鲁科版 (2019)必修 第一册第4章 力与平衡第2节 力的分解学案

力的分解

知识点一　力的分解

[情境导学]

用以下几种方法挂物体，哪种情况线易断？为什么？

提示：甲图线容易断。合力一定，两分力大小相等的情况下，分力间夹角越大，分力越大。

[知识梳理]

1．定义：求一个已知力的分力的过程。

2．分解法则：力的分解遵循平行四边形定则。

3．分解与合成的关系：力的分解是力的合成的逆运算。

当各分力已知时，合力是唯一确定的，但因为对同一条对角线可作出无数个平行四边形，所以合力的分解方式也是多种多样的。

4．分解依据：实际问题中，要依据力的作用效果或需要分解。

[初试小题]

1．判断正误。

(1)分力与合力是等效替代的关系，它们不是同时存在的。(√)

(2)力的分解遵循平行四边形定则。(√)

(3)在力的分解中，分力可以比合力大。(√)

(4)如果不加限制，一个力可以分解出无数多组分力。(√)

2．要将力F沿虚线分解为两个分力，下列哪个是能够分解的(　　)

解析：选A　将一个力分解为两个分力，分力与合力构成平行四边形，按这一原则B、C、D中分力与合力不能构成平行四边形，故无法分解。

知识点二　力的正交分解　力的分解的应用

[情境导学]

手托书本倾斜放置，保证书本处于静止状态。书本的重力产生了

怎样的作用效果？

提示：书本的重力产生了两个作用效果：书本紧压手心和沿手心下滑的趋势。

[知识梳理]

1．力的正交分解

(1)正交分解：把一个力分解为两个互相垂直的分力，这种分解方法叫作力的正交分解。

(2)实例：如图所示，F的分力分别为Fx＝Fcos_θ，Fy＝Fsin_θ。

2．力的分解的应用

(1)当合力一定时，分力的大小和方向将随着分力间夹角的改变而改变。

(2)在两个分力大小相等时，分力间的夹角越大，分力也就越大，修建盘山路、高架引桥及斧子劈圆木都是这一原理的应用。

[初试小题]

1．判断正误。

(1)力的正交分解是指把一个力分解为水平和竖直两个方向互相垂直的分力的方法。(×)

(2)正交分解仅适用于矢量运算。(√)

(3)正交分解的两个分力与合力作用效果一定相同。(√)

(4)当物体受多个力作用时，常用正交分解法进行力的运算。(√)

2．思考题。

如图所示，当你手提着箱子时，对箱子有一个斜向上方的拉力F，这个力对箱子产生什么效果？ 这种效果能否用力F1和力F2来代替？将力F分解为F1和F2的分解方式有什么特点？

提示：手对箱子的拉力F产生两个效果：水平方向向左的作用效果，竖直方向向上的作用效果；力F对箱子的作用效果可以用水平方向的分力F2和竖直方向的分力F1来实现；两个分力F1和F2相互垂直。

　　[问题探究]

如图所示，取一根细线，将细线的一端系在左手中指上，另一端系上一个重物。用一支铅笔的一端顶在细线上的某一点，使铅笔保持水平，铅笔的另一端置于手掌心，细线的下段竖直向下。

(1)你有什么感觉？

(2)重物竖直向下拉细线的力产生什么作用效果？

提示：(1)手指被拉、掌心被压的感觉。

(2)重物竖直向下拉细线的力产生两个效果：斜向下拉紧细线，沿着铅笔方向向左挤压铅笔。

[要点归纳]

1．力的分解的实质

将一个已知力F进行分解，其实质是寻找等效分力的过程。一个力可以分解为两个力，也可以分解为更多力，但这几个分力不是物体实际受到的力，是“等效替代法”的应用。

2．按实际效果分解的几个实例

[例题1]　如图所示，AB、AC两光滑斜面互相垂直，AC与水平面成30°角。若把球O的重力(大小为G)按照其作用效果分解，则两个分力的大小为(　　)

A.G，G　　　　 B.G，G

C.G，G D.G，G

[解析]　对球所受重力进行分解，如图所示，由几何关系得F1＝Gsin 60°＝G，F2＝Gsin 30°＝G，选项A正确。

[答案]　A

按效果分解的基本思路

[针对训练]

1.如图所示，石拱桥的正中央有一质量为m的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g。若接触面间的摩擦力忽略不计，则石块对侧面的压力的大小为(　　)

A. B．

C.mgtan α D.

解析：选A　楔形石块的重力产生了两个作用效果，即对两侧面产生压力，如图所示，解直角三角形得F＝，选项A正确。

2.如图所示，质量为m的物体悬挂在轻质支架上，斜梁OB与竖直方向的夹角为θ。设水平横梁OA和斜梁OB作用于O点的弹力分别为F1和F2，以下结果正确的是(　　)

A．F1＝mgsin θ B．F1＝

C．F2＝mgcos θ D．F2＝

解析：选D　取O点进行分析，受绳的拉力F，拉力F大小等于物体的重力mg，即F＝mg，绳对O点的拉力按效果分解如图所示。解直角三角形可得F1＝F1′＝mgtan θ，F2＝F2′＝。

3．如图所示，一个重力为100 N的小球被夹在竖直的墙壁和A点之间，已知球心O和A点的连线与竖直方向成θ角，且θ＝60°，所有接触点和面均不计摩擦。试求小球对墙面的压力F1和对A点的压力F2。

解析：小球的重力产生两个作用效果：压紧墙壁和A点，作出重力及它的两个分力F1′和F2′构成的平行四边形，如图所示。

小球对墙面的压力F1＝F1′＝mgtan 60°＝100 N，方向垂直墙壁向右；

小球对A点的压力F2＝F2′＝＝200 N，方向沿OA方向。

答案：100 N，方向垂直墙壁向右　200 N，方向沿OA方向

　　[问题探究]

为了行车方便和安全，高大的桥往往要建造很长的引桥。

(1)在引桥上，汽车重力有什么作用效果，应如何分解？

(2)从力的分解的角度分析，引桥很长有什么好处？

提示：(1)汽车重力的两个作用效果是垂直桥面向下使汽车压桥面和沿桥面向下使汽车下滑或阻碍汽车上行。

根据重力的作用效果将重力分解为沿斜面向下和垂直于斜面向下的两个分力G1和G2，如图所示。

两个分力的大小分别为G1＝Gsin θ，G2＝Gcos θ。

(2)高大的桥建造很长的引桥可以减小引桥倾角θ，减小汽车重力沿桥面向下的分力，使行车更安全。

[要点归纳]

1．力的正交分解目的

正交分解，“分”是为了更好地“合”。

2．方法步骤

(1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力落在坐标轴上。

(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示。

(3)分别求出x轴、y轴上各力的分力的合力，即

Fx合＝F1x－F2x－F3x，Fy合＝F1y＋F2y－F3y。

(4)求共点力的合力：合力大小F合＝，合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝。

[例题2]　在同一平面内的四个共点力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图所示，求它们的合力。

[思路点拨]　解答本题可按以下思路：

[解析]　如图甲所示，建立直角坐标系，把各个力分解到两个坐标轴上，并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有

Fx＝F1＋F2cos 37°－F3cos 37°＝27 N

Fy＝F2sin 37°＋F3sin 37°－F4＝27 N

因此，如图乙所示，合力F＝≈38.2 N

tan φ＝＝1

即合力的大小约为38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向上。

[答案]　38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向上

建立坐标系的原则

原则上坐标系的建立是任意的，为使问题简化，一般考虑以下两个问题：

(1)使尽量多的力处在坐标轴上。

(2)尽量使待求力处在坐标轴上。　　　　

[针对训练]

1．(多选)如图所示，质量为m的物体受到推力F作用，沿水平方向做匀速直线运动，已知推力F与水平地面的夹角为θ，物体与地面间的动摩擦因数为μ，则物体所受的摩擦力大小为(　　)

A．Fcos θ B．μmg

C．μF D．μ(mg＋Fsin θ)

解析：选AD　对物体受力分析如图，因为物体做匀速运动，所以物体所受的合力为零，在水平方向有f＝Fcos θ，选项A正确；再由f＝μN，N＝mg＋Fsin θ可知，f＝μ(mg＋Fsin θ)，选项B、C错误，选项D正确。

2.如图所示，质量为10 kg的物体静止在平面直角坐标系xOy的坐标原点，某时刻只受到F1和F2的作用，且F1＝10 N，F2＝10 N，则物体所受的合力(　　)

A．方向沿y轴正方向

B．方向沿y轴负方向

C．大小等于10 N

D．大小等于10 N

解析：选C　将F2正交分解如图所示，故物体所受的合力为10 N，方向沿x轴正方向。

力的分解的讨论

1．不受限制条件的分解

将某个力进行分解，如果没有条件约束，从理论上讲有无数组解，因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个(如图所示)，这样分解是没有实际意义的。实际分解时，一个力按力的作用效果可分解为两个确定的分力。

2．有限制条件的力的分解

 [示例]　按下列两种情况把一个竖直向下的180 N的力分解为两个分力。

(1)一个分力水平向右，大小为240 N，求另一个分力的大小和方向；

(2)一个分力水平向右，另一个分力与竖直方向的夹角为30°斜向左下方，求两个分力的大小。

[解析]　(1)力的分解如图甲所示。

F2＝＝300 N

设F2与F的夹角为θ，则tan θ＝＝，解得θ＝53°。

(2)力的分解如图乙所示。

F1＝Ftan 30°＝180× N

＝60 N

F2＝＝ N＝120 N。

[答案]　(1)300 N　与竖直方向夹角为53°斜向左下方　(2)水平方向分力的大小为60 N　斜向左下方分力的大小为120 N

1．若将一个力F分解为两个力F1、F2，则下列说法中不正确的是(　　)

A．F是物体实际受到的力

B．F1、F2不是物体实际受到的力

C．物体同时受到F、F1、F2三个力的作用

D．F1、F2共同作用的效果与F相同

解析：选C　F是物体实际受到的力，故A正确；分力不是物体所受到的力，F1、F2是两个分力，故B正确；一个力F分解为两个分力F1和F2，实际上分力并不存在，故C错误；分力的共同作用效果与合力的作用效果相同，故D正确。

2.物体静止于光滑水平面上，力F作用于物体上的O点，现要使合力沿着OO′方向，如图所示，则必须同时再加一个力F′，如F和F′均在同一水平面上，则这个力的最小值为(　　)

A．Fcos θ　　　　　 B．Fsin θ

C．Ftan θ D．Fcot θ

解析：选B　该力的最小值应该是过力F的最右端，向OO′的方向作垂线，则垂足与力F右端的距离即为最小力的大小，故该最小力为Fsin θ，选项B正确。

3．在日常生活中，力的分解有着广泛的应用，如图为用斧子把树桩劈开的图示，斧子对木桩施加一个向下的力F时，产生了大小相等的两个侧向分力F1、F2，下列关系正确的是(　　)

A．F＝2F1sin  B．F＝2F1sin θ

C．F＝2F1cos  D．F＝2F1cos θ

解析：选A　把向下的力F分解，如图所示，则F＝2F1sin ，即A正确。

4.如图所示，水平地面上有一重力为60 N的物体，在与水平方向成30°角斜向右上、大小为20 N的拉力F作用下匀速运动，求地面对物体的支持力和摩擦力大小。

解析：对物体进行受力分析，如图所示，物体受重力G、支持力N、拉力F、摩擦力f。建立直角坐标系，对拉力F进行正交分解得

y方向有N＋Fsin 30°－G＝0

x方向有f－Fcos 30°＝0

联立解得N＝50 N，f＝10 N。

答案：50 N　10 N