广西百色市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题

这是一份广西百色市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题，共34页。试卷主要包含了﹣1+tan60°，﹣1+|﹣1|，÷，其中x＝2021，0﹣17，恰好经过AB的中点C等内容，欢迎下载使用。

广西百色市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题
一．实数的运算（共2小题）
1．（2021•百色）计算：（π﹣1）0+|﹣2|﹣（）﹣1+tan60°．
2．（2020•百色）计算：﹣4cos45°﹣（）﹣1+|﹣1|．
二．分式的化简求值（共1小题）
3．（2020•百色）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝2021．
三．零指数幂（共1小题）
4．（2022•百色）计算：32+（﹣2）0﹣17．
四．二元一次方程组的应用（共2小题）
5．（2021•百色）据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.2米，直道长87米；跑道的弯道是半圆形，环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00米之间．
某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道．小王同学计算了各圈的长：
第一圈长：87×2+2π（36+1.2×0）≈400（米）；
第二圈长：87×2+2π（36+1.2×1）≈408（米）；
第三圈长：87×2+2π（36+1.2×2）≈415（米）；
……
请问：
（1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？
（2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路程），在如图的起跑线同时出发，经过20秒两人在直道第一次相遇．若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍，求他们的平均速度各是多少？
（注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇）

6．（2020•百色）某玩具生产厂家A车间原来有30名工人，B车间原来有20名工人，现将新增25名工人分配到两车间，使A车间工人总数是B车间工人总数的2倍．
（1）新分配到A、B车间各是多少人？
（2）A车间有生产效率相同的若干条生产线，每条生产线配置5名工人，现要制作一批玩具，若A车间用一条生产线单独完成任务需要30天，问A车间新增工人和生产线后比原来提前几天完成任务？
五．分式方程的应用（共1小题）
7．（2022•百色）金鹰酒店有140间客房需安装空调，承包给甲、乙两个工程队合作安装，每间客房都安装同一品牌同样规格的一台空调，已知甲工程队每天比乙工程队多安装5台，甲工程队的安装任务有80台，两队同时安装．问：
（1）甲、乙两个工程队每天各安装多少台空调，才能同时完成任务？
（2）金鹰酒店响应“绿色环保”要求，空调的最低温度设定不低于26℃，每台空调每小时耗电1.5度；据预估，每天至少有100间客房有旅客住宿，旅客住宿时平均每天开空调约8小时．若电费0.8元/度，请你估计该酒店每天所有客房空调所用电费W（单位：元）的范围？
六．解一元一次不等式（共1小题）
8．（2022•百色）解不等式2x+3≥﹣5，并把解集在数轴上表示出来．
七．解一元一次不等式组（共1小题）
9．（2021•百色）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
八．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
10．（2020•百色）如图，在平面直角坐标系中，将点A（2，4）绕原点O顺时针旋转90°后得到点B，连接AB．双曲线y＝（m≠0）恰好经过AB的中点C．
（1）直接写出点B的坐标．
（2）求直线AB及双曲线的函数解析式．

九．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
11．（2022•百色）已知：点A（1，3）是反比例函数y1＝（k≠0）的图象与直线y2＝mx（m≠0）的一个交点．
（1）求k、m的值；
（2）在第一象限内，当y2＞y1时，请直接写出x的取值范围．

12．（2021•百色）如图，O为坐标原点，直线l⊥y轴，垂足为M，反比例函数y＝（k≠0）的图象与l交于点A（m，3），△AOM的面积为6．
（1）求m、k的值；
（2）在x轴正半轴上取一点B，使OB＝OA，求直线AB的函数表达式．

一十．二次函数综合题（共3小题）
13．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：∠BOF＝∠BDF；
（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．


14．（2021•百色）已知O为坐标原点，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，连接EC交x轴于点D．
（1）求证：AD＝CD；
（2）求经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式；
（3）当x＞0时，抛物线上是否存在点P，使S△PBC＝S△OAE？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

15．（2020•百色）如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，OC⊥AB于点C．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）求证：直线AB与⊙O相切．
（3）已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．

一十一．全等三角形的判定与性质（共2小题）
16．（2021•百色）如图，点D、E分别是AB、AC的中点，BE、CD相交于点O，∠B＝∠C，BD＝CE．
求证：（1）OD＝OE；
（2）△ABE≌△ACD．

17．（2020•百色）如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB∥DE，BC＝EF，∠B＝∠E．
求证：（1）△ABC≌△DEF．
（2）AF＝DC．

一十二．全等三角形的应用（共1小题）
18．（2022•百色）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．
（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）求草坪造型的面积．

一十三．切线的判定与性质（共1小题）
19．（2022•百色）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M，作AD⊥MC，垂足为D，已知AC平分∠MAD．
（1）求证：MC是⊙O的切线；
（2）若AB＝BM＝4，求tan∠MAC的值．

一十四．相似三角形的判定与性质（共2小题）
20．（2021•百色）如图，PM、PN是⊙O的切线，切点分别是A、B，过点O的直线CE∥PN，交⊙O于点C、D，交PM于点E，AD的延长线交PN于点F，若BC∥PM．
（1）求证：∠P＝45°；
（2）若CD＝6，求PF的长．

21．（2020•百色）如图，在平行四边形ABCD中，N为BA延长线上一点，CN分别交BD，AD于点E，F．
（1）请找出一对相似的三角形并证明．
（2）已知BE＝2ED，若CN＝kEF，求k的值．

一十五．列表法与树状图法（共3小题）
22．（2022•百色）学校举行“爱我中华，朗诵经典”班级朗诵比赛，黄老师收集了所有参赛班级的成绩后，把成绩x（满分100分）分成四个等级（A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70）进行统计，并绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．

根据信息作答：
（1）参赛班级总数有 　 　个；m＝　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）统计发现D等级中七年级、八年级各有两个班，为了提高D等级班级的朗诵水平，语文组老师计划从D等级班级中任选两个班进行首轮培训，求选中两个班恰好是同一个年级的概率（用画树状图或列表法把所有可能结果表示出来）．

23．（2021•百色）为了解某校九年级500名学生周六做家务的情况，黄老师从中随机抽取了部分学生进行调查，将他们某一周六做家务的时间t（小时）分成四类（A：0≤t＜1，B：1≤t＜2，C：2≤t＜3，D：t≥3），并绘制如下不完整的统计表和扇形统计图．
类别
A
B
C
D
人数
2
18

3
根据所给信息：
（1）求被抽查的学生人数；
（2）周六做家务2小时以上（含2小时）为“热爱劳动”，请你估计该校九年级“热爱劳动”的学生人数；
（3）为让更多学生积极做家务，从A类与D类学生中任选2人进行交流，求恰好选中A类与D类各一人的概率（用画树状图或列表法把所有可能结果表示出来）．

24． （2020•百色）某校为了解七年级学生最喜爱的棋类情况，校团委邓老师通过学校公众号向七年级学生发放如图所示的调查问卷，要求如实填写并提交．

调查问卷
你最喜爱的棋类是____．（只选一项）
A．中国象棋
B．围棋
C．跳棋
D．五子棋
E．其他
提交
收集数据邓老师从中随机抽查了40份问卷，得到如下数据：
ADABDCADEB
EBCEDACADC
CADDCDBDAE
CECDCADCDC
整理分析邓老师整理这组数据并将结果绘制成两幅不完整的统计图．

根据以上信息回答下列问题：
（1）补全条形统计图．
（2）m＝　 　，n＝　 　．
（3）最喜爱围棋的有1名女生和3名男生，从中任选2名参加比赛．用画树状图法或列表法把所有可能的结果列出来，求恰好选中1男1女的概率．

参考答案与试题解析
一．实数的运算（共2小题）
1．（2021•百色）计算：（π﹣1）0+|﹣2|﹣（）﹣1+tan60°．
【解答】解：原式＝1+2﹣﹣3+
＝0．
2．（2020•百色）计算：﹣4cos45°﹣（）﹣1+|﹣1|．
【解答】解：原式＝2﹣4×﹣2+﹣1
＝2﹣2﹣2+﹣1
＝﹣3．
二．分式的化简求值（共1小题）
3．（2020•百色）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝2021．
【解答】解：（﹣）÷
＝•
＝•
＝，
当x＝2021时，原式＝＝．
三．零指数幂（共1小题）
4．（2022•百色）计算：32+（﹣2）0﹣17．
【解答】解：32+（﹣2）0﹣17
＝9+1﹣17
＝﹣7．
四．二元一次方程组的应用（共2小题）
5．（2021•百色）据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.2米，直道长87米；跑道的弯道是半圆形，环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00米之间．
某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道．小王同学计算了各圈的长：
第一圈长：87×2+2π（36+1.2×0）≈400（米）；
第二圈长：87×2+2π（36+1.2×1）≈408（米）；
第三圈长：87×2+2π（36+1.2×2）≈415（米）；
……
请问：
（1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？
（2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路程），在如图的起跑线同时出发，经过20秒两人在直道第一次相遇．若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍，求他们的平均速度各是多少？
（注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇）

【解答】解：（1）由题意得：415﹣400＝15（米），
87×2+2π（36+1.2×7）≈453（米），
答：第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多15米，小王计算的第八圈长约453米；
（2）设小王的平均速度为x米/秒，邓教练的平均速度为y米/秒，
由题意得：，
解得：，
答：小王的平均速度为米/秒，邓教练的平均速度为米/秒．
6．（2020•百色）某玩具生产厂家A车间原来有30名工人，B车间原来有20名工人，现将新增25名工人分配到两车间，使A车间工人总数是B车间工人总数的2倍．
（1）新分配到A、B车间各是多少人？
（2）A车间有生产效率相同的若干条生产线，每条生产线配置5名工人，现要制作一批玩具，若A车间用一条生产线单独完成任务需要30天，问A车间新增工人和生产线后比原来提前几天完成任务？
【解答】解：（1）设新分配到A车间x人，分配到B车间y人．
由题意可得，，解得，
∴新分配到A车间20人，分配到B车间5人．
（2）由（1）可得，分配后，A车间共有50人，
∵每条生产线配置5名工人，
∴分配工人前共有6条生产线，分配工人后共有10条生产线；
分配前，共需要的天数为30÷6＝5（天），
分配后，共需要的天数为30÷10＝3（天），
∴5﹣3＝2（天），
∴A车间新增工人和生产线后比原来提前2天完成任务．
五．分式方程的应用（共1小题）
7．（2022•百色）金鹰酒店有140间客房需安装空调，承包给甲、乙两个工程队合作安装，每间客房都安装同一品牌同样规格的一台空调，已知甲工程队每天比乙工程队多安装5台，甲工程队的安装任务有80台，两队同时安装．问：
（1）甲、乙两个工程队每天各安装多少台空调，才能同时完成任务？
（2）金鹰酒店响应“绿色环保”要求，空调的最低温度设定不低于26℃，每台空调每小时耗电1.5度；据预估，每天至少有100间客房有旅客住宿，旅客住宿时平均每天开空调约8小时．若电费0.8元/度，请你估计该酒店每天所有客房空调所用电费W（单位：元）的范围？
【解答】解：（1）设乙工程队每天安装x台空调，则甲工程队每天安装（x+5）台空调，
依题意得：＝，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
∴x+5＝15+5＝20．
答：甲工程队每天安装20台空调，乙工程队每天安装15台空调，才能同时完成任务．
（2）设每天有m（100≤m≤140）间客房有旅客住宿，则W＝0.8×1.5×8m＝9.6m．
∵9.6＞0，
∴W随m的增大而增大，
∴9.6×100≤W≤9.6×140，
即960≤W≤1344．
答：该酒店每天所有客房空调所用电费W（单位：元）的范围为不少于960元且不超过1344元．
六．解一元一次不等式（共1小题）
8．（2022•百色）解不等式2x+3≥﹣5，并把解集在数轴上表示出来．
【解答】解：移项得：2x≥﹣5﹣3，
合并同类项得：2x≥﹣8，
两边同时除以2得：x≥﹣4，
解集表示在数轴上如下：

七．解一元一次不等式组（共1小题）
9．（2021•百色）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【解答】解：解不等式5x≥8+x，得：x≥2，
解不等式＞x﹣2，得：x＜7，
则不等式组的解集为2≤x＜7，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

八．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
10．（2020•百色）如图，在平面直角坐标系中，将点A（2，4）绕原点O顺时针旋转90°后得到点B，连接AB．双曲线y＝（m≠0）恰好经过AB的中点C．
（1）直接写出点B的坐标．
（2）求直线AB及双曲线的函数解析式．

【解答】解：（1）过A作AE⊥y轴于E，过B作BF⊥x轴于F，
则∠AEO＝∠BFO＝90°，
∵A（2，4），
∴AE＝2，OE＝4，
由旋转的性质得：OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF＝90°﹣∠AOF，
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（AAS），
∴AE＝BF＝2，OE＝OF＝4，
∴B的坐标为（4，﹣2）；
（2）设C（a，b），
过C作CG⊥EA交EQ的延长线于G，过B作BH⊥GC交GC的延长线于H，
在△ACG与△BCH中，
，
∴△ACG≌△BCH（AAS），
∴AG＝BH，CG＝CH，
∴a﹣2＝4﹣a，4﹣b＝b+2，
∴a＝3，b＝1，
∴C（3，1），
∵双曲线的函数解析式为y＝，
∵点C在双曲线上，
∴1＝，
∴m＝3，
∴双曲线的函数解析式为y＝；
设AB的解析式为y＝kx+b，
把A（2，4），B（4，﹣2）代入上式得：，
解得：，
∴AB的解析式为y＝﹣3x+10．

九．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
11．（2022•百色）已知：点A（1，3）是反比例函数y1＝（k≠0）的图象与直线y2＝mx（m≠0）的一个交点．
（1）求k、m的值；
（2）在第一象限内，当y2＞y1时，请直接写出x的取值范围．

【解答】解：（1）把A（1，3）代入y1＝（k≠0）得：3＝，
∴k＝3，
把A（1，3）代入y2＝mx（m≠0）得：3＝m，
∴m＝3．

（2）由图象可知：交于点（1，3）和（﹣1，﹣3），在第一象限内，当y2＞y1时，x的取值范围是x＞1．
12．（2021•百色）如图，O为坐标原点，直线l⊥y轴，垂足为M，反比例函数y＝（k≠0）的图象与l交于点A（m，3），△AOM的面积为6．
（1）求m、k的值；
（2）在x轴正半轴上取一点B，使OB＝OA，求直线AB的函数表达式．

【解答】解：（1）由题意可得：，
∴，即m＝4，
∴A（4，3），
∴k＝xy＝12．
（2）∵l⊥y轴，
∴OB＝OA＝＝5，
∴B（5，0）．
设直线AB为y＝ax+b，
∴，
解得：a＝﹣3，b＝15．
∴y＝﹣3x+15．
一十．二次函数综合题（共3小题）
13．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：∠BOF＝∠BDF；
（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．


【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，
把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入
得：，解得，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）证明：∵正方形OBDC，
∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，
∵BF＝BF，
∴△BOF≌△BDF，
∴∠BOF＝∠BDF；
（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，
∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，
∴E（2，3），
①如图，

当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，
∴∠FDM为钝角，
∵△MDF为等腰三角形，
∴DF＝DM，
∴∠M＝∠DFM，
∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，
∵BM∥OC，
∴∠M＝∠MOC，
由（2）得∠BOF＝∠BDF，
∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，
∴∠M＝30°，
在Rt△BOM中，
BM＝，
∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；
②如图，

当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，
∵△MDF为等腰三角形，
∴MF＝DM，
∴∠BDF＝∠MFD，
∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，
由（2）得∠BOF＝∠BDF，
∴∠BMO＝2∠BOM，
∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，
∴∠BOM＝30°，
在Rt△BOM中，
BM＝，
∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，
综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．
14．（2021•百色）已知O为坐标原点，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，连接EC交x轴于点D．
（1）求证：AD＝CD；
（2）求经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式；
（3）当x＞0时，抛物线上是否存在点P，使S△PBC＝S△OAE？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

【解答】（1）证明：∵y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、C两点，
∴A（4，0），C（0，2），
由对称得∠ACD＝∠ACB，
∵B（4，2），
∴四边形OABC是矩形，
∴OA∥BC，
∴∠BCA＝∠OAC，
∴∠ACD＝∠OAC，
∴AD＝CD；

（2）解：设OD＝m，由对称可得CE＝BC＝4，AE＝AB＝OC＝2，∠AED＝∠B＝90°，
∴CD＝AD＝4﹣m，
在Rt△OCD中，OD2+OC2＝CD2，
∴m2+22＝（4﹣m）2，
∴m＝，
∴D（，0），
设经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式为：y＝ax2+bx+c，
把B（4，2），C（0，2），D（，0）代入得：
，
解得：．
∴经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣x+2；

（3）解：存在，
过点E作EM⊥x轴于M，

∵ED＝EC﹣CD＝EC﹣AD＝OD＝，
∴S△AED＝AE•DE＝AD•EM，
∴×2×＝×（4﹣）EM，
∴EM＝，
设△PBC中BC边上的高为h，
∵S△PBC＝S△OAE，
∴×OA•EM＝BC•h，
∴××4×＝×4h，
∴h＝2，
∵C（0，2），B（4，2），
∴点P的纵坐标为0或4，
①y＝0时，x2﹣x+2＝0，
解得：x1＝，x2＝；
②y＝4时，x2﹣x+2＝4，
解得：x3＝，x4＝（舍去），
∴存在，点P的坐标为（，0）或（，0）或（，4）．
15．（2020•百色）如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，OC⊥AB于点C．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）求证：直线AB与⊙O相切．
（3）已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．

【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为A（0，2），
∴可设抛物线的解析式为：y＝ax2+2，
∵抛物线经过点B（2，0），
∴4a+2＝0，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2；
（2）证明：∵A（0，2），B（2，0），
∴OA＝OB＝2，
∴AB＝2，
∵OC⊥AB，
∴•OA•OB＝•AB•OC，
∴×2×2＝×2•OC，
解得：OC＝，
∵⊙O的半径r＝，
∴OC是⊙O的半径，
∴直线AB与⊙O相切；
（3）∵点P在抛物线y＝﹣x2+2上，
∴可设P（x，﹣x2+2），
以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，
可得：AC＝OM＝，CM＝OA＝2，
∵点C是AB的中点，
∴C（1，1），M（1，﹣1），
设直线OM的解析式为y＝kx，将点M（1，﹣1）代入，
得：k＝﹣1，
∴直线OM的解析式为y＝﹣x，
∵点P在OM上，
∴﹣x2+2＝﹣x，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣，
∴y1＝﹣1﹣，y2＝﹣1+，
∴P1（1+，﹣1﹣），P2（1﹣，﹣1+），
如图，当点P位于P1位置时，
OP1＝＝＝（1+）＝+，
∴P1M＝OP1﹣OM＝+﹣＝，
当点P位于P2位置时，同理可得：OP2＝﹣，
∴P2M＝OP2﹣OM＝﹣﹣＝﹣2；
综上所述，PM的长是或﹣2．

一十一．全等三角形的判定与性质（共2小题）
16．（2021•百色）如图，点D、E分别是AB、AC的中点，BE、CD相交于点O，∠B＝∠C，BD＝CE．
求证：（1）OD＝OE；
（2）△ABE≌△ACD．

【解答】证明：（1）在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE（AAS），
∴OD＝OE；
（2）∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD＝BD＝AB，AE＝CE＝AC，
∵BD＝CE．
∴AD＝AE，AB＝AC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）．
17．（2020•百色）如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB∥DE，BC＝EF，∠B＝∠E．
求证：（1）△ABC≌△DEF．
（2）AF＝DC．

【解答】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，
∴AF＝CD．
一十二．全等三角形的应用（共1小题）
18．（2022•百色）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．
（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）求草坪造型的面积．

【解答】（1）证明：在△ABC和△CDA中，
∵，
∴△ABC≌△CDA（SSS）；

（2）解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝2米，∠B＝30°，
∴AE＝1米，
∴S△ABC＝×3×1＝（平方米），
则S△CDA＝（平方米），
∴草坪造型的面积为：2×＝3（平方米）．

一十三．切线的判定与性质（共1小题）
19．（2022•百色）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M，作AD⊥MC，垂足为D，已知AC平分∠MAD．
（1）求证：MC是⊙O的切线；
（2）若AB＝BM＝4，求tan∠MAC的值．

【解答】（1）证明：∵AD⊥MC，
∴∠D＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠MAD，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴OC∥DA，
∴∠D＝∠OCM＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴MC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝4，
∴OC＝OB＝AB＝2，
∴OM＝OB+BM＝6，
在Rt△OCM中，MC＝＝＝4，
∵∠M＝∠M，∠OCM＝∠D＝90°，
∴△MCO∽△MDA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴MD＝，AD＝，
∴CD＝MD﹣MC＝，
在Rt△ACD中，tan∠DAC＝＝＝，
∴tan∠MAC＝tan∠DAC＝，
∴tan∠MAC的值为．
一十四．相似三角形的判定与性质（共2小题）
20．（2021•百色）如图，PM、PN是⊙O的切线，切点分别是A、B，过点O的直线CE∥PN，交⊙O于点C、D，交PM于点E，AD的延长线交PN于点F，若BC∥PM．
（1）求证：∠P＝45°；
（2）若CD＝6，求PF的长．

【解答】解：（1）证明：连接OB，

∵PM、PN切⊙O于点A、B，
∴OA⊥PM，OB⊥PN，
∵CE∥PN，
∴OB⊥CE，
∵OB＝OC，
∴∠C＝45°，
∵BC∥PM，
∴四边形PBCE是平行四边形，
∴∠P＝∠C＝45°；
（2）∵CD＝6，
∴OB＝OA＝OD＝3，
由（1）得∠1＝∠P＝45°，
∴AE＝OA＝3，
∴OE＝＝3＝BC，
∴PE＝BC＝3，ED＝OE﹣OD＝3﹣3，
∵ED∥PF，
∴△AED∽△APF，
∴＝，
即＝，
∴PF＝3．
21．（2020•百色）如图，在平行四边形ABCD中，N为BA延长线上一点，CN分别交BD，AD于点E，F．
（1）请找出一对相似的三角形并证明．
（2）已知BE＝2ED，若CN＝kEF，求k的值．

【解答】解：（1）答案不唯一，比如△DEF∽△BEC，证明如下：
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠FDE＝∠EBC，∠DFE＝∠BCE，
∴△DEF∽△BEC；
（2）∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠FDE＝∠EBC，∠DFE＝∠BCE，
∴△DEF∽△BEC，
∴，
∵BE＝2ED，
∴CE＝2FE，
设FE＝m，则CE＝2m，
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥DC，
∴∠DCE＝∠BNE，∠EDC＝∠EBN，
∴△DCE∽△BNE，
∴，
∵BE＝2DE，
∴NE＝2CE，
∴NE＝4m，
∴CN＝6m，
∴CN＝6EF，即k＝6．
一十五．列表法与树状图法（共3小题）
22．（2022•百色）学校举行“爱我中华，朗诵经典”班级朗诵比赛，黄老师收集了所有参赛班级的成绩后，把成绩x（满分100分）分成四个等级（A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70）进行统计，并绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．

根据信息作答：
（1）参赛班级总数有 　40　个；m＝　30　；
（2）补全条形统计图；
（3）统计发现D等级中七年级、八年级各有两个班，为了提高D等级班级的朗诵水平，语文组老师计划从D等级班级中任选两个班进行首轮培训，求选中两个班恰好是同一个年级的概率（用画树状图或列表法把所有可能结果表示出来）．

【解答】解：（1）从两个统计图中可知，成绩在“A等级”的有8人，占调查人数的20%，由频率＝得，
调查人数为：8÷20%＝40（人），
成绩在“C等级”的学生人数为：40﹣8﹣16﹣4＝12（人），
成绩在“C等级”所占的百分比为：12÷40＝30%，即m＝30，
故答案为：40，30；
（2）补全条形统计图如下：

（3）从D等级的七年级2个班，八年级2个班中，随机抽取2个班，所有可能出现的结果情况如下：

共有12种可能出现的结果，其中来自同一年级的有4种，
所以从D等级的七年级2个班，八年级2个班中，随机抽取2个班，来自同一年级的概率为＝．
23．（2021•百色）为了解某校九年级500名学生周六做家务的情况，黄老师从中随机抽取了部分学生进行调查，将他们某一周六做家务的时间t（小时）分成四类（A：0≤t＜1，B：1≤t＜2，C：2≤t＜3，D：t≥3），并绘制如下不完整的统计表和扇形统计图．
类别
A
B
C
D
人数
2
18

3
根据所给信息：
（1）求被抽查的学生人数；
（2）周六做家务2小时以上（含2小时）为“热爱劳动”，请你估计该校九年级“热爱劳动”的学生人数；
（3）为让更多学生积极做家务，从A类与D类学生中任选2人进行交流，求恰好选中A类与D类各一人的概率（用画树状图或列表法把所有可能结果表示出来）．

【解答】解：（1）被抽查的学生人数为：18÷36%＝50（人）；
（2）估计该校九年级“热爱劳动”的学生人数为：500×＝300（人）；
（3）画树状图如图：

共有20种等可能的结果，恰好选中A类与D类各一人的结果有12种，
∴恰好选中A类与D类各一人的概率为＝．
24．（2020•百色）某校为了解七年级学生最喜爱的棋类情况，校团委邓老师通过学校公众号向七年级学生发放如图所示的调查问卷，要求如实填写并提交．
调查问卷
你最喜爱的棋类是____．（只选一项）
A．中国象棋
B．围棋
C．跳棋
D．五子棋
E．其他
提交
收集数据邓老师从中随机抽查了40份问卷，得到如下数据：
ADABDCADEB
EBCEDACADC
CADDCDBDAE
CECDCADCDC
整理分析邓老师整理这组数据并将结果绘制成两幅不完整的统计图．

根据以上信息回答下列问题：
（1）补全条形统计图．
（2）m＝　30　，n＝　12.5　．
（3）最喜爱围棋的有1名女生和3名男生，从中任选2名参加比赛．用画树状图法或列表法把所有可能的结果列出来，求恰好选中1男1女的概率．
【解答】解：（1）根据给出的数据五子棋有12份，其他有5份，补全统计图如下：


（2）m%＝×100%＝30%，即m＝30；
n%＝×100%＝12.5%，即n＝12.5．
故答案为：30，12.5；

（3）根据题意列表如下：

女
男1
男2
男3
女
﹣﹣﹣
（女，男1）
（女1，男2）
（女，男3）
男1
（男1，女）
﹣﹣﹣
（男1，男2）
（男1，男3）
男2
（男2，女）
（男2，男1）
﹣﹣﹣
（男2，男3）
男3
（男3，女）
（男3，男1）
（男3，男2）
﹣﹣﹣
∵共有12种等可能的结果，恰好选中1男1女的结果有6种．
∴P（选中1名男生和1名女生）＝＝．