2023-2024学年湖南省长沙市长沙县七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2023-2024学年湖南省长沙市长沙县七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.实数16的算术平方根是( )
A. 8B. ±8C. 4D. ±4
2.下列各数中，无理数是( )
A. 0B. 227C. 0.25D. π
3.若a>b，则下列结论正确的是( )
A. a−20
4.在下面的调查中，最适合用全面调查的是( )
A. 了解一批节能灯管的使用寿命B. 了解某校七年级1班学生的视力情况
C. 了解全国初中生每周上网时长情况D. 了解水渡河菜市场中鱼的种类
5.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOD=70∘，则∠EOD的度数为( )
A. 55∘
B. 60∘
C. 65∘
D. 70∘
6.已知点A(a−2,2a+6)在第三象限，则字母a的取值范围是( )
A. a<−3B. −3−3
7.世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》.书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”.现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的.如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是( )
A. 内错角相等，两直线平行B. 同旁内角互补，两直线平行
C. 对顶角相等D. 两点确定一条直线
8.关于x，y的方程组2x−y=2k−3x−2y=k的解满足x−y<5，则k的取值范围是( )
A. k≥6B. k>6C. k≤6D. k<6
9.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程(组)为( )
A. x3+2=x2−9B. 3(y+2)=2y+9
C. x3=y+2x2+9=yD. x3=y−2x−92=y
10.若关于x的不等式组4(x−1)>3x−15x>3x+2a的解集为x>3，则a的取值范围是( )
A. a>3B. a<3C. a≥3D. a≤3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在平面直角坐标系中，若点A(x−2,x+6)在x轴上，则点A的坐标是______.
12.若n< 713.如图，小明乘坐地铁2号线回家，小明家位于点P处，附近有A、B、C、D四个地铁出口，每个地铁出口都能沿着直线回家，小明从B地铁出口下车回家的路径最短，其数学道理是______.
14.某校在对七年级(1)班学生进行调查问卷，学生上学的方式是：A乘私家车；B乘电动车；C骑自行车；D步行.根据问卷数据绘制如下不完整统计图，扇形统计图中表示B的扇形圆心角的度数为______.
15.如图，下列结论正确的序号是______.
①∠C与∠ADC是同位角；
②∠BDC与∠DBC是内错角；
③∠A与∠ABD是由直线AD，BD被直线AB所截得到的同旁内角.
16.若关于x，y的二元一次方程组3x−my=52x+ny=6的解是x=1y=2，则关于a，b的二元一次方程组3(a−b)−m(a+b)=52(a−b)+n(a+b)=6的解是______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：3−8+ (−3)2+ 2( 2+1)+| 2−2|.
18.(本小题6分)
解不等式组7x−13<3(x+1)1−3x2≤2，并将解集在数轴上表示出来.
19.(本小题6分)
某校为了解课后服务足球兴趣班训练效果，对参训队员进行一次体质检测.已知本次检测满分为100分，测试成绩取整数，测试结束后将测试成绩制成尚不完整的频数分布表和频数分布直方图.从测试结果来看，每名队员的成绩均超过50分.
请根据题中提供的信息，解答下列问题：
(1)a=______，b=______，c=______.
(2)补全频数分布直方图.
(3)若成绩在70分以上为训练效果显著，同时训练效果显著的人数占总人数的70%以上，就表示该兴趣班训练方案科学，请根据上述数据分析该兴趣班训练方案是否科学，并说明理由.
20.(本小题8分)
解方程组：
(1)2x+3y=9x=2y+1；
(2)3x+2y=43x2−y+13=1.
21.(本小题8分)
如图，已知AB//CD，射线AH交BC于点F，交CD于点D，从D点引一条射线DE，若∠1=∠2，求证：∠B+∠CDE=180∘
证明：∵∠1=∠2(已知)，
且∠1=______(______)，
∴∠BFD=______(______)，
∴BC//______(______)，
∴∠C+______=180∘(______)，
又∵AB//CD(已知)，
∴∠B=______(______)，
∴∠B+∠CDE=180∘.
22.(本小题9分)
如图，△ABC的顶点A(−1,4)，B(−4,−1)，C(1,1).若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A′B′C′，且点C的对应点坐标是C′.
(1)画出△A′B′C′，并直接写出点C′的坐标；
(2)若△ABC内有一点P(a,b)经过以上平移后的对应点为P′，直接写出点P′的坐标；
(3)求△ABC的面积．
23.(本小题9分)
某商场同时采购了A，B两种品牌的运动装，第一次采购A品牌运动装10件，B品牌运动装30件，采购费用为8600元；第二次只采购了B品牌运动装50件，采购费用为11000元.
(1)求A，B两种品牌运动装的采购单价分别为多少元每件？
(2)商家通过一段时间的营销后发现，B品牌运动装的销售明显比A品牌好，商家决定采购一批运动装，要求：①采购B品牌运动装的数量是A品牌运动装的2倍多10件，且A品牌的采购数量不低于18件；②采购两种品牌运动装的总费用不超过15000元，请问该商家有哪几种采购方案？
24.(本小题10分)
我们约定：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“包含方程”.例如：方程2x−4=2的解为x=3，而不等式组x+1>2x−2<3的解集为12x−2<3的“包含方程”.请根据约定，解答下列问题.
(1)在一元一次方程①6x−7=4x+5；②2x+5=3(x+1)；③3−x5=3x−915中，不等式组5x+2>3(x−1)12x+1≤7−32x的“包含方程”是______(填序号)；
(2)若关于x的方程x−12−k=0是不等式组5x−3(x−2)>1x+16≥2x−54+1的“包含方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程x−56=m3−1是关于x的不等式组2(x+1)>m−1x−12≥2x+13−2的“包含方程”，且此时该不等式组恰好有7个整数解，试求m的取值范围.
25.(本小题10分)
如图1，在平面直角坐标系中，点A(a,0)在x轴正半轴上，点B(b,c)是第四象限内一点，BC⊥y轴于点C，且 a−2+|c+3|+(b−4)2=0.
(1)求点A，B，C三点的坐标；
(2)如图2，D点是线段OC上一动点，DE//AB交BC于点E，∠BED的角平分线与∠ABC的角平分线交于第四象限的一点F，求∠BFE的度数；
(3)如图3，将点C向左平移4个单位得到点H，连接AH，AH与y轴交于点D.y轴上是否存在点M，使三角形ACM的面积是三角形ACH面积的3倍？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵42=16，
∴16的算术平方根为4，
故选：C.
根据算术平方根的定义进行判断即可．
本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是解决问题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：0是整数，227是分数， 0.25=0.5是有限小数，它们不是无理数；
π是无限不循环小数，它是无理数；
故选：D.
无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵a>b，
∴a−2>b−2，
∴选项A不符合题意；
∵a>b，
∴−2a<−2b，
∴选项B符合题意；
∵a>b，
∴12a>12b，
∴选项C不符合题意；
∵a>b，
∴b−a<0，
∴选项D不符合题意．
故选：B.
根据a>b，应用不等式的性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的性质：(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
4.【答案】B
【解析】解：A、了解一批节能灯管的使用寿命，最适合用抽样调查，故A不符合题意；
B、了解某校七年级1班学生的视力情况，最适全面调查，故B符合题意；
C、了解全国初中生每周上网时长情况，最适合用抽样调查，故C不符合题意；
D、了解水渡河菜市场中鱼的种类，最适合用抽样调查，故D不符合题意；
故选：B.
根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∠AOD=180∘−∠BOD=110∘，
∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD=12∠AOD=55∘，
故选：A.
先由平角的定义即可得到∠AOD=180∘−∠BOD=110∘，再由角平分线的定义得到∠AOE=∠EOD可得答案．
本题主要考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，关键是角平分线定义的熟练应用．
6.【答案】A
【解析】解：∵点A(a−2,2a+6)在第三象限，
∴a−2<02a+6<0，
∴a<−3，
故选：A.
根据直角坐标系的性质，通过列一元一次不等式组并求解，即可得到答案．
本题考查了直角坐标系、一元一次不等式组的知识；掌握象限内点的特点是关键．
7.【答案】A
【解析】解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行，
故选：A.
本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．
本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：{2x−y=2k−3①x−2y=k②，
由①+②可得：3(x−y)=3k−3，
即x−y=k−1，
∵x−y<5，
∴k−1<5，
解得：k<6，
故选：D.
把两方程相加求出x−y=k−1，代入不等式x−y>5，转化为关于k的一元一次不等式，可求得k的取值范围．
本题主要考查二元一次方程组的解法，解题的关键是求出方程组的解代入不等式可化为关于k的一元一次不等式求解．
9.【答案】D
【解析】解：依题意得：x3=y−2x−92=y.
故选：D.
根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决问题的关键是理解题意找出题中的等量关系．
10.【答案】D
【解析】解：{4(x−1)>3x−1①5x>3x+2a②，
解不等式①得：x>3，
解不等式②得：x>a，
∵不等式组的解集是x>3，
∴a≤3.
故选：D.
用含a的式子表示出不等式的解，结合条件进行求解即可．
本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则．
11.【答案】(−8,0)
【解析】解：∵点A(x−2,x+6)在x轴上，
∴x+6=0，
解得x=−6，
∴x−2=−6−2=−8，
∴点A的坐标是(−8,0).
根据x轴上点的纵坐标为0得出x的值，进而可得出结论．
本题考查的是点的坐标，熟知x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．
12.【答案】2
【解析】解：∵ 4< 7< 9，即2< 7<3，而n< 7∴整数n=2.
故答案为：2.
根据算术平方根的定义估算无理数 7的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．
13.【答案】垂线段最短
【解析】解：小明从B地铁出口下车回家的路径最短，其数学道理是“垂线段最短”的性质．
故答案为：垂线段最短．
根据垂线段最短的性质即可求解．
本题考查了线段的性质，掌握两点之间线段最短是关键．
14.【答案】72∘
【解析】解：16÷40%=40(人)，
840×360∘=72∘.
故答案为：72∘.
首先用A组人数除以A组所占的比重，求出被调查的总人数；再根据B部分扇形圆心角的度数=B部分占总体的百分比×360∘，即可求出扇形统计图中表示B的扇形圆心角的度数．
本题考查了条形统计图和扇形统计图，理解扇形统计图、条形统计图的意义和掌握部分扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360∘是解题的关键．
15.【答案】③
【解析】解：①∠C与∠ADC是直线AD，直线BC被直线CD所截得的同旁内角，因此①不正确；
②∠BDC与∠DBC是直线CD，直线BC被直线BD所截得的同旁内角，因此②不正确；
③∠A与∠ABD是由直线AD，BD被直线AB所截得到的同旁内角，因此③正确，
综上所述，正确的有：③．
故答案为：③．
根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行判断即可．
本题考查同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是正确判断的关键．
16.【答案】a=32b=12
【解析】解：∵关于x，y的二元一次方程组3x−my=52x+ny=6的解是x=1y=2，
∴由关于a，b的二元一次方程组3(a−b)−m(a+b)=52(a−b)+n(a+b)=6得到a−b=1a+b=2，
解得a=32b=12，
即关于a，b的二元一次方程组3(a−b)−m(a+b)=52(a−b)+n(a+b)=6的解是a=32b=12，
故答案为：a=32b=12.
观察两个方程组的特征可以得出a−b=1a+b=2，由此求解即可．
本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，得到a−b=1a+b=2是解题的关键．
17.【答案】解：3−8+ (−3)2+ 2( 2+1)+| 2−2|
=−2+3+2+ 2+2− 2
=5.
【解析】先计算立方根、二次根式、乘法分配律和绝对值，再计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
18.【答案】解：{7x−13<3(x+1)1−3x2⩽2①②，
解不等式①得：x<4，
解不等式②得：x≥−1，
在数轴上表示不等式组的解集为：
∴不等式组的解集为：−1≤x<4.
【解析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示即可．
本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．
19.【答案】860.16
【解析】解：(1)由频数分布直方图可得b=6；
∵样本容量为：4÷0.08=50，
∴a=50−(4+16+6+16)=8；
c=8÷50=0.16，
故答案为：8，6，0.16；
(2)补全频数分布直方图如下：
；
(3)该兴趣班训练方案科学．
理由：∵成绩在70分以上的人数占总人数百分比为：16+6+1650×100%=76%>70%.
∴该兴趣班训练方案科学．
(1)根据频数分布直方图可得b的值；将50.5∼60.5的频数除以其频率即可求出样本总量，将样本总量减去其他4组的频数即可求出a的值；将a除以样本容量即可求出c的值；
(2)根据a的值补全频数分布直方图即可；
(3)根据频数分布表中的数据求出成绩在70分以上的人数所占百分比，再与70%比较，即可作出判断．
本题考查频数分布直方图，频数分布表，能从统计图表中获取有用数据是解题的关键．
20.【答案】解：(1){2x+3y=9①x=2y+1②，
将②代入①得：2(2y+1)+3y=9，
解得：y=1，
将y=1代入②得：x=3，
∴原方程组的解为：x=3y=1；
(2)解：{3x+2y=4①3x2−y+13=1②，
由①+②得：12x=12，
解得：x=1，
将x=1代入①得：3+2y=4，
解得：y=12，
∴原方程组的解为：x=1y=12.
【解析】(1)利用代入消元法解二元一次方程组即可；
(2)利用加减消元法解二元一次方程组即可．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解此题的关键．
21.【答案】∠BFH对顶角相等 ∠2等量代换 DE 同位角相等，两直线平行 ∠CDE两直线平行，同旁内角互补 ∠C两直线平行，内错角相等
【解析】证明：∵∠1=∠2(已知)，
且∠1=∠BFH(对顶角相等)，
∴∠BFD=∠2(等量代换)，
∴BC//DE(同位角相等，两直线平行)，
∴∠C+∠CDE=180∘(两直线平行，同旁内角互补)，
又∵AB//CD(已知)，
∴∠B=∠C(两直线平行，内错角相等)，
∴∠B+∠CDE=180∘.
故答案为：∠BFH；对顶角相等；∠2；等量代换；DE；同位角相等，两直线平行；∠CDE；两直线平行，同旁内角互补；∠C；两直线平行，内错角相等．
先根据对顶角相等及题意推出BC//DE，再根据平行线的性质求解即可．
本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图所示：
∴点C(5,−2)；
(2)∵△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A′B′C′，
∴点P′(a+4,b−3)；
(3)S△ABC=5×5−12×3×5−12×2×3−12×5×2=25−7.5−3−5=9.5.
【解析】(1)首先确定A、B、C三点平移后的对应点位置，然后再连接即可；
(2)由平移的性质可求解；
(3)利用面积的和差关系可求解．
本题考查了平移作图，关键是正确确定图形平移后的对应点位置．
23.【答案】解：(1)设A品牌运动装的采购单价是x元/件，B品牌运动装的采购单价是y元/件，
根据题意得：10x+30y=860050y=11000，
解得：x=200y=220.
答：A品牌运动装的采购单价是200元/件，B品牌运动装的采购单价是220元/件；
(2)设该商家采购A品牌运动装m件，则采购B品牌运动装(2m+10)件，
根据题意得：m≥18200m+220(2m+10)≤15000，
解得：18≤m≤20，
又∵m为正整数，
∴m可以为18，19，20，
∴该商家共有3种采购方案，
方案1：采购A品牌运动装18件，B品牌运动装46件；
方案2：采购A品牌运动装19件，B品牌运动装48件；
方案3：采购A品牌运动装20件，B品牌运动装50件．
【解析】(1)设A品牌运动装的采购单价是x元/件，B品牌运动装的采购单价是y元/件，根据“第一次采购A品牌运动装10件，B品牌运动装30件，采购费用为8600元；第二次只采购了B品牌运动装50件，采购费用为11000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该商家采购A品牌运动装m件，则采购B品牌运动装(2m+10)件，根据“A品牌运动装的采购数量不低于18件，且采购两种品牌运动装的总费用不超过15000元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各采购方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
24.【答案】②③
【解析】解：(1)解方程①6x−7=4x+5得，x=6；解方程②得，x=2；解方程③得，x=3；
解不等式组5x+2>3(x−1)12x+1≤7−32x得，−52由此可知不等式组的“包含方程”是②③，
故填：②③；
(2)解方程x−12−k=0得x=2k+1，解不等式组得−52由题意可知：−52<2k+1≤54，
解得−74(3)解方程x−56=m3−1得x=2m−1，
解不等式组2(x+1)>m−1x−12≥2x+13−2得m−32∵关于x的方程x−56=m3−1是关于x的不等式组2(x+1)>m−1x−12≥2x+13−2的“包含方程”，
∴m−32<2m−1≤7，解得−13∵不等式组恰好有7个整数解，
∴0≤m−32<1，解得3≤m<5，
综上，m的取值范围为3≤m≤4.
(1)先求出方程的解和不等式组的解集，再判定即可；
(2)先求出方程的解为x=2k+1，再求出不等式组的解集，根据“包含方程”的定义列出关于k的方程组，求解即可；
(3)先求出方程的解为x=2m−1，再求出不等式组的解集，根据“包含方程”的定义列出关于m的方程组，可求得m的一个取值范围；再根据不等式组有7个整数解求得m的另一个取值范围，再求m取值范围的公共部分即可得到m最终的取值范围．
本题考查一元一次不等式组和一元一次方程的解，理解题中的“包含方程”是解题的关键．
25.【答案】解：(1)由题意得，
a−2=0，c+3=0，b−4=0，
∴a=2，b=4，c=−3，
∴A(2,0)，B(4,−3)，C(0,−3)；
(2)∵DE//AB，
∴∠DEB+∠ABE=180∘，
∵∠BED的角平分线与∠ABC的角平分线交于第四象限的一点F，
∴∠FBE=12∠DEB，∠EBF=12∠ABE，
∴∠FBE+∠EBF=12(∠DEB+∠ABE)=12×180∘=90∘，
∴∠BFE=90∘；
(3)存在M点满足三角形ACM的面积是三角形ACH面积的3倍，理由如下：
∵C(0,−3)，A(2,0)，
∴OC=3，OA=2，
∴S△ACH=12CH⋅OC=12×4×3=6，
∵三角形ACM的面积是三角形ACH面积的3倍，
∴S△ACM=18，
∴12CM⋅OA=18，
∴12CM⋅2=18，
∴CM=18，
∵−3+18=15，−3−18=−21，
∴M(0,15)或(0,−21).
【解析】(1)由算术平方根、绝对值和偶次方的非负性可得出结果；
(2)根据平行线的性质得出∠DEB+∠ABE=180∘，根据角平分线的定义得出∠FBE=12∠DEB，∠EBF=12∠ABE，进一步得出结论；
(3)先求得三角形ACH的面积，进而得出三角形ACM的面积，进而得出CM的长，进一步得出结果．
本题考查了算术平方根、绝对值和偶次方的非负性，平行线的性质，平面直角坐标系中的点的坐标与线段长之间的关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．分组
频数
频率
50.5∼60.5
4
0.08
60.5∼70.5
a
c
70.5∼80.5
16
0.32
80.5∼90.5
b
90.5∼100.5
16
0.32
合计
1.00