2021-2022学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分）

1. 下列各式中是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，是▱的对角线，如果，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 下列命题中，正确的是(    )

A. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 两组邻边分别相等的四边形是平行四边形
C. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形

5. 为庆祝建党周年的校园歌唱比赛中，名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前名进入决赛如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这名同学成绩的(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

6. 在中，，的对边分别记为，，，下列条件中，能判定是直角三角形的是(    )

A.  B. ，，
C.  D. ：：：：

7. 如图，直线和直线相交于点，则关于，的方程组的解为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 点从某四边形的一个顶点出发，沿着该四边形的边逆时针匀速运动一周．设点运动的时间为，点与该四边形对角线交点的距离为，表示与的函数关系的大致图象如图所示，则该四边形可能是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
10. 如图，在中，，点是斜边的中点，若，，则的长度是______．

11. 将函数的图象向下平移个单位，则得到的图象相应的函数表达式为______．
12. 如图，在中，，，点，分别为，的中点，连接若，则的长度是______．

13. 在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点都在坐标轴上．若，，则菱形的面积是______．
14. 射击运动员小东次射击的成绩单位：环：，，，，，，，，，这次成绩的平均数是，方差是，如果小东再射击一次，成绩为环，则小东这次成绩的方差______填“大于”、“等于”或“小于”
15. 关于函数和函数，有以下结论：
    当时，的取值范围是；
    随的增大而增大；
    函数的图象与函数的图象的交点一定在第一象限；
    若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则．
    其中所有正确结论的序号是______．
16. 小明与小亮两人约定周六去博物馆参观学习，两人同时出发，小明乘车从甲地途径乙地到博物馆，小亮骑自行车从乙地到博物馆．已知甲地、乙地和博物馆在一条直线上，右图是两人分别与乙地的距离单位：与时间单位：的函数图象，在小明到达博物馆前，当两人相距时，的值是______．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 已知：如图，在中，．
    求作：矩形．
    作法：作线段的垂直平分线交于点．
    作射线．
    以点为圆心，线段长为半径画弧，交射线于点．
    连接，，则四边形即为所求作的矩形．
    使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
    完成下面的证明．
    证明：，______，
    四边形是平行四边形．______填推理的依据
    ，
    四边形是矩形．______填推理的依据

19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和．
    求该一次函数的解析式；
    在所给的坐标系中画出该一次函数图象，并求它的图象与坐标轴围成的三角形的面积．

20. 如图，矩形的对角线交于点，且，．
    求证：四边形是菱形；
    连接若，，求的长．

21. 在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴、轴分别相交于点和点．
    求，两点的坐标；
    点在轴上，若是以边为腰的等腰三角形，求点的横坐标．
22. 某校为了解该校七年级和八年级学生线上数学学习的情况，从这两个年级的学生中，各随机抽取了名学生进行有关测试，获得了他们的成绩百分制，且成绩均为整数，并对数据成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
    该校抽取的八年级学生测试成绩的数据的频数分布直方图如下数据分为组：，，，；
    该校抽取的八年级学生测试成绩在这一组的数据是：
    该校抽取的七、八年级学生测试成绩的数据的平均数、中位数、众数如下：

根据以上信息，回答下列问题：
写出表中的值；
此次测试成绩分及分以上为优秀．
记该校抽取的七年级学生中成绩优秀的人数是，抽取的八年级学生中成绩优秀的人数为，比较，的大小，并说明理由；
若该校七年级有名学生，八年级有名学生，假设该校七、八年级学生全部参加此次测试，估计该校七年级和八年级学生中成绩优秀的人数共有多少人．

23. 对于函数，小明探究了它的图象及部分性质．
    下面是他的探究过程，请补充完整：
    自变量的取值范围是______；
    令分别取，和，所得三个函数中的自变量与其对应的函数值如下表，则表中的值是______，的值是______；

根据表中数据，补全函数，，的图象；
结合函数，，的图象，写出函数的一条性质：______；
点和点都在函数的图象上，当时，若总有，结合函数图象，直接写出和的大小关系．

24. 如图，在正方形中，为边上一点点不与点，重合，连接，作点关于直线的对称点，连接分别交，于点，过点作于点，连接．
    依题意补全图形；
    求证：；
    连接，，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

25. 在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，点和点的坐标分别是和
    当时，的面积是______；
    若点和点都在直线上，当时，的取值范围是______．
26. 对于定点和图形，给出如下定义：若图形上存在两个不同的点，，使得四边形是平行四边形，则称点是点关于图形的衍生点．特别地，当平行四边形的面积最大时，称点是点关于图形的最佳衍生点．
    在平面直角坐标系中，点，，，，．
    点，，中，点关于线段的衍生点是______；
    将点关于线段的最佳衍生点记为，
    直接写出点的坐标；
    若直线上存在点关于四边形的衍生点，求的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质得出，则可得出答案．
此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D正确，符合题意；
故选：．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C.两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
D.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据平行四边形的判定方法进行判定即可．
本题考查了平行四边形的判定：、两组对边分别平行的四边形是平行四边形定义判定法；、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；、两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对边平行判定；、对角线互相平分的四边形是平行四边形．
 

5.【答案】 

【解析】解：个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选：．
由于比赛取前名参加决赛，共有名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
是直角三角形，故本选项符合题意；
B.，，
，
不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，
是等腰三角形，不一定是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.：：：：，，
最大角，
不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
求出，根据勾股定理即可判断选项A；根据勾股定理的逆定理即可判断选项B；根据直角三角形的判定即可判断选项C；求出最大角的度数，即可判断选项D．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，可得方程组的解为，
故选：．
根据直线和直线相交于点，即可确定方程组的解．
本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：记各个选项中四边形逆时针均记为，

选项中，从，，先减小，再增大，不关于转折点对称；从，从，先减小，再增大；且两部分走势相同，不符合题意；
选项中，从，，先减小，再增大，关于转折点对称，且每部分关于最低点对称；从，从，先减小，再增大；且两部分走势相同，符合题意；
选项中，从，，先减小，再增大，关于转折点对称，但每部分不关于最低点对称；从，从，先减小，再增大；且两部分走势相同，不符合题意；
选项中，每个转折点前后图像一致，不符合题意；
故选：．
通过点经过四边形各个顶点，观察图象的对称趋势问题可解．
本题动点问题的函数图象，考查学生对动点运动过程中所产生函数图象的变化趋势判断．解答关键是注意动点到达临界前后的图象变化．
 

9.【答案】 

【解析】解：若二次根式在实数范围内有意义，则：，解得．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件可得关于的不等式，再解不等式即可．
主要考查了二次根式有意义的条件．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，，
，
点是斜边的中点，
．
故答案为：．
直接利用勾股定理得出的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案即可．
此题主要考查了勾股定理以及直角三角形的性质，正确掌握直角三角形的性质是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：将一次函数的图象向下平移个单位长度，相应的函数是；
故答案为：．
直接根据函数图象平移的法则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
则，
点，分别为，的中点，
是的中位线，
，
故答案为：．
根据含角的直角三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、含角的直角三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，两点的坐标分别为，．
，．
．
菱形是轴对称图形，且菱形的四个顶点都在坐标轴上．
菱形对角线的交点为坐标原点．
．
故答案为：．
根据已知条件与菱形的轴对称性，可得坐标原点就是菱形对角线的交点，再根据菱形的性质可得菱形对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以．
本题考查了菱形的性质．熟记菱形的对角线互相垂直且平分并把菱形分成四个全等的直角三角形是解题的关键．
 

14.【答案】大于 

【解析】解：小东这次成绩的的平均成绩为；
小东这次成绩的的方差，
，
小东这次成绩的方差大于．
故答案为：大于．
计算小东这次成绩的方差后比较即可．
本题考查方差：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

15.【答案】 

【解析】解：当时，，当时，，而一次函数，随的增大而增大，所以，所以正确；
一次函数，随的增大而减小，因此不正确；
函数的图象与函数的图象的交点为，当时，，，此时交点在第四象限，所以不正确；
若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则，，即，，而，所以，即，因此正确；
综上所述，正确的结论有，
故答案为：．
根据一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的增减性逐项进行判断即可．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是正确解答的前提．
 

16.【答案】或 

【解析】解：由图象可知，甲地距乙地，乙地距博物馆，
小明的速度为：，
小亮的速度为：，
当小明和小亮相遇前两人相距时，
由题意得，，
解得：；
当小明和小亮相遇后两人相距时，
由题意得：，
解得：，
综上所述，当两人相距时的值为或．
故答案为：或．
由图象可知，甲地距乙地，乙地距博物馆，先求出小明和小亮的速度，再分两人相遇前和相遇后两种情况按路程之间的关系列方程求值即可．
此题主要考查了一次函数的应用，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义是解题关键．
 

17.【答案】解：


；


． 

【解析】按照从左到右的顺序，进行计算即可解答；
先算乘法，后算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】  对角线互相平分的四边形是平行四边形  有一个角是直角的平行四边形是矩形 

【解析】解：如图，矩形即为所求；


证明：，，
四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形．
故答案为：，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
根据要求作出图形即可；
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：一次函数的图象经过点和．
，解得：．
这个一次函数的解析式为：．
如图，

令，则，
直线与轴的交点为，
图象与坐标轴围成的三角形的面积． 

【解析】根据点、的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式．
利用直线解析式求得直线与轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式即可求得即可．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
平行四边形是菱形；
解：如图，过作，交的延长线于，则，
由可知，，
，
是等边三角形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，，
由可知，四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：． 

【解析】先证四边形是平行四边形，再由矩形的性质得，即可得出结论；
过作，交的延长线于，证是等边三角形，得，，再由矩形的性质和勾股定理得，然后由菱形的性质得，进而求出，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的平行和性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：一次函数图象与轴、轴分别相交于点和点，
令，则，解得，
点，
令，则，
点．
，，
，
是以边为腰的等腰三角形，
，
点的横坐标为或． 

【解析】利用坐标轴上点的坐标特征求出点，点坐标即可；
由三角形的面积公式可求解；
由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理等知识，解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法．
 

22.【答案】解：八年级抽取了名学生，从小到大排列第，名学生的成绩为分，分，故中位数分，
故答案为：；
由七年级成绩的中位数为可得，
由题意可得，
；
人，
答：估计该校七年级和八年级学生中成绩优秀的人数共有人． 

【解析】根据八年级抽取了名学生，从小到大排列第，名学生的成绩为分，分，即可求出的值；
分别求出七、八两个年级的优秀学生人数，进而可得结论；
用样本的优秀率估计总体的优秀率，根据总人数和优秀率求得优秀人数．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
 

23.【答案】任意实数      当时，函数随的增大而增大，当时，函数随的增大而减小 

【解析】解：函数中，自变量可以是任意实数，
故答案为：任意实数；
把代入，得，
把代入，得，
，，
故答案为：，；
补全函数，，的图象如下图所示：

由图知，当时，函数随的增大而增大，当时，函数随的增大而减小；
故答案为：当时，函数随的增大而增大，当时，函数随的增大而减小；
点和点都在函数的图象上，，
点和点在轴的同一侧，
观察图象，当时，若总有，则或．
根据解析式即可确定自变量取值范围；
把代入，求得，把代入，求得；
根据表格数据补全函数，，的图象即可；
观察图象即可求得；
根据图象即可得到结论．
本题考查了通过列表法和解析式法对函数的性质进行分析，画出函数图象，并研究和总结函数的性质；数形结合是解题的关键．
 

24.【答案】解：图形如图所示：


证明：如图中，连接，设．

四边形是正方形，
，，
，关于对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
；

结论：．
理由：如图中，过点作交的延长线于点，于点，过点作于点，交的延长线于点．

，，
≌，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，，
，
，
，，
≌，
，
，，
≌，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
． 

【解析】根据要求画出图形即可；
如图中，连接，设利用等腰三角形的性质，用表示出，，可得结论；
结论：如图中，过点作交的延长线于点，于点，过点作于点，交的延长线于点证明≌，推出，推出，证明≌，推出，推出，再证明四边形是正方形，推出，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

25.【答案】  或 

【解析】解：点和点的坐标分别是和，，
、是轴上的两点，则，
直线：与轴交于点，
，
，
，
故答案为：．
点和点都在直线上，
，，
，
，
，即，
，
解得或，
故答案为：或．
求得，，然后利用三角形面积公式求得即可；
求得，然后根据，利用勾股定理得到，即，整理得到，解得或．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，勾股定理的应用，能够理解题意，得到关于的不等式是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：如图，点，，中，点关于线段的衍生点是；

故答案为：；
如图，点关于线段的最佳衍生点记为，
即▱的面积最大，

；
如图，

当四边形是平行四边形时，，
将代入中得：，；
当四边形是平行四边形时，，
将代入中得：，；
的取值范围是．
根据衍生点的定义可直接判定；
因为当平行四边形的面积最大时，称点是点关于线段的最佳衍生点，画图可直接写出的坐标；
利用两个边界点确定两个的值：如图，四边形是平行四边形时，衍生点是，代入直线中可得；当四边形是平行四边形时，衍生点是，同理可得，从而得结论．
本题是一次函数的综合题，也是新定义：衍生点和最佳衍生点，考查了平行四边形的判定和面积，新定义等知识，解题的关键是学会利用特殊点，特殊位置解决问题，学会画出图形解决问题，属于中考压轴题．