鲁科版 (2019)必修 第一册第2节 力的分解导学案

第2节　力的分解

[核心素养·明目标]

知识点一　力的分解

1．定义：求一个已知力的分力的过程。

2．分解法则：力的分解遵循平行四边形定则。

3．分解与合成的关系：力的分解是力的合成的逆运算。

(1)理论上，不论有多少个共点力，都可以用一个合力来等效替代。反之，一个力也可用多个分力来等效替代。

(2)当各分力已知时，合力是唯一确定的，但因为对同一条对角线可作出无数个平行四边形，所以合力的分解方式也是多种多样的。

　把一个力分解为两个力，但不能认为在这两个分力的方向上有两个施力物体。

1：思考辨析(正确的画√，错误的打×)

(1)分力与合力是等效替代的关系，它们不是同时存在的。 (√)

(2)把已知力F分解时，只能分解为两个力。 (×)

(3)在力的分解中，分力可以比合力大。                        (√)

知识点二　力的正交分解及应用

1．力的正交分解

(1)定义：为了计算方便，可把一个力分解为两个相互垂直的分力，这种分解方法称为力的正交分解，如图所示。

(2)公式：Fx＝Fcos θ，Fy＝Fsin θ。

(3)正交分解适用于各种矢量运算。

2．力的分解的应用

(1)在生产生活中，力的分解有着十分广泛的应用。如上山的路一般修成盘山公路，城市中高架桥要建很长的引桥，等等。

(2)当合力一定时，分力的大小和方向将随分力间夹角的改变而改变；在两分力大小相等的情况下，分力间夹角越大，分力越大。

　城市高架桥要建设很长的引桥，其目的是什么？

提示：减小过桥的车辆重力沿桥面向下的分力。

2：思考辨析(正确的画√，错误的打×)

(1)力的正交分解是指把一个力分解为水平和竖直两个方向互相垂直的分力的方法。   (×)

(2)正交分解仅适用于矢量运算。                             (√)

(3)正交分解的两个分力与合力作用效果一定相同。 (√)

考点1　力的分解

在小区或学校门口经常设有减速带，以使行驶的车辆放慢速度，从而有效地保障行人的安全，也大大减少了交通事故的发生。

1当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对前轮胎的弹力方向如何？

2为什么会起到减速的作用？

提示：1弹力方向与接触面垂直，指向斜后上方。

2按照力的作用效果分解，将F可以分解为水平方向和竖直方向，水平方向的分力产生的效果减慢汽车的速度，竖直方向的分力产生向上运动的作用效果。

1．力的分解原则

(1)一个力分解为两个力，从理论上讲有无数组解。因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个(如图所示)。

(2)把一个力分解成两个分力，仅是一种等效替代关系，不能认为在这两个分力方向有两个施力物体(或受力物体)。

(3)如图所示，不能错误地认为F2就是物体对斜面的压力，因为F2不是斜面受到的力，且性质与压力不同，仅在数值上等于物体对斜面的压力。

(4)实际分解时，按力的作用效果可分解为两个确定的分力。

2．按实际效果分解的几个实例

【典例1】　如图所示，光滑斜面的倾角为θ，有两个相同的小球分别用光滑挡板A、B挡住，挡板A沿竖直方向，挡板B垂直于斜面，则两挡板受到小球的压力大小之比为多大？斜面受到两小球的压力大小之比为多大？

思路点拨：

[解析]　对小球1所受的重力来说，其效果有二：第一，使小球沿水平方向挤压挡板；第二，使小球垂直压紧斜面。因此，力的分解如图甲所示，由此可得两个分力的大小分别为F1＝Gtan θ，F2＝。对小球2所受的重力G来说，其效果有二：第一，使小球垂直挤压挡板；第二，使小球垂直压紧斜面。因此，力的分解如图乙所示，由此可得两个分力的大小分别为F3＝Gsin θ，F4＝Gcos θ。由力的相互性可知，挡板A、B受到小球的压力之比为F1∶F3＝1∶cos θ，斜面受到两小球的压力之比为F2∶F4＝1∶cos2θ。

甲　　　　　　　　　乙

[答案]　1∶cos θ　1∶cos2θ

力的分解的原理与步骤

(1)原理：若两个力共同作用的效果与某一个力作用时的效果完全相同，则可用这两个力“替代”这一个力。

(2)步骤

①根据已知力的实际效果确定两个分力的方向。

②根据两个分力的方向作出力的平行四边形，确定表示分力的有向线段。

③利用数学知识解平行四边形或三角形，计算分力的大小和方向。

1．下图中按力的作用效果分解正确的是(　　)

A　　　　B　　　　C　　　　　D

A　[B、C、D选项的正确分解方法如图所示。]

考点2　力的正交分解

在我国东北寒冷的冬季，狗拉雪橇曾经是人们出行的常见交通工具，因为雪橇与冰道间的动摩擦因数很小，仅为0.02，所以出行十分便利，被广泛应用。

(1)人和雪橇对冰面的压力是他们的重力之和，对吗？

(2)设小孩质量是30 kg，雪橇质量是10.6 kg，狗用与水平方向成37°斜向上的拉力拉着雪橇匀速前进。请求出狗的拉力大小？(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)。

提示：(1)不对，狗的拉力斜向上，有竖直向上的分力，压力应小于他们重力之和。

(2)由题意，

雪橇匀速前进，对小孩和雪橇整体受力分析，如图所示：

雪橇匀速运动时有

竖直方向：(M＋m)g＝N＋Fsin 37°  ①

水平方向：Fcos 37°＝f  ②

又f＝μN  ③

由①②③得：狗拉雪橇匀速前进要用力为

F＝＝10 N。

1．正交分解的适用情况：适用于计算三个或三个以上共点力的合成。

2．正交分解的目的：将力的合成化简为同向、反向或垂直方向的分力，便于运用普通代数运算公式解决矢量的运算，“分”的目的是为了更好地“合”。

3．力的正交分解的依据：分力与合力的等效性。

4．正交分解的基本步骤

(1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力落在坐标轴上。

(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示。

(3)分别求出x轴、y轴上各分力的合力，即：

Fx＝F1x＋F2x＋…

Fy＝F1y＋F2y＋…

(4)求共点力的合力：合力大小F＝，合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝，即α＝arctan 。

【典例2】　在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图所示，求它们的合力。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

思路点拨：当物体受多个力作用时，一般采用正交分解法求解，可按以下思路：

→→→

[解析]　如图甲，建立直角坐标系，把各个力分解到这两个坐标轴上，并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有

甲

Fx＝F1＋F2cos 37°－F3cos 37°＝27 N，

Fy＝F2sin 37°＋F3sin 37°－F4＝27 N。

因此，如图乙所示，合力：

乙

F＝≈38.2 N，tan φ＝＝1。

即合力的大小约为38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上。

[答案]　38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上

正交分解时坐标系的选取原则与方法

(1)原则：用正交分解法建立坐标系时，通常以共点力作用线的交点为原点，并尽量使较多的力落在坐标轴上，以少分解力为原则。

(2)方法：应用正交分解法时，常按以下方法建立坐标轴。

①研究水平面上的物体时，通常沿水平方向和竖直方向建立坐标轴。

②研究斜面上的物体时，通常沿斜面方向和垂直斜面方向建立坐标轴。

③研究物体在杆或绳的作用下转动时，通常沿杆(或绳)方向和垂直杆(或绳)的方向建立坐标轴。

2．如图所示，用绳AC和BC吊起一个重50 N的物体，两绳AC、BC与竖直方向的夹角分别为30°和45°，求绳AC和BC对物体的拉力大小。

[解析]　以C为原点建立直角坐标系，设x轴水平，y轴竖直，在图上标出FAC和FBC在x轴和y轴上的分力，即

FACx＝FACsin 30°＝FAC

FACy＝FACcos 30°＝FAC

FBCx＝FBCsin 45°＝FBC

FBCy＝FBCcos 45°＝FBC

在x轴上，FACx与FBCx大小相等，即

FAC＝FBC  ①

在y轴上，FACy与FBCy的合力与重力大小相等，

即 FAC＋FBC＝50 N  ②

由①②两式解得

绳BC的拉力FBC＝25(－)N

绳AC的拉力FAC＝50(－1)N。

[答案]　50(－1) N　25(－)N

考点3　力的分解中常见的几种情况讨论

(1)如果不受限制，分解同一个力能作出多少平行四边形？有多少组解？

(2)已知合力F和两分力的方向(如图甲)，利用平行四边形定则，能作多少平行四边形？两分力有几组解？

(3)已知合力F和两个分力中的一个分力F2(如图乙)，另一分力F1有几个解？

甲　　　　　　乙

提示：(1)无数个　无数组　(2)1个　1组　(3)1个

有条件限制的力的分解问题

1．已知合力和两个分力的方向时，两分力有唯一解(如图所示)。

甲　　　　　　　　　　乙

2．已知合力和一个分力的大小和方向时，另一分力有唯一解(如图所示)。

甲　　　　　　　　乙

3．已知合力F以及一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小时，若F与F1的夹角为α，有下面几种可能：

甲　　　乙　　　　丙　　　　　丁

(1)当F2<Fsin α时，无解(如图甲)。

(2)当F2＝Fsin α时，有唯一解(如图乙)。

(3)当Fsin α<F2<F时，有两解(如图丙)。

(4)当F2≥F时，有唯一解(如图丁)。

【典例3】　将一个有确定方向的力F＝10 N分解成两个分力，已知一个分力F1有确定的方向，与F成30°夹角，另一个分力F2的大小为6 N，则在分解时(　　)

A．有无数组解　　　　 B．有两组解

C．有唯一解   D．无解

B　[由已知条件可得Fsin 30°＝5 N，又5 N＜F2＜10 N，即Fsin 30°＜F2＜F，所以F1、F2和F可构成如图所示的两个三角形，故此时有两组解，选项B正确。]

力的分解有解或无解，简单地说就是代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否能构成平行四边形或三角形。若可以构成平行四边形或三角形，说明合力可以分解成给定的分力，即有解；若不能，则无解。

3．(2019·湖南长沙长郡中学高一上期中)已知两个共点力

的合力F为10 N，分力F1的大小为5 N。则关于另一个分力F2的说法中正确的是 (　　)

A．F2的大小是唯一的

B．F2的大小可以是任意值

C．F2的方向与合力F的方向一定成30°角

D．F2的方向与合力F的方向的最大夹角为30°

D　[合力大小为10 N，若其中一个分力大小为5 N，另一个分力的大小范围为5 N≤F≤15 N，设F2的方向与合力F的方向的最大夹角为θ，由图可得sin θ＝＝，即F2的方向与合力F的方向的最大夹角为30°，故D正确。]

1．(2019·福建华安一中、长泰一中等五校联考)如图所示，重力为G的物体静止在倾角为θ的斜面上，将重力G分解为平行于斜面向下的力G1和垂直于斜面向下的力G2，那么下列说法正确的是 (　　)

A．G1就是物体受到的静摩擦力

B．物体对斜面的压力方向与G2的方向相同，大小为Gcos θ

C．G2就是物体对斜面的压力

D．物体受到重力、斜面对物体的支持力、静摩擦力、G1和G2五个力的作用

B　[G1是使物体下滑的力，是重力的分力，而物体受到的静摩擦力是斜面施加给物体的力，A错误；物体对斜面的压力垂直于斜面向下，与G2的方向相同，由数学知识可得其大小为Gcos θ，B正确；G2是重力的分力，不是物体对斜面的压力，C错误；G1、G2是重力的分力，受力分析时合力和分力不能同时计入，物体只受到3个力的作用，D错误。]

2．当直升机倾斜飞行时，螺旋桨产生的升力F垂直于机身，升力F与竖直方向的夹角为θ。现沿水平和竖直两个方向分解力F，如图所示。下列说法中正确的是(　　)

A．水平分力大小为Fx＝Ftan θ

B．水平分力大小为Fx＝Fcos θ

C．竖直分力大小为Fy＝Ftan θ

D．竖直分力大小为Fy＝Fcos θ

D　[将力F分解为两个相互垂直的分力，其中沿水平方向的分力大小为：Fx＝Fsin θ。竖直分力大小为：Fy＝Fcos θ。故D正确，A、B、C错误。]

3．(多选)把一个已知力F分解，要求其中一个分力F1跟F成30°角，但大小未知；另一个分力F2＝F，但方向未知，则F1的大小可能是(　　)

A．F　　　B．F　　　C．F　　　D．F

AD　[由平行四边形定则可知，把分力F2平行移到对边位置，则分力F1、F2与合力F构成一个三角形，因为F>，由图可知，F1的大小有两个可能值。在直角三角形BAD中，BA段所表示的力的大小为＝F。由对称性可知，AC段所表示的力的大小也为F。由几何关系可知F1＝F；则F1′＝F，故选项A、D正确。]

4．(新情境题：以千斤顶顶起轿车为背景，考查力的分解)如图所示是轿车常用的千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起。当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°。

(1)此时千斤顶每臂受到的压力是多大？

(2)若继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶每臂受到的压力如何变化？

[解析]　(1)将汽车对千斤顶的压力F分解为沿两臂的两个分力F1、F2，根据对称性可知，两臂受到的压力大小相等。由2F1cos θ＝F得F1＝＝1.0×105 N，所以此时两臂受到的压力大小均为1.0×105 N。

(2)继续摇动把手，两臂靠拢，夹角θ减小，由F1＝分析可知，F不变，当θ减小时，cos θ增大，F1减小。

[答案]　(1)1.0×105 N　(2)减小

回归本节知识，自我完成以下问题：

1力的分解应遵循什么规律？

提示：平行四边形定则。

2力的分解法通常有哪两种？

提示：①效果分解法，②正交分解法。

3如果没有限制，一个力可以分解为多少组解？

提示：无数组。