周期。
[解析] 对做匀速圆周运动的小球进行受力分析，如图所示，小球受到重力mg和细线的拉力F的作用。
(1)因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力沿水平方向且指向圆心O′。由平行四边形定则得，小球受到的合力大小F合＝mg tan α，细线的拉力大小F＝mgcsα。
(2)由牛顿第二定律得mg tan α＝mv2r
由几何关系得r＝Lsin α
解得小球运动的线速度大小
v＝gLtanαsinα。
(3)小球运动的角速度ω＝vr＝gLtanαsinαLsinα＝gLcsα
小球运动的周期T＝2πω＝2πLcsαg。
[答案] (1)mgcsα (2)gLtanαsinα (3)gLcsα 2πLcsαg
1．质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上，杆端套有一个质量为m的小球，今使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω，如图所示，则杆的上端受到小球的作用力大小为( )
A．mω2R
B．m2g2-m2ω4R2
C．m2g2+m2ω4R2
D．不能确定
C [小球在重力和杆的作用力下做匀速圆周运动。这两个力的合力充当向心力必指向圆心，如图所示。用力的合成法可得杆的作用力：
F＝mg2+F向2＝m2g2+m2ω4R2，根据牛顿第三定律，小球对杆的上端的反作用力F′＝F，C正确。]
2．如图所示，质量为M的滑块能在水平光滑滑杆上自由滑动，滑杆装在转盘上。滑块用轻质细绳跨过在圆心处的光滑滑轮与另一质量为m的物体相连。当转盘以角速度ω转动时，滑块到轴的距离为r，且恰能保持稳定转动。若转盘的转速增大至原来的2倍，调整r使之达到新的稳定转动状态，则滑块( )
A．所受向心力变为原来的4倍
B．线速度变为原来的12
C．半径r变为原来的12
D．角速度变为原来的12
B [若转盘的转速增大，再次稳定时，滑块做匀速圆周运动的向心力仍由拉力提供，拉力仍然等于物体的重力，所以向心力不变，A错；转盘的转速增大至原来的2倍，则角速度变为原来的2倍，根据Fn＝Mrω2，向心力不变，则r变为原来的14。根据v＝rω，线速度变为原来的12，B对，C、D错。]
3．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度ω匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度大小为g。若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0。
[解析] 对小物块受力分析如图所示，
由牛顿第二定律知mg tan θ＝mω0 2·Rsin θ，得ω0＝gRcsθ＝2gR。
[答案] 2gR
4．如图所示，在光滑的圆锥顶用长为l的细线悬挂一质量为m的物体，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，细线与轴线之间的夹角为θ＝30°，物体以速度v绕圆锥体轴线做水平匀速圆周运动。
(1)当v1＝gl6时，求细线对物体的拉力；
(2)当v2＝3gl2时，求细线对物体的拉力。
[解析] 当物体恰好离开锥面时，此时物体与锥面接触但是没有弹力作用，如图所示：
则：竖直方向Tcs θ－mg＝0，
水平方向Tsin θ＝mv2R
R＝lsin θ，解得v＝3gl6。
(1)当v1
T1sin θ－N1cs θ＝mv12R
竖直方向T1cs θ＋N1sin θ－mg＝0
R＝lsin θ，解得T1＝33+16mg。
(2)v2>v时，物体离开锥面，设线与竖直方向上的夹角为α，如图所示：
则竖直方向：T2cs α－mg＝0
水平方向：T2sin α＝mv22R2
而且：R2＝lsin α，解得：T2＝2mg。
[答案] (1)1+33mg6 (2)2mg
学习任务
1．了解向心力的概念，知道向心力是根据力的作用效果命名的。
2．通过实验探究影响向心力大小的因素，掌握拓展实验的探究方法，提高动手实验的能力。
3．掌握向心力公式，并能分析向心力的来源，解决相关问题。
4．从实际问题中体会向心力的应用，指导生活生产实际，培养学以致用的科学精神。
向心力来源
实例分析
重力提供向心力
如图所示，用细绳拴住小球，使小球在竖直面内转动，当它经过最高点时，若细绳的拉力恰好为零，则此时向心力由小球所受的重力提供
弹力提供
向心力
如图所示，绳子的一端系在光滑水平桌面上的O点，另一端系一小球，使小球在桌面上做匀速圆周运动，则小球做匀速圆周运动的向心力由绳子的拉力(弹力)提供
摩擦力提
供向心力
如图所示，木块随圆盘一起做匀速圆周运动，其所需的向心力由静摩擦力提供。木块相对圆盘的运动趋势的方向沿半径背离圆心，静摩擦力的方向与相对运动趋势的方向相反。但是，当圆盘光滑(无摩擦力)时，木块将沿切线方向飞出，说明木块相对于地面的运动趋势的方向沿切线方向，而相对于圆盘的运动趋势的方向沿半径向外
合力提供
向心力
如图所示，细线拉住小球在竖直面内做匀速圆周运动，当小球经过最低点时，向心力由细线的拉力和小球重力的合力提供
分力提供
向心力
如图所示，小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动时，向心力由细线的拉力在水平方向的分力提供
实验序号
1
2
3
4
5
质量m/kg
向心力F/N
实验序号
1
2
3
4
5
半径r/m
向心力F/N
实验序号
1
2
3
4
5
角速度ω/rad
角速度的二次方ω2/rad2
向心力F/N
比较项
匀速圆周运动
变速圆周运动
线速度特点
线速度的方向不断改变、大小不变
线速度的大小、方向都不断改变
受力特点
合力方向一定指向圆心，充当向心力
合力可分解为与圆周相切的分力和指向圆心的分力，指向圆心的分力充当向心力
周期性
有
不一定有
性质
均是非匀变速曲线运动
公式
Fn＝mv2r＝mω2r都适用
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