2023年新高考数学一轮复习考点过关检测26《平面向量的数量积》（2份打包，解析版+原卷版）

考点过关检测26__平面向量的数量积　　　　　　　　　

一、单项选择题

1．设平面向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，则a·＝(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

2．[2022·湖北汉阳一中月考]已知＝(1,3)，＝(2，t)，||＝1，则·＝(　　)

A．5  B．7  C．9  D．11

3．[2022·河北保定模拟]已知向量a＝(x,1)，b＝(－2，y)，若2a＋b＝(2,6)，则向量a与b的夹角为(　　)

A.  B.  C.  D.

4．[2022·福建龙岩一中月考]已知平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a－2b|的值为(　　)

A.  B．2  C．4  D.

5．已知单位向量a，b，c，满足a＋b＋c＝0，则a与b的夹角为(　　)

A.  B.  C.  D.

6．若向量a＝(3，)，|b|＝5，a·b＝10，a与b的夹角为60°，则x＝(　　)

A．16  B．4  C．7  D.

7．[2022·北京丰台二中月考]已知等边三角形ABC的边长为1，若＝a，＝b，＝c，则a·b－b·c＋c·a等于(　　)

A．－  B.  C．－  D.

8．[2022·辽宁沈阳模拟]在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，若＝3，则与的夹角为(　　)

A．30°  B．45°

C．60°  D．135°

二、多项选择题

9．[2022·湖南湘潭模拟]已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－4)，且a与b的夹角为α，则(　　)

A．a－b＝(1，－2)   B．|b|＝2|a|

C．a∥b            D．cos α＝－

10．[2022·广东深圳月考]已知平面向量＝(－1，k)，＝(2,1)，若△ABC是直角三角形，则k的可能取值是(　　)

A．－2  B．2  C．5  D．7

11．[2022·湖南雅礼中学月考]设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|b－2a|＝，则以下结论正确的是(　　)

A．a⊥b

B．|a＋b|＝2

C．|a－b|＝

D．向量a，b夹角为60°

12.

[2022·山东济南模拟]已知四边形OABC和四边形ODEF为正方形＋3＝0，·＝12，则下列说法正确的是(　　)

A．||＝3  B．||＝1

C.·＝3  D.·＝－2

三、填空题

13．已知向量a＝(2,1)，b＝(1,3)，若(3a＋kb)⊥a，则实数k＝________.

14．设向量a＝(1，m)，b＝(2,1)，且b·(2a＋b)＝7，则m＝________.

15．[2021·新高考Ⅱ卷]已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________.

16．[2022·天津杨村一中月考]在平面四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，AD＝4，连接AC，∠ACD＝90°，∠CAD＝30°，则·＝________；E为线段AD上的动点，则·的最小值为________．

考点过关检测26　平面向量的数量积

1．答案：A

解析：由题意，a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝2×12＋1×2×cos 120°＝2－1＝1

则a·＝1.

2．答案：D

解析：由已知，得＝－＝(2，t)－(1,3)＝(1，t－3)，又||＝1，

所以＝1，解得t＝3，

所以·＝(1,3)·(2,3)＝2＋9＝11.

3．答案：B

解析：因为a＝(x,1)，b＝(－2，y)，且2a＋b＝(2,6)，所以得x＝2，y＝4，即a＝(2,1)，b＝(－2,4)，

则cos〈a，b〉＝＝＝0，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，

即a与b的夹角为.

4．答案：B

解析：因为a＝(2,0)，所以|a|＝2，所以a·b＝|a|·|b|cos 60°＝2×1×＝1，

所以|a－2b|2＝(a－2b)2＝a2＋4b2－4a·b＝|a|2＋4|b|2－4a·b＝22＋4－4×1＝4，所以|a－2b|＝2.

5．答案：C

解析：由a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c，所以|a＋b|＝|－c|，

即|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，所以a·b＝－，

由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－，得〈a，b〉＝.

6．答案：C

解析：由题可知：a·b＝10，a与b的夹角为60°，|b|＝5，

所以a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝·|a|＝10⇒|a|＝4，则|a|＝＝4，由x≥0，所以x＝7.

7．答案：A

解析：

如图，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×1×cos120°＝－，

b·c＝|b||c|cos〈b，c〉＝1×1×cos120°＝－，

c·a＝|c||a|cos〈c，a〉＝1×1×cos120°＝－，所以a·b－b·c＋c·a＝－.

8．答案：B

解析：

如图：以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

因为四边形ABCD是矩形，AB＝3，AD＝1，＝3，

则B(3,0)，D(0,1)，C(3,1)，E(1,0)，则＝(－3,1)，＝(－2，－1)，

故cos〈，〉＝＝＝，

因为0°≤〈，〉≤180°，所以〈，〉＝45°.

9．答案：BD

解析：对于A中，由 a－b＝(1－2,2＋4)＝(－1,6)，所以A不正确；对于B中，由|a|＝＝，|b|＝＝2，所以B正确；对于C中，由a＝(1,2)，b＝(2，－4)，可得≠，所以C不正确；对于D中，由向量的夹角公式，可得cos α＝＝＝－，所以D正确．

10．答案：BD

解析：＝(－1，k)，＝(2,1)，＝－＝(3,1－k)，

若A＝90°，则·＝0，∴－2＋k＝0，解得k＝2；

若B＝90°，则·＝0，∴－3＋k(1－k)＝0，此时方程无解；

若C＝90°，则·＝0，∴6＋(1－k)＝0，解得k＝7.

结合选项可知BD正确．

11．答案：AC

解析：|b－2a|2＝|b|2＋4|a|2－4a·b＝5，又因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，所以a⊥b，所以A正确，D不正确；|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝2，故|a＋b|＝，所以B不正确，同理C正确．

12.

答案：ACD

解析：如图建立平面直角坐标系，

因为＋3＝0，所以OC＝3OD，

设OD＝a(a>0)，则A(0,3a)，O(0,0)，B(3a,3a)，D(－a,0)，C(3a,0)，

因为·＝(a,3a)·(3a,3a)＝3a2＋9a2＝12a2＝12，所以a＝1，

对于A，||＝3a＝3，所以A正确，

对于B，||＝＝，所以B错误，

对于C，·＝(0，－3)·(－3，－1)＝3，所以C正确，

对于D，·＝(1,3)·(1，－1)＝－2，所以D正确．

13．答案：－3

解析：因为a＝(2,1)，b＝(1,3)，所以3a＋kb＝(6＋k,3＋3k)

因为(3a＋kb)⊥a，所以2×(6＋k)＋1×(3＋3k)＝0，解得k＝－3.

14．答案：－1

解析：2a＋b＝(4,2m＋1)，∵b·(2a＋b)＝7，∴2×4＋2m＋1＝7，解得：m＝－1.

15．答案：－

解析：由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，

因此，a·b＋b·c＋c·a＝－.

16．答案：－3　

解析：

由于∠ABC＝90°，如图以B为坐标原点，BC，BA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，

由于AD＝4，∠CAD＝30°，故CD＝2，AC＝2，

又AB＝BC，故BC＝，AB＝3，

∴B(0,0)，C(，0)，A(0,3)，D(2，1)，

∴·＝(－，0)·(，1)＝－3.

不妨设＝t(0≤t≤1)，

∴＝＋＝＋t＝(0,3)＋t(2，－2)＝(2t,3－2t)，

＝＋＝(－，0)＋(2t,3－2t)＝(2t－，3－2t)，

∴·＝2t×(2t－)＋(3－2t)2＝16t2－18t＋9，

故当t＝时，·取得最小值为.