2021-2022学年湖南省长沙市长沙县七年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年湖南省长沙市长沙县七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 如图，直线，，相交于点，如果，，那么直线与的所夹锐角为(    )

A.
B.
C.
D.

2. 如图所示，下列说法中错误的是(    )

A. 与是内错角
B. 与是内错角
C. 与是同旁内角
D. 与是同位角

3. 下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 由得到的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若，则，的值分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8. 某校班级篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜场得分，负场得分．某班预计在全部场比赛中至少要得到分，才有希望进入总决赛．假设这个班在将要举行的联赛中胜场，如果某班要进入总决赛，那么应满足的不等式是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 下列调查方式合适的是(    )

A. 要了解游客对我县五一假期民宿的满意程度，采用全面调查的方式
B. 审核书稿中的错别字，采用抽样调查的方式
C. 疫情防控期间，要了解全体师生入校时的体温情况，采用全面调查的方式
D. 要了解一批新能源车的电池使用寿命，采用全面调查的方式

10. 我国古代数学古典名著孙子算经中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量，木条还剩余尺；问长木多少尺？如果设木条长为尺，绳子长为尺，则下面所列方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 的相反数是______．
12. 已知是方程的解，那么______．
13. 已知一组数据为，则无理数出现的频数是______．
14. 若关于的不等式组无解，则的取值范围______．
15. 将两张长方形纸片如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片的一条边上，则______．

16. 以水平数轴的原点为圆心，过正半轴上的每一刻度点画同心圆，将逆时针依次旋转、、、、得到条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点、的坐标分别表示为、，则点的坐标表示为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 计算：．
18. 解下列不等式组，并将解集在数轴上表示出来．

19. 我们通常在施工项目附近的地面上，看到如图中的向导标识，它是道路施工安全标志，表示车辆及行人向左或向右行驶，为其作出正确的向导．如果你是安全标志的设计人员，请利用下面的方格图，解决下列问题：
    
    画出安全标志图形向右平移格后的图形，并标注、的对应点、；
    完成后，图中与的位置关系是______，数量关系是______．
20. 请按所要求的方法解下列二元一次方程组：
    代入法；
    加减法．
21. 本学期以来，某初中加强了中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质等“五项管理”的工作．数学兴趣社团成员采用随机抽样的方法，抽取了七年级若干名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间单位：进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表和扇形统计图；

请根据图表信息回答下列问题：
本次被抽取的七年级学生共有______名；
在统计图表中，______；
在扇形统计图中，组所在扇形的圆心角的度数是______；
从图表中可以发现：本次被抽取的七年级学生中睡眠不足小时的占______

22. 完成推理，并在括号内注明依据：
    已知：如图，，，平分．
    求证：．
    证明：，已知
    ，______
    ______
    __________________
    ______，______
    又平分已知
    ____________
    等量代换．

23. 第届冬季奥林匹克运动会于年月日至年月日在我国北京市和张家口市联合举行，这是我国历史上第一次举办冬季奥运会，随着北京冬奥会的成功举行，陶制的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”成为了热门商品，某商场出售小套装和大套装两种，已知购买个大套装比购买个小套装多需元；购买个小套装和个大套装，共需元．
    试列二元一次方程组来求解这两种套装的单价；
    某校计划用不多于元的资金购买这这两种吉祥物套装共个作为奖品，则该校最多可以购买大套装多少个？

24. 已知点试分别根据下列条件，解决下列问题：
    点在过点且与轴平行的直线上，求点的坐标；
    点在第三象限内，试问满足什么条件；
    当时，点与、两点组成三角形，试求的面积．
25. 定义：对于任意实数，，如果满足，那么称，互为“朋友数”，点为“朋友点”．
    判断下列命题的真假，真命题在括号内打“”，假命题在括号内打“”；
    与是互为“朋友数”的；______
    若点为“朋友点”，则点也一定为“朋友点”；______
    若点与互为相反数，则一定不是“朋友点”；______
    存在与互为“朋友数”的实数．______
    填空：若为“朋友点”，则______．
    已知是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是关于，的二元一次方程组的解，请判断点是否为“朋友点”？若是，请求出的值；若不是，请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
直线与的夹角大小为．
故选：．
根据邻补角以及垂直的定义即可得出答案．
此题主要考查了垂线以及邻补角，正确把握相关定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：与是内错角，不符合题意；
B.与不是内错角，符合题意；
C.与是同旁内角，不符合题意；
D.与是同位角，不符合题意；
故选：．
根据同位角、内错角和同旁内角的定义解答即可．
本题主要考查了同位角、内错角和同旁内角，三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，正确，故此选项符合题意，
故选：．
根据算术平方根，平方根和立方根的概念进行化简计算，从而作出判断．
本题考查算术平方根，平方根，立方根的概念，理解相关定义是解题基础．
 

4.【答案】 

【解析】解：由图可知，利用图形的翻折变换得到，利用图形的平移得到．
故选：．
根据图形平移与翻折变换的性质解答即可．
本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据不等式的性质，由得到的条件是，
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

6.【答案】 

【解析】解：点到轴的距离是：．
故选：．
直接利用点的坐标特点，纵坐标绝对值就是到轴距离，即可得出答案．
此题主要考查了点的坐标，正确掌握点的坐标特点是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，，
，得，
解得，
将代入，得，
解得，
，，
故选：．
根据非负数的性质解答即可．
本题考查了解二元一次方程组，涉及绝对值和算术平方根的非负性，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：这个队在将要举行的比赛中胜场，则要输场，
由题意得：．
故选：．
这个队在将要举行的比赛中胜场，则要输场，胜场得分分，输场得分分，根据胜场得分输场得分可得不等式．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是表示出胜场得分和输场得分．
 

9.【答案】 

【解析】解：要了解游客对我县五一假期民宿的满意程度，适宜抽样调查，故A选项不合题意；
B.审核书稿中的错别字，适宜全面调查，故B选项不合题意；
C.疫情防控期间，要了解全体师生入校时的体温情况，适合全面调查，故C选项符合题意；
D.要了解一批新能源车的电池使用寿命，适合抽样调查，故D选项不合题意．
故选：．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

10.【答案】 

【解析】解：设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为：
．
故选：．
直接利用“绳长木条；绳子木条”分别得出等式求出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故答案为：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
 

12.【答案】 

【解析】解：把代入方程中，得
，
则．
知道了方程的解，可以把这组解代入方程，得到一个含有未知数的一元一次方程，从而可以求出的值．
解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数为未知数的方程．
 

13.【答案】 

【解析】解：已知一组数据为，
其中，，是无理数，
则无理数出现的频数是，
故答案为：．
根据无理数的定义先判断，，是无理数，再根据频数的定义，即可解答．
本题考查了算术平方根，无理数，频数与频率，熟练掌握无理数的定义，以及频数的定义是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：不等式组无解，
，
故答案为．
根据“大大小小无解了”可得关于的不等式，解之可得
本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的能力和确定不等式组解集的口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，矩形的对边平行，每一个角都是直角的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．过点作，根据矩形的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求出，从而得证．
【解答】
证明：如图，过点作，
四边形是矩形纸片，
，
，
，，
，
即．
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】解：如图所示：点的坐标表示为．
故答案为：．
直接利用横纵坐标的意义进而表示出点的坐标．
此题主要考查了坐标确定位置，正确理解横纵坐标的意义是解题关键．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
 

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：图形如图所示：

，，
故答案为：，．
利用平移变换的性质求出平移后的图形即可；
利用平移变换的性质判断即可．
本题考查作图利用平移设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

20.【答案】解：，
由得：
，
把代入得：
，
解得：，
把代入得：
，
原方程组的解为：；
，
得：
，
得：
，
得：
，
解得：，
把代入得：
，
解得：，
原方程组的解为：． 

【解析】利用代入消元法，进行计算即可解答；
利用代入消元法，进行计算即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法，加减消元法是解题的关键．
 

21.【答案】       

【解析】解：本次调查的同学共有：人，
故答案为：；
，
故答案为：；
扇形统计图中组所在扇形的圆心角的大小是：，
故答案为：；
本次被抽取的七年级学生中睡眠不足小时的占比例为，
故答案为：．
根据组人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；
根据频数分布表中的数据，即可计算出的值；
根据组的频率可计算出扇形统计图中组所在扇形的圆心角的大小；
用不足小时的人数除以总人数即可．
本题考查扇形统计图、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】垂直的定义  等量代换      同位角相等，两直线平行  两直线平行，同位角相等  两直线平行，内错角相等    角平分线的定义 

【解析】证明：，已知，
，垂直的定义，
等量代换，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，
又已知，
等量代换，
平分角平分线的定义．
故答案为：垂直的定义；等量代换；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；；角平分线的定义．
由垂直可得，从而可判定，从而有，，则有，即可求解．
本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
 

23.【答案】解：设小套装的单价为元，大套装的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：小套装的单价为元，大套装的单价为元．
设该校购买大套装个，则购买小套装个，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
的最大值为．
答：该校最多可以购买大套装个． 

【解析】设小套装的单价为元，大套装的单价为元，根据“购买个大套装比购买个小套装多需元；购买个小套装和个大套装，共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出这两种套装的单价；
设该校购买大套装个，则购买小套装个，利用总价单价数量，结合总价不多于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购买大套装的数量．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

24.【答案】解：点在过点且与轴平行的直线上，
，
解得，
点的坐标为；
根据题意得，
解得，
点在第三象限内，满足的条件为；
时，点坐标为，如图，
的面积． 

【解析】利用与轴平行的直线上点的坐标特征得到，解方程求出得到点坐标；
利用第三象限点的坐标特征得到，然后解不等式组即可；
用一个矩形的面积分别减去三直角三角形的面积去计算的面积．
本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．也考查了坐标与图形性质．
 

25.【答案】        

【解析】解：，，
与是互为“朋友数”的，是真命题，
故答案为：；
若点为“朋友点”，则，
，
点也一定为“朋友点”；是真命题，
故答案为：；
若，则，
此时是“朋友点”，是假命题，
故答案为：；
设与互为“朋友数”，则，
方程无解，
不存在与互为“朋友数”的实数，是假命题，
故答案为：；
若为“朋友点”，则，
解得，
故答案为：；
当时，是“朋友点“，理由如下：
由得：，
，
若是“朋友点”，则，
解得，
当时，是“朋友点“．
由，，可得是真命题；
若点为“朋友点”，则，有，可知是真命题；
若，则，故是假命题；
设与互为“朋友数”，则，方程无解，可知是假命题；
若为“朋友点”，则，解得；
由得：，若是“朋友点”，则，可解得，即可得答案．
本题考查命题与定理，解题的关键是读懂题意，理解“朋友数”和“朋友点”的定义．