鲁科版 (2019)必修 第一册第2节 力的分解导学案

第2节　力的分解

要点一　力的分解

求一个已知力的分力❶的过程称为力的分解❷。

要点二　力的正交分解

在许多情况下,为了计算方便,可把一个力分解为两个互相垂直❸的分力,这种分解方法称为力的正交分解❹。

❶已知力和分力是什么关系?它们之间的运算遵从什么法则?

提示　等效替代的关系;已知力和分力之间满足平行四边形定则。

❷力的分解就是力的合成的逆运算,同样满足力的平行四边形定则和三角形定则,这种理解对吗?

提示　正确。

❸这两个力的大小与被分解的力满足什么关系?

提示　这两个力的大小与被分解的力满足勾股定理。

❹采用正交分解的实际意义是什么?

提示　物体受多个力作用时,如果采用正交分解,将所有的力分解到两个相互垂直的轴上,可将矢量运算转化为标量运算,可大大简化运算,除了力以外,正交分解法对处理其他矢量的问题均适用。

1.力的分解:求一个已知力的分力的过程叫力的分解,力的分解是力的合成的逆运算。

2.分解法则:力的分解同样遵循平行四边形定则,把一个已知力F作为平行四边形的对角线,与力F共点的平行四边形的两个邻边就表示力F的两个分力F1和F2,如图所示。

3.力的分解依据

(1)一个力可以分解为两个力,如果没有限制,同一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力。

(2)在实际问题中,要依据力的作用效果分解。

4.正交分解法是解决复杂受力问题的重要方法。

探究点一　力的分解

　　1.在探究互成角度的两个力的合成规律实验中,如果先用拉力F'把小圆环拉到O点,再用拉力F1和F2共同将小圆环拉至O点,你能得出什么结论?

提示　从实验步骤看,F1和F2就是F'的分力,这就变成了“探究力的分解规律”的实验,由于各个力的数据都没有改变,因此,力的分解也遵从平行四边形定则。

2.问题1中如果没有具体限制,拉力F1和F2有多少种作用方法?

提示　无数种,如图所示。

力的效果分解法

力的效果分解法是最常用的分解方法,按力的作用效果分解的基本步骤:

1.根据力的实际作用效果确定两个分力的方向。

2.根据合力和两个分力的方向作出力的平行四边形。

3.利用数学知识分析、计算分力的大小。

常见的按力的作用效果分解的实例

例　将物体所受重力按力的作用效果进行分解,下列图中错误的是 (　　)

答案　C　A中重力产生了使物体下滑的作用效果及挤压斜面的作用效果,A正确;B中重力产生了向两边拉绳的作用效果,B正确;C中重力产生了向两接触面挤压的作用效果,故两分力应垂直于两接触面,C错误;D中重力产生了拉绳及挤压墙面的作用效果,D正确。

解题感悟

确定力的实际作用效果的技巧

若物体受三个力作用并处于平衡状态,确定其中一个力的实际作用效果时,可先作出物体所受的三个力的示意图,其中这个力的两个实际作用效果的方向一定在其余两个力的反向延长线上。

1.减速带是交叉路口常见的一种交通设施,车辆驶过减速带时要减速,以保障行人的安全。当汽车前轮刚爬上减速带时,减速带对车轮的弹力为F,下图中弹力F画法正确且分解合理的是              (　　)

答案　B　减速带对车轮的弹力方向垂直车轮和减速带的接触面,指向车轮,A、D错误;按照力的作用效果,可以将F沿水平方向和竖直方向分解,水平方向的分力产生使汽车减速的效果,竖直方向的分力产生使车轮向上运动的效果,B正确,C错误。

2.如图所示,用一根细绳和一根轻杆组成三角支架,绳的一端绕在手指上,杆的一端顶在掌心,当挂上重物时,绳与杆对手指和手掌分别产生力的作用,则手指与手掌所受的作用力的方向判断完全正确的是              (　　)

答案　D　重物的重力产生斜向下拉绳子和水平向左压杆的作用效果,故绳子对手指有斜向下的作用力,杆对手掌有水平向左的作用力,选项D正确。

探究点二　力的正交分解

如果物体受的力比较多,求合力时用正交分解法比较好。

1.定义:把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法。

2.正交分解法求合力的步骤

①建立坐标系:以共点力的作用点为坐标原点建立直角坐标系,x轴和y轴在选择时应使尽量多的力在坐标轴上,或使力的分解更简单。

②正交分解各力:将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上,并求出各分力的大小,如图甲所示。

③分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和,即Fx=F1x-F2x-F3x,Fy=F1y+F2y-F3y。

④求共点力的合力(如图乙):合力大小F=,设合力的方向与x轴正方向的夹角为α,则tan α=。

1.一大力士用绳子拉动汽车,绳中的张力为F,绳与水平方向的夹角为θ。若将F沿水平方向和竖直方向分解,则其竖直方向的分力大小为              (　　)

A.0　　　B.F　　　C.F cos θ　　　D.F sin θ

答案　D　将F分解为水平方向和竖直方向的力,根据平行四边形定则得,竖直方向上的分力Fy=F sin θ,故选D。

2.(2021江西南昌新建一中高一月考)如图所示,两根等长的轻绳将日光灯悬挂在天花板上,两绳与竖直方向的夹角均为45°,日光灯保持水平,所受重力为G,左右两绳的拉力大小分别为              (　　)

A.G和G　　　B.G和G

C.G和G　　　D.G和G

答案　B　以日光灯为研究对象,受力分析如图所示。将F1和F2分别沿水平方向和竖直方向分解,由平衡条件得:F1 sin 45°=F2 sin 45°,F1 cos 45°+F2 cos 45°=G,解得F1=F2=G,故选B。

3.一个物体受三个力的作用,已知一个力是80 N,指向东偏北45°的方向;一个力为40 N,指向西偏北45°方向;一个力为20 N,指向南方,求三个力的合力大小。

答案　20 N

解析　对物体进行受力分析,取向东为x轴正方向,向北为y轴正方向,建立直角坐标系,如图所示,将F1、F2进行正交分解

由图可知F1x=F1 cos 45°

F1y=F1 sin 45°

F2x=F2 cos 45°,F2y=F2 sin 45°

F3x=0,F3y=F3

x轴方向的合力为Fx=F1x-F2x+F3x=F1 cos 45°-F2 cos 45°+0= N=20 N

y轴方向的合力为

Fy=F1 sin 45°+F2 sin 45°-F3y= N=40 N

最后三个力的合力为F== N=20 N

1.如图所示用四种方法悬挂相同的镜框,绳中所受拉力最小的图是 (　　)

答案　A　四个图均为两等大的力的合成问题,设每根绳与竖直方向的夹角为θ,可得2FT cos θ=mg,则绳子与竖直方向的夹角θ越小,绳子拉力越小。

2.质量为m的木块在推力F的作用下,在水平地面上向左运动。已知木块与地面间的动摩擦因数为μ,那么木块受到的摩擦力大小一定为(重力加速度为g)              (　　)

A.μmg　　　B.μ(mg+F sin θ)

C.μ(mg-F sin θ)　　　D.F cos θ

答案　B　假设平衡,根据平衡条件,水平方向有F cos θ=f,竖直方向有FN=mg+F sin θ,滑动摩擦力f=μFN=μ(mg+F sin θ);由于木块的运动状态未知,不一定做匀速直线运动,故摩擦力不一定等于拉力的水平分力。

易错点津　注意题干中条件没有说明是什么状态,要用发散思维来分析。

3.(★)如图所示,物体甲通过三段轻绳悬挂,三段轻绳的结点为O,轻绳OB水平且B端与放在水平面上的物体乙相连,物体甲及物体乙均处于静止状态。已知:物体甲的质量m1=10 kg,物体乙的质量m2=50 kg,轻绳OA与竖直方向的夹角θ=37°,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g=10 m/s2,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求:

(1)轻绳OA、OB受到的拉力分别是多大;

(2)物体乙与水平面间的动摩擦因数至少多大。

答案　(1)125 N　75 N　(2)0.15

解析　(1)以结点O为研究对象,结点O受FOA、FOB和F三个力的作用,其中F=m1g,将FOA分解为水平方向和竖直方向的两个力,由平衡条件有:FOB=FOA sin θ,FOA cos θ=F,联立解得:FOA=125 N ,FOB=75 N,故轻绳OA、OB受到的拉力分别为125 N、75 N。

(2)物体乙在水平方向仅受绳OB的拉力FOB和水平面的摩擦力f作用,则要滑动时,根据平衡条件有f=FOB且f=μm2g,联立以上各式得μ=0.15,故物体乙与水平面间的动摩擦因数至少为0.15。

力的分解条件

1.将某个力进行分解,如果没有条件约束,从理论上讲有无数组解,因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个(如图甲所示),这样分解是没有实际意义的。若将一个力分解为两个大小相等的力时,两力的夹角越大,两个分力越大(如图乙所示)。

实际分解时,一个力按力的作用效果可分解为两个确定的分力。

2.一个力有唯一解的条件

(1)已知合力和两个分力的方向时,有唯一解(如图)。

(2)已知合力和一个分力的大小和方向时,有唯一解(如图)。

(3)已知合力以及一个分力F2的大小和另一个分力F1的方向时,有下面几种可能:

①当F sin θ<F2<F时,F1有两解[如图(1)];

②当F2=F sin θ时,F1有唯一解[如图(2)];

③当F2<F sin θ时,F1无解[如图(3)];

④当F2>F时,F1有唯一解[如图(4)]。

(4)分力的大小根据具体条件来计算。

1.将一个大小为10 N且有确定方向的力F分解成两个力,已知一个分力有确定的方向,与F夹角为30°,另一个分力的大小为6 N,则在分解时              (　　)

A.有无数组解　　　B.有两组解

C.有唯一解　　　D.无解

答案　B　设方向已知的分力为F1,如图所示,则F2的最小值F2min=F sin 30°=5 N。因5 N<F2=6 N<10 N,F1、F2和F可构成如图所示的两个矢量三角形,则在分解时有两组解,故B正确。

2.甲、乙两人用绳子拉船,使船沿OO'方向航行,甲用1 000 N的力拉绳子,方向如图所示,要使船沿OO'方向航行,乙的拉力至少应多大?方向如何?

答案　见解析

解析　要使船沿OO'方向航行,甲和乙的拉力的合力方向必须沿OO'方向。在图中作平行四边形可知,当乙拉船的力的方向垂直于OO'时,乙的拉力F乙最小,其最小值为F乙min=F甲 sin 30°=1 000× N=500 N。