2022年广西桂林中考数学复习训练：第25讲 相似形(含答案)

第二十五讲　相　似　形

1．如图，将图形用放大镜放大，应该属于(B)

A．平移变换    B．相似变换

C．旋转变换    D．对称变换

2．(2021·重庆中考)如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B(0，1)，D(0，3)，则△OAB与△OCD的相似比是(D)

A．2∶1    B．1∶2    C．3∶1    D．1∶3

3．如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE∶AD＝1∶3，连接EF交DC于点G，则S△DEG∶S△CFG＝(D)

A．2∶3    B．3∶2    C．9∶4    D．4∶9

4．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为(B)

A．15    B．20    C．25    D．30

5．(2021·嘉兴中考)如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是__(4，2)__．

6．(2021·包头中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N.若AC＝2，则MN的长为____．

7．如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，先以原点O为位似中心在第三象限内画一个△A1B1C1.使它与△ABC位似，且位似比为2∶1，然后再把△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2.

(1)画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；

(2)画出△A2B2C2，直接写出在旋转过程中，点A到点A2所经过的路径长．

【解析】(1)如图所示：点A1的坐标为(－2，－4).

(2)如图所示：

由勾股定理得OA＝＝，

点A到点A2所经过的路径长为＝.

8.如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于点M.连接CM交DB于点N.

(1)求证：BD2＝AD·CD.

(2)若CD＝6，AD＝8，求MN的长．

【解析】(1)∵DB平分∠ADC，

∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，

∴△ABD∽△BCD，

∴＝，∴BD2＝AD·CD.

(2)∵BM∥CD，∴∠MBD＝∠BDC，

∴∠ADB＝∠MBD，

∴BM＝MD，∵∠ABD＝90°，

∴∠MAB＝∠MBA，∴BM＝MD＝AM＝4，

∵BD2＝AD·CD，且CD＝6，AD＝8，

∴BD2＝48，∴BC2＝BD2－CD2＝12 ,

∴MC2＝MB2＋BC2＝28，∴MC＝2，

∵BM∥CD，∴△MNB∽△CND，

∴＝＝，且MC＝2，∴MN＝.

9．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AM交DE于点N，则(C)

A．＝    B．＝

C．＝    D．＝

10．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，则以下说法中错误的是(C)

A．△ABC∽△A′B′C′

B．点C、点O、点C′三点在同一直线上

C．AO∶AA′＝1∶2

D．AB∥A′B′

11．(2021·连云港中考)如图，△ABC中，BD⊥AB，BD，AC相交于点D，AD＝AC，AB＝2，∠ABC＝150°，则△DBC的面积是(A)

A.    B．    C．    D．

12．(2021·丽水中考)如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分∠EFB，则AD的长为(D)

A．    B．    C．    D．

13．(2021·宿迁中考)如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D，E分别在BC，AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是____．

14．(2021·遂宁中考)如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连接AF，有以下五个结论：①∠ABF＝∠DBE；②△ABF∽△DBE；③AF⊥BD；④2BG2＝BH·BD；⑤若CE∶DE＝1∶3，则BH∶DH＝17∶16.你认为其中正确是__①②③④__．(填写序号)

【核心素养题】

【问题情境】

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2＝AD·AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；

【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，连接OF.

(1)试利用射影定理证明△BOF∽△BED.

(2)若DE＝2CE，求OF的长．

【解析】【问题情境】

∵CD⊥AB，

∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，

而∠CAD＝∠BAC，

∴Rt△ACD∽Rt△ABC，

∴AC∶AB＝AD∶AC，

∴AC2＝AD·AB；

【结论运用】

(1)∵四边形ABCD为正方形，

∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，

∴BC2＝BO·BD，

∵CF⊥BE，∴BC2＝BF·BE，

∴BO·BD＝BF·BE，即＝，

而∠OBF＝∠EBD，

∴△BOF∽△BED.

(2)∵BC＝CD＝6，

而DE＝2CE，

∴DE＝4，CE＝2，

在Rt△BCE中，BE＝＝2，

在Rt△OBC中，OB＝BC＝3，

∵△BOF∽△BED，

∴＝，即＝，∴OF＝.

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